1.
2.7.2.2 Phư ơ ng trình trư ờ ng ion hóa monopolar
Vớ i đư ờ ng dây monopolar, các phư ơ ng trình mô tả trư ờ ng ion hóa đư ợ c xây dụ ng tư ơ ng tự đư ờ ng dây bipolar bằ ng cách cho giá trị - (hoặ c +) bằ ng 0. Khi đó:
/ dϕ φ ζd 2 ’ 0 / / E dζ dφ ρ ε 2 2 ’ 0 / E d d ρ ε ζ ρ φ (2.51) (2.52) (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58) (2.53)
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA
CHƯ Ơ NG 3
PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA 3.1 GIỚ I THIỆ U PHƯ Ơ NG PHÁP PHẦ N TỬ HỮ U HẠ N
Phư ơ ng pháp phầ n tử hữ u hạ n (FEM) đư ợ c bắ t nguồ n từ nhữ ng yêu cầ u giả i các bài toán phứ c tạ p về lý thuyế t đàn hồ i, phân tích kế t cấ u trong xây dự ng và kỹ thuậ t hàng không. Nó đư ợ c bắ t đầ u phát triể n bở i Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Sự phát triể n chính thứ c củ a FEM đư ợ c bắ t đầ u vào nử a sau nhữ ng năm 1950 và đư ợ c cung cấ p nề n tả ng toán họ c chặ t chẽ vào năm 1973 vớ i việ c xuấ t bả n cuố n Strang và tổ ng kế t trong An Analysis of The Finite element Method và kể từ đó FEM đư ợ c tổ ng quát hóa thành mộ t ngành củ a toán ứ ng dụ ng, mộ t mô hình số họ c cho các hệ thố ng tự nhiên, đư ợ c ứ ng dụ ng rộ ng rãi trong kỹ thuậ t.
FEM là phư ơ ng pháp số để giả i các bài toán đư ợ c mô tả bở i các phư ơ ng trình vi phân riêng phầ n cùng vớ i các điề u kiệ n biên cụ thể .
Cơ sở củ a phư ơ ng pháp này là làm rờ i rạ c hóa các miề n liên tụ c phứ c tạ p củ a bài toán. Các miề n liên tụ c đư ợ c chia thành nhiề u miề n con (phầ n tử ). Các miề n này đư ợ c liên kế t vớ i nhau tạ i các điể m nút. Trên miề n con này, dạ ng biế n phân tư ơ ng đư ơ ng vớ i bài toán đư ợ c giả i xấ p xỉ dự a trên các hàm xấ p xỉ trên từ ng phầ n tử , thoả mãn điề u kiệ n trên biên cùng vớ i sự cân bằ ng và liên tụ c giữ a các phầ n tử .
FEM không tìm dạ ng xấ p xỉ củ a hàm trên toàn miề n xác đị nh V củ a nó mà chỉ trong nhữ ng miề n con ve(phầ n tử ) thuộ c miề n xác đị nh củ a hàm. Trong FEM miề n V đư ợ c chia thành mộ t số hữ u hạ n các miề n con, gọ i là phầ n tử . Các miề n này liên kế t vớ i nhau tạ i các điể m đị nh trư ớ c trên biên củ a phầ n tử đư ợ c gọ i là nút. Các hàm xấ p xỉ này đư ợ c biể u diễ n qua các giá trị củ a hàm (hoặ c giá trị củ a đạ o hàm) tạ i các điể m nút trên phầ n tử . Các giá trị này đư ợ c gọ i là các bậ c tự do củ a phầ n tử và đư ợ c xem là ẩ n số cầ n tìm củ a bài toán.
Phư ơ ng pháp xấ p xỉ nhờ các miề n conveđư ợ c gọ i là phư ơ ng pháp xấ p xỉ bằ ng các phầ n tử hữ u hạ n, nó có mộ t số đặ c điể m sau:
i. Xấ p xỉ nút trên mỗ i miề n con ve chỉ liên quan đế n nhữ ng biế n nút gắ n vào nút củ avevà biên củ a nó.
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA ii. Các hàm xấ p xỉ trong mỗ i miề n conveđư ợ c xây dự ng sao cho chúng liên tụ c trênvevà phả i thoả mãn các điề u kiệ n liên tụ c giữ a các miề n con khác nhau. iii. Các miề n conveđư ợ c gọ i là các phầ n tử .
Tóm lạ i việ c giả i bài toán dùng phư ơ ng pháp phầ n tử hữ u hạ n bao gồ m các bư ớ c sau:
- Bư ớ c 1: Chia nhỏ cấ u trúc củ a đố i tư ợ ng nghiên cứ u (nhiề u phầ n tử , nhiề u nút).
- Bư ớ c 2: Phân tích thuộ c tính củ a từ ng phầ n tử rờ i rạ c.
- Bư ớ c 3: Kế t nố i các yế u tố tạ i các nút để tạ o thành hệ phư ơ ng trình gầ n đúng cho toàn bộ hệ thố ng.
- Bư ớ c 4: Giả i hệ phư ơ ng trình bao gồ m các đạ i lư ợ ng chư a biế t tạ i các nút. - Bư ớ c 5: Suy ra giá trị củ a các phầ n tử đư ợ c chọ n.
Tóm lạ i, sự đư a ra mộ t cách chi tiế t về FEM có thể không minh họ a tấ t cả ư u điể m cũng như khuyế t điể m củ a phư ơ ng pháp. Trong mộ t ứ ng dụ ng về các bài toán trư ờ ng điệ n trong các hệ thố ng cách điệ n, phư ơ ng pháp này có các ư u điể m sau:
- FEM sử dụ ng cho các hệ thố ng không đồ ng nhấ t (các vậ t liệ u có các hệ số điệ n môi khác nhau) cũng như đ ố i vớ i các hệ thố ng không đẳ ng hư ớ ng.
- Hình dạ ng và kích cỡ củ a các phầ n tử có thể đư ợ c chọ n để thích hợ p vớ i các điề u kiệ n biên bấ t kỳ và kích cỡ củ a mạ ng lư ớ i có thể dễ dàng thích ứ ng vớ i grad củ a điệ n thế , phầ n tử càng nhỏ có thể đư ợ c đặ t vào các khu vự c có grad cao và ngư ợ c lạ i.
- Độ chính xác có thể đư ợ c cả i thiệ n khi ứ ng dụ ng phầ n tử bậ c cao. Khuyế t điể m củ a FEM:
- Độ chính xác không biế t trư ớ c có thể đạ t đư ợ c là bao nhiêu - Thờ i gian tính toán lâu nế u hệ thố ng có nhiề u phầ n tử
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA
3.1.1 Đị nh nghĩa hình họ c
3.1.1.1 Nút hình họ c
Nút hình họ c là tậ p hợ pnđiể m trên miề n Vđể xác đị nh hình họ c các phầ n tử hữ u hạ n. Chia miề nVtheo các nút trên, rồ i thay miề n Vbằ ng mộ t tậ p hợ p các phầ n tử vecó dạ ng đơ n giả n hơ n. Mỗ i phầ n tử vecầ n chọ n sao cho nó đư ợ c xác đị nh giả i tích duy nhấ t theo các toạ độ nút hình họ c củ a phầ n tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằ m trongvehoặ c trên biên củ a nó.
3.1.1.2 Qui tắ c chia miề n thành các phầ n tử
Việ c chia miề nVthành các phầ n tử vephả i thoả mãn hai qui tắ c sau:
- Hai phầ n tử khác nhau chỉ có thể có nhữ ng điể m chung nằ m trên biên củ a chúng. Điề u này loạ i trừ khả năng giao nhau giữ a hai phầ n tử . Biên giớ i giữ a các phầ n tử có thể là các điể m, đư ờ ng hay mặ t (Hình 5.1).
- Tậ p hợ p tấ t cả các phầ n tử ve phả i tạ o thành mộ t miề n càng gầ n vớ i miề nVcho trư ớ c càng tố t. Tránh không đư ợ c tạ o lỗ hổ ng giữ a các phầ n tử .
3.1.2 Các dạ ng phầ n tử
Có nhiề u dạ ng phầ n tử hữ u hạ n: phầ n tử mộ t chiề u, hai chiề u và ba chiề u. Trong mỗ i dạ ng đó, đạ i lư ợ ng khả o sát có thể biế n thiên bậ c nhấ t (gọ i là phầ n tử bậ c nhấ t), bậ c hai hoặ c bậ c ba v.v. Dư ớ i đây, chúng ta làm quen vớ i mộ t số dạ ng phầ n tử hữ u hạ n hay gặ p.
Phầ n tử mộ t chiề u
biên giớ i biên giớ i v2
v1
biên giớ i
v2
v1 v1 v2
Hình 3.1. Các dạ ng biên chung giữ a các phầ n tử
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba Phầ n tử hai chiề u Phầ n tử ba chiề u Phầ n tử tứ diệ n Phầ n tử lăng trụ Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA
3.1.3 Phầ n tử qui chiế u, phầ n tử thự c
Vớ i mụ c đích đơ n giả n hoá việ c xác đị nh giả i tích các phầ n tử có dạ ng phứ c tạ p, chúng ta đư a vào khái niệ m phầ n tử qui chiế u, hay phầ n tử chuẩ n hoá, ký hiệ u làvr. Phầ n tử qui chiế u thư ờ ng là phầ n tử đơ n giả n, đư ợ c xác đị nh trong không gian qui chiế u mà từ đó, ta có thể biế n đổ i nó thành từ ng phầ n tử thự c ve nhờ mộ t phép biế n đổ i hình họ cre. Ví dụ trong trư ờ ng hợ p phầ n tử tam giác (Hình 3.2).
Các phép biế n đổ i hình họ c phả i sinh ra các phầ n tử thự c và phả i thoả mãn các qui tắ c chia phầ n tử đã trình bày ở trên. Muố n vậ y, mỗ i phép biế n đổ i hình họ c phả i đư ợ c chọ n sao cho có các tính chấ t sau:
Phép biế n đổ i phả i có tính hai chiề u (song ánh) đố i vớ i mọ i điể m ξ
trong phầ n tử qui chiế u hoặ c trên biên; mỗ i điể m củ a vr ứ ng vớ i mộ t và chỉ mộ t điể m củ avevà ngư ợ c lạ i.
Mỗ i phầ n biên củ a phầ n tử qui chiế u đư ợ c xác đị nh bở i các nút hình họ c củ a biên đó ứ ng vớ i phầ n biên củ a phầ n tử thự c đư ợ c xác đị nh bở i các nút tư ơ ng ứ ng.
Chú ý:
Mộ t phầ n tử qui chiế u vr đư ợ c biế n đổ i thành tấ t cả các phầ n tử thự c ve
cùng loạ i nhờ các phép biế n đổ i khác nhau. Vì vậ y, phầ n tử qui chiế u còn đư ợ c gọ i là phầ n tử bố -mẹ .
Có thể coi phép biế n đổ i hình họ c nói trên như mộ t phép đổ i biế n đơ n giả n.
ζ( , ) đư ợ c xem như hệ toạ độ đị a phư ơ ng gắ n vớ i mỗ i phầ n tử . vr v3 v2 v1 1,0 0,0 y x (1) (2) (3) (4) (5) r3 r2 r1 0,1
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA
3.2 TẠ O LƯ Ớ I PHẦ N TỬ HỮ U HẠ N 2D3.2.1 Lư ớ i Delaunay 3.2.1 Lư ớ i Delaunay
Thuậ t ngữ lư ớ i Delaunay đư ợ c tạ o thành từ các tam giác hay “Delaunay triangulation” lầ n đầ u tiên đư ợ c Delaunay đư a ra vào năm 1934, cung cấ p mộ t công cụ hữ u ích trong việ c tạ o lư ớ i.
Mộ t lư ớ iVđư ợ c gọ i là lư ớ i Delaunaykhi mà tấ t cả các cạ nh và tam giác củ a lư ớ i đó thoả mãn điề u kiệ n củ a đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng. Mộ t đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đư ợ c gọ i là rỗ ng nế u như đư ờ ng tròn này đi qua đỉ nh củ a tam giác t T hoặ c là cạ nh e T mà bên trong nó không có mộ t đỉ nh nào khác củ a V. Khi đó t và e lầ n lư ợ t đư ợ c gọ i là Delaunay và Locally Delaunay. Nế u tấ t cả các tam giác củ a T đề u là tam giácDelaunaythì tấ t cả các cạ nh củ aTcũng là Delaunayvà ngư ợ c lạ i.
Hình 3.3 – Minh hoạ Delaunay và Locally Delaunay A. Cạ nh e không là Locally Delaunay
B. Cạ nh e’ là Locally Delaunay C. Tam giác t không là Delaunay D. Tam giác t là tam giác Delaunay
Hình 3.3 minh hoạ cho tiêu chuẩ n lư ớ i Delaunay đư ợ c phát biể u ở trên. A) Cạ nh e không là Locally Delaunay vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua hai điể m củ a cạ nh e có chứ a hai điể m khác bên trong nó. Nghĩa là không có đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng. B) Cạ nhe’ thoả mãn điề u kiệ n đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua hai điể m củ a cạ nhe’không chứ a bấ t kỳ mộ t điể m nào khác. Do đó cạ nh e’ là Locally Delaunay. C) Tam giác t không là tam giác Delaunay vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua ba điể m củ a t không là đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng (có chứ a
CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA điể m v) bên trong. D) Tam giác t là tam giác Delaunay vì thoả mãn điề u kiệ n củ a đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng.
Tóm lạ i, vớ i mộ t miề n không gian cho trư ớ c vớ i các điể m nút có toạ độ xác đị nh. Giả i thuậ t tạ o lư ớ i Delaunay đư ợ c thự c hiệ n vớ i mụ c đích tạ o lư ớ i gồ m các phầ n tử tam giác từ các điể m nút đó mà tấ t cả các cạ nh và tam giác phả i thỏ a mãn điề u kiệ nDelaunay. Mộ t lư ớ iDelaunaytiêu biể u đư ợ c minh hoạ trên Hình 3.4.
Hình 3.4 – Lư ớ i tam giác Delaunay
3.2.2 Giả i thuậ t tạ o lư ớ iDelaunaythích nghi
Như đã giớ i thiệ u ở trên, giả i thuậ t Delaunay đư ợ c sử dụ ng vớ i mụ c đích tạ o lư ớ i, tuy nhiên các điể m nút và phầ n tử đư ợ c xác đị nh trư ớ c và không dị ch chuyể n trong suố t giả i thuậ t. Như vậ y, lư ớ i đư ợ c tạ o ra có tính duy nhấ t.
Phư ơ ng pháp dùng giả i thuậ tDelaunayđể tạ o lư ớ i thích nghitheo ý muố n củ a ngư ờ i sử dụ ng. Nghĩa là giả i thuậ t Delaunaysẽ đư ợ c lặ p lạ i nhiề u lầ n để di chuyể n