Phư ơ ng trình trư ờ ng ion hóa monopolar

Một phần của tài liệu Tính toán điện trường đường dây truyền tải điện cao áp một chiều (HVDC) bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Trang 42)

1.

2.7.2.2 Phư ơ ng trình trư ờ ng ion hóa monopolar

Vớ i đư ờ ng dây monopolar, các phư ơ ng trình mô tả trư ờ ng ion hóa đư ợ c xây dụ ng tư ơ ng tự đư ờ ng dây bipolar bằ ng cách cho giá trị - (hoặ c +) bằ ng 0. Khi đó:

/ dϕ φ ζd 2 ’ 0 / / E dζ dφ ρ ε 2 2 ’ 0 / E d d ρ ε ζ ρ φ (2.51) (2.52) (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58) (2.53)

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA

CHƯ Ơ NG 3

PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA 3.1 GIỚ I THIỆ U PHƯ Ơ NG PHÁP PHẦ N TỬ HỮ U HẠ N

Phư ơ ng pháp phầ n tử hữ u hạ n (FEM) đư ợ c bắ t nguồ n từ nhữ ng yêu cầ u giả i các bài toán phứ c tạ p về lý thuyế t đàn hồ i, phân tích kế t cấ u trong xây dự ng và kỹ thuậ t hàng không. Nó đư ợ c bắ t đầ u phát triể n bở i Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Sự phát triể n chính thứ c củ a FEM đư ợ c bắ t đầ u vào nử a sau nhữ ng năm 1950 và đư ợ c cung cấ p nề n tả ng toán họ c chặ t chẽ vào năm 1973 vớ i việ c xuấ t bả n cuố n Strang và tổ ng kế t trong An Analysis of The Finite element Method và kể từ đó FEM đư ợ c tổ ng quát hóa thành mộ t ngành củ a toán ứ ng dụ ng, mộ t mô hình số họ c cho các hệ thố ng tự nhiên, đư ợ c ứ ng dụ ng rộ ng rãi trong kỹ thuậ t.

FEM là phư ơ ng pháp số để giả i các bài toán đư ợ c mô tả bở i các phư ơ ng trình vi phân riêng phầ n cùng vớ i các điề u kiệ n biên cụ thể .

Cơ sở củ a phư ơ ng pháp này là làm rờ i rạ c hóa các miề n liên tụ c phứ c tạ p củ a bài toán. Các miề n liên tụ c đư ợ c chia thành nhiề u miề n con (phầ n tử ). Các miề n này đư ợ c liên kế t vớ i nhau tạ i các điể m nút. Trên miề n con này, dạ ng biế n phân tư ơ ng đư ơ ng vớ i bài toán đư ợ c giả i xấ p xỉ dự a trên các hàm xấ p xỉ trên từ ng phầ n tử , thoả mãn điề u kiệ n trên biên cùng vớ i sự cân bằ ng và liên tụ c giữ a các phầ n tử .

FEM không tìm dạ ng xấ p xỉ củ a hàm trên toàn miề n xác đị nh V củ a nó mà chỉ trong nhữ ng miề n con ve(phầ n tử ) thuộ c miề n xác đị nh củ a hàm. Trong FEM miề n V đư ợ c chia thành mộ t số hữ u hạ n các miề n con, gọ i là phầ n tử . Các miề n này liên kế t vớ i nhau tạ i các điể m đị nh trư ớ c trên biên củ a phầ n tử đư ợ c gọ i là nút. Các hàm xấ p xỉ này đư ợ c biể u diễ n qua các giá trị củ a hàm (hoặ c giá trị củ a đạ o hàm) tạ i các điể m nút trên phầ n tử . Các giá trị này đư ợ c gọ i là các bậ c tự do củ a phầ n tử và đư ợ c xem là ẩ n số cầ n tìm củ a bài toán.

Phư ơ ng pháp xấ p xỉ nhờ các miề n conveđư ợ c gọ i là phư ơ ng pháp xấ p xỉ bằ ng các phầ n tử hữ u hạ n, nó có mộ t số đặ c điể m sau:

i. Xấ p xỉ nút trên mỗ i miề n con ve chỉ liên quan đế n nhữ ng biế n nút gắ n vào nút củ avevà biên củ a nó.

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA ii. Các hàm xấ p xỉ trong mỗ i miề n conveđư ợ c xây dự ng sao cho chúng liên tụ c trênvevà phả i thoả mãn các điề u kiệ n liên tụ c giữ a các miề n con khác nhau. iii. Các miề n conveđư ợ c gọ i là các phầ n tử .

Tóm lạ i việ c giả i bài toán dùng phư ơ ng pháp phầ n tử hữ u hạ n bao gồ m các bư ớ c sau:

- Bư ớ c 1: Chia nhỏ cấ u trúc củ a đố i tư ợ ng nghiên cứ u (nhiề u phầ n tử , nhiề u nút).

- Bư ớ c 2: Phân tích thuộ c tính củ a từ ng phầ n tử rờ i rạ c.

- Bư ớ c 3: Kế t nố i các yế u tố tạ i các nút để tạ o thành hệ phư ơ ng trình gầ n đúng cho toàn bộ hệ thố ng.

- Bư ớ c 4: Giả i hệ phư ơ ng trình bao gồ m các đạ i lư ợ ng chư a biế t tạ i các nút. - Bư ớ c 5: Suy ra giá trị củ a các phầ n tử đư ợ c chọ n.

Tóm lạ i, sự đư a ra mộ t cách chi tiế t về FEM có thể không minh họ a tấ t cả ư u điể m cũng như khuyế t điể m củ a phư ơ ng pháp. Trong mộ t ứ ng dụ ng về các bài toán trư ờ ng điệ n trong các hệ thố ng cách điệ n, phư ơ ng pháp này có các ư u điể m sau:

- FEM sử dụ ng cho các hệ thố ng không đồ ng nhấ t (các vậ t liệ u có các hệ số điệ n môi khác nhau) cũng như đ ố i vớ i các hệ thố ng không đẳ ng hư ớ ng.

- Hình dạ ng và kích cỡ củ a các phầ n tử có thể đư ợ c chọ n để thích hợ p vớ i các điề u kiệ n biên bấ t kỳ và kích cỡ củ a mạ ng lư ớ i có thể dễ dàng thích ứ ng vớ i grad củ a điệ n thế , phầ n tử càng nhỏ có thể đư ợ c đặ t vào các khu vự c có grad cao và ngư ợ c lạ i.

- Độ chính xác có thể đư ợ c cả i thiệ n khi ứ ng dụ ng phầ n tử bậ c cao. Khuyế t điể m củ a FEM:

- Độ chính xác không biế t trư ớ c có thể đạ t đư ợ c là bao nhiêu - Thờ i gian tính toán lâu nế u hệ thố ng có nhiề u phầ n tử

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA

3.1.1 Đị nh nghĩa hình họ c

3.1.1.1 Nút hình họ c

Nút hình họ c là tậ p hợ pnđiể m trên miề n Vđể xác đị nh hình họ c các phầ n tử hữ u hạ n. Chia miề nVtheo các nút trên, rồ i thay miề n Vbằ ng mộ t tậ p hợ p các phầ n tử vecó dạ ng đơ n giả n hơ n. Mỗ i phầ n tử vecầ n chọ n sao cho nó đư ợ c xác đị nh giả i tích duy nhấ t theo các toạ độ nút hình họ c củ a phầ n tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằ m trongvehoặ c trên biên củ a nó.

3.1.1.2 Qui tắ c chia miề n thành các phầ n tử

Việ c chia miề nVthành các phầ n tử vephả i thoả mãn hai qui tắ c sau:

- Hai phầ n tử khác nhau chỉ có thể có nhữ ng điể m chung nằ m trên biên củ a chúng. Điề u này loạ i trừ khả năng giao nhau giữ a hai phầ n tử . Biên giớ i giữ a các phầ n tử có thể là các điể m, đư ờ ng hay mặ t (Hình 5.1).

- Tậ p hợ p tấ t cả các phầ n tử ve phả i tạ o thành mộ t miề n càng gầ n vớ i miề nVcho trư ớ c càng tố t. Tránh không đư ợ c tạ o lỗ hổ ng giữ a các phầ n tử .

3.1.2 Các dạ ng phầ n tử

Có nhiề u dạ ng phầ n tử hữ u hạ n: phầ n tử mộ t chiề u, hai chiề u và ba chiề u. Trong mỗ i dạ ng đó, đạ i lư ợ ng khả o sát có thể biế n thiên bậ c nhấ t (gọ i là phầ n tử bậ c nhấ t), bậ c hai hoặ c bậ c ba v.v. Dư ớ i đây, chúng ta làm quen vớ i mộ t số dạ ng phầ n tử hữ u hạ n hay gặ p.

Phầ n tử mộ t chiề u

biên giớ i biên giớ i v2

v1

biên giớ i

v2

v1 v1 v2

Hình 3.1. Các dạ ng biên chung giữ a các phầ n tử

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba Phầ n tử hai chiề u Phầ n tử ba chiề u Phầ n tử tứ diệ n Phầ n tử lăng trụ Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba Phầ n tử bậ c nhấ t Phầ n tử bậ c hai Phầ n tử bậ c ba

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA

3.1.3 Phầ n tử qui chiế u, phầ n tử thự c

Vớ i mụ c đích đơ n giả n hoá việ c xác đị nh giả i tích các phầ n tử có dạ ng phứ c tạ p, chúng ta đư a vào khái niệ m phầ n tử qui chiế u, hay phầ n tử chuẩ n hoá, ký hiệ u làvr. Phầ n tử qui chiế u thư ờ ng là phầ n tử đơ n giả n, đư ợ c xác đị nh trong không gian qui chiế u mà từ đó, ta có thể biế n đổ i nó thành từ ng phầ n tử thự c ve nhờ mộ t phép biế n đổ i hình họ cre. Ví dụ trong trư ờ ng hợ p phầ n tử tam giác (Hình 3.2).

Các phép biế n đổ i hình họ c phả i sinh ra các phầ n tử thự c và phả i thoả mãn các qui tắ c chia phầ n tử đã trình bày ở trên. Muố n vậ y, mỗ i phép biế n đổ i hình họ c phả i đư ợ c chọ n sao cho có các tính chấ t sau:

Phép biế n đổ i phả i có tính hai chiề u (song ánh) đố i vớ i mọ i điể m ξ

trong phầ n tử qui chiế u hoặ c trên biên; mỗ i điể m củ a vr ứ ng vớ i mộ t và chỉ mộ t điể m củ avevà ngư ợ c lạ i.

Mỗ i phầ n biên củ a phầ n tử qui chiế u đư ợ c xác đị nh bở i các nút hình họ c củ a biên đó ứ ng vớ i phầ n biên củ a phầ n tử thự c đư ợ c xác đị nh bở i các nút tư ơ ng ứ ng.

Chú ý:

Mộ t phầ n tử qui chiế u vr đư ợ c biế n đổ i thành tấ t cả các phầ n tử thự c ve

cùng loạ i nhờ các phép biế n đổ i khác nhau. Vì vậ y, phầ n tử qui chiế u còn đư ợ c gọ i là phầ n tử bố -mẹ .

Có thể coi phép biế n đổ i hình họ c nói trên như mộ t phép đổ i biế n đơ n giả n.

ζ( , ) đư ợ c xem như hệ toạ độ đị a phư ơ ng gắ n vớ i mỗ i phầ n tử . vr v3 v2 v1 1,0 0,0 y x (1) (2) (3) (4) (5) r3 r2 r1 0,1

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA

3.2 TẠ O LƯ Ớ I PHẦ N TỬ HỮ U HẠ N 2D3.2.1 Lư ớ i Delaunay 3.2.1 Lư ớ i Delaunay

Thuậ t ngữ lư ớ i Delaunay đư ợ c tạ o thành từ các tam giác hay “Delaunay triangulation” lầ n đầ u tiên đư ợ c Delaunay đư a ra vào năm 1934, cung cấ p mộ t công cụ hữ u ích trong việ c tạ o lư ớ i.

Mộ t lư ớ iVđư ợ c gọ i là lư ớ i Delaunaykhi mà tấ t cả các cạ nh và tam giác củ a lư ớ i đó thoả mãn điề u kiệ n củ a đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng. Mộ t đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đư ợ c gọ i là rỗ ng nế u như đư ờ ng tròn này đi qua đỉ nh củ a tam giác t T hoặ c là cạ nh e T mà bên trong nó không có mộ t đỉ nh nào khác củ a V. Khi đó te lầ n lư ợ t đư ợ c gọ i là DelaunayLocally Delaunay. Nế u tấ t cả các tam giác củ a T đề u là tam giácDelaunaythì tấ t cả các cạ nh củ aTcũng là Delaunayvà ngư ợ c lạ i.

Hình 3.3 – Minh hoạ Delaunay và Locally Delaunay A. Cạ nh e không là Locally Delaunay

B. Cạ nh e’ là Locally Delaunay C. Tam giác t không là Delaunay D. Tam giác t là tam giác Delaunay

Hình 3.3 minh hoạ cho tiêu chuẩ n lư ớ i Delaunay đư ợ c phát biể u ở trên. A) Cạ nh e không là Locally Delaunay vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua hai điể m củ a cạ nh e có chứ a hai điể m khác bên trong nó. Nghĩa là không có đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng. B) Cạ nhe’ thoả mãn điề u kiệ n đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua hai điể m củ a cạ nhe’không chứ a bấ t kỳ mộ t điể m nào khác. Do đó cạ nh e’ là Locally Delaunay. C) Tam giác t không là tam giác Delaunay vì đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p đi qua ba điể m củ a t không là đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng (có chứ a

CHƯ Ơ NG 3 PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I BÀI TOÁN TRƯ Ờ NG ION HÓA điể m v) bên trong. D) Tam giác t là tam giác Delaunay vì thoả mãn điề u kiệ n củ a đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p rỗ ng.

Tóm lạ i, vớ i mộ t miề n không gian cho trư ớ c vớ i các điể m nút có toạ độ xác đị nh. Giả i thuậ t tạ o lư ớ i Delaunay đư ợ c thự c hiệ n vớ i mụ c đích tạ o lư ớ i gồ m các phầ n tử tam giác từ các điể m nút đó mà tấ t cả các cạ nh và tam giác phả i thỏ a mãn điề u kiệ nDelaunay. Mộ t lư ớ iDelaunaytiêu biể u đư ợ c minh hoạ trên Hình 3.4.

Hình 3.4 – Lư ớ i tam giác Delaunay

3.2.2 Giả i thuậ t tạ o lư ớ iDelaunaythích nghi

Như đã giớ i thiệ u ở trên, giả i thuậ t Delaunay đư ợ c sử dụ ng vớ i mụ c đích tạ o lư ớ i, tuy nhiên các điể m nút và phầ n tử đư ợ c xác đị nh trư ớ c và không dị ch chuyể n trong suố t giả i thuậ t. Như vậ y, lư ớ i đư ợ c tạ o ra có tính duy nhấ t.

Phư ơ ng pháp dùng giả i thuậ tDelaunayđể tạ o lư ớ i thích nghitheo ý muố n củ a ngư ờ i sử dụ ng. Nghĩa là giả i thuậ t Delaunaysẽ đư ợ c lặ p lạ i nhiề u lầ n để di chuyể n

Một phần của tài liệu Tính toán điện trường đường dây truyền tải điện cao áp một chiều (HVDC) bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Trang 42)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(90 trang)