C. các Bài tập áp dụng khác.
2. Tớnh số đo gúc OEF 3 Chứng minh BF = 2FC.
4. Tớnh BG. BE + AG. AO theo R.
Baứi 36:
Cho ∆ABC(AB=AC) noọi tieỏp trong (O).Gói M laứ moọt ủieồm baỏt kyứ trẽn cung nhoỷ AC.Trẽn tia BM laỏy MK=MC vaứ trẽn tia BA laỏy AD=AC.
1. Chứng minh : BACã =2ãBKC
2. Chứng minh BCKD noọi tieỏp.,xaực ủũnh tãm cuỷa ủửụứng troứn naứy. 3. Gói giao ủieồm cuỷa DC vụựi (O) laứ I. Chứng minh B;O;I thaỳng haứng. 4. Chứng minh DI=BI.
Baứi 37:
Cho tửự giaực ABCD noọi tieỏp trong(O).Gói I laứ ủieồm chớnh giửừa cung AB(Cung AB khõng chửựa ủieồm C;D).IC vaứ ID caột AB ụỷ M;N.
1. Chứng minh D;M;N;C cuứng naốm trẽn moọt ủửụứng troứn. 2. Chứng minh NA.NB=NI.NC
3. DI keựo daứi caột ủửụứng thaỳng BC ụỷ F;ủửụứng thaỳng IC caột ủửụứng thaỳng AD ụỷ E.Chứng minh :EF//AB.
4. Chứng minh :IA2=IM.ID.
Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R và C là điểm di chuyển trờn nửa đường trũn
(C khỏc A và B). Kẻ tia Ot vuụng gúc AC ở K và cắt nửa đường trũn ở M. Đường thẳng kẻ từ C song song với MB cắt tia AM ở H và cắt tia OM ở E.
1. Chứng minh tứ giỏc CHMK nội tiếp. 2. Chứng minh EM = BC
3. Xỏc định vị trớ điểm C trờn nửa đường trũn (O) để AE là tiếp tuyến của nửa đường trũn.
4. Trong trường hợp AE là tiếp tuyến của (O), hĩy tớnh phần diện tớch tam giỏc AEC ở bờn ngồi (O).
Baứi 39:
Cho hỡnh vuõng ABCD,trẽn cánh BC laỏy ủieồm E.Dửùng tia Ax vuõng goực vụựi AE, Ax caột cánh CD keựo daứi tái F.Keỷ trung tuyeỏn AI cuỷa ∆AEF,AI keựo daứi caột CD tái K.qua E dửùng ủửụứng thaỳng song song vụựi AB,caột AI tái G.
1. Chứng minh AECF noọi tieỏp. 2. Chứng minh : AF2=KF.CF 3. Chứng minh :EGFK laứ hỡnh thoi.
4. Chứng minh :khi E di ủoọng trẽn BC thỡ EK=BE+DK vaứ chu vi ∆CKE coự giaự trũ khõng ủoồi. 5. Gói giao ủieồm cuỷa EF vụựi AD laứ J. Chứng minh :GJ ⊥ JK.
Baứi 40:
Cho ∆ABC.Gói H laứ trửùc tãm cuỷa tam giaực.Dửùng hỡnh bỡnh haứnh BHCD. Gói I laứ giao ủieồm cuỷa HD vaứ BC.
1. Chứng minh :Tứ giỏc ABDC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn tãm O;nẽu caựh dửùng tãm O. 2. So saựnh BAHã và OACã .
3. CH caột OD tái E. Chứng minh AB.AE=AH.AC
4.Gói giao ủieồm cuỷa AI vaứ OH laứ G. Chứng minh G laứ tróng tãm cuỷa ∆ABC.
Baứi 41: Cho đường trũn (O) vaứ cung AB=90o.C laứ moọt ủieồm tuyứ yự trẽn cung lụựn AB.Caực ủửụứng cao AI;BK;CJ cuỷa ∆ABC caột nhau ụỷ H.BK caột (O) ụỷ N;AH caột (O) tái M.BM vaứ AN gaởp nhau ụỷ D.
1. Chứng minh :B;K;C;J cuứng naốm trẽn moọt ủửụứng troứn. 2. Chứng minh : BI.KC=HI.KB
3. Chứng minh :MN laứ ủửụứng kớnh cuỷa đường trũn (O) 4. Chứng minh tứ giỏc ACBD laứ hỡnh bỡnh haứnh. 5. Chứng minh :OC//DH.
Bài 42: Cho tam giỏc ABC vuụng ở C nội tiếp trong đường trũn tõm O. Trờn cung nhỏ AC lấy
điểm M bất kỡ (M khỏc A và C). Vẽ đường trũn tõm A bỏn kớnh AC, đường trũn này cắt đường trũn (O) tại điểm D (D khỏc C). Đoạn thẳng BM cắt đường trũn tõm A ở N.
1. Chứng minh MB là tia phõn giỏc của CMDã .
2. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trũn (A; AC) 3. Chứng minh CNMã =MDNã .
4. Cho biết MC = a; MD = b. Hĩy tớnh đoạn thẳng MN theo a và b.
Baứi 43:
Cho hỡnh vuõng ABCD.Gói N laứ moọt ủieồm baỏt kyứ trẽn CD sao cho CN<ND;Veừ ủửụứng troứn tãm O ủửụứn kớnh BN.(O) caột AC tái F;BF caột AD tái M;BN caột AC tái E.
1. Chứng minh tam giỏc BFN vuõng cãn. 2. Chứng minh :Tứ giỏc MEBA noọi tieỏp
3. Gói giao ủieồm cuỷa ME vaứ NF laứ Q.MN caột (O) ụỷ P.Chứng minh B;Q;P thaỳng haứng. 4. Chửựng toỷ ME//PC vaứ BP=BC.
5. Chứng minh ∆FPE laứ tam giaực vuõng
Trẽn ủửụứng troứn tãm O lần lửụùt laỏy boỏn ủieồm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB vaứ CD caột nhau ụỷ E.BC caột tieỏp tuyeỏn tái A cuỷa ủửụứng troứn(O) ụỷ Q;DB caột AC tái K.
1. Chứng minh : CB laứ phãn giaực cuỷa goực ACE. 2. Chứng minh :Tứ giỏc AQEC noọi tieỏp.
3. Chứng minh :KA.KC=KB.KD 4. Chứng minh :QE//AD.
Baứi 45:
Cho (O) vaứ tieỏp tuyeỏn Ax.Trẽn Ax laỏy hai ủieồm B vaứ C sao cho AB=BC.Keỷ caựt tuyeỏn BEF vụựi ủửụứng troứn.CE vaứ CF caột (O) lần lửụùt ụỷ M vaứ N.Dửùng hỡnh bỡnh haứnh AECD.
1. Chứng minh D naốm trẽn ủửụứng thaỳng BF. 2. Chứng minh ADCF noọi tieỏp.
3. Chứng minh CF.CN=CE.CM 4. Chứng minh MN//AC.
5. Gói giao ủieồm cuỷa AF vụựi MN laứ I.Chứng minh DF ủi qua trung ủieồm cuỷa NI.
Baứi 46:
Cho (O;R) vaứ ủửụứng kớnh AB;CD vuõng goực vụựi nhau.Gói M laứ moọt ủieồm trẽn cung nhoỷ CB 1. Chứng minh ACBD laứ hỡnh vuõng.
2. AM caột CD ;CB lần lửụùt ụỷ P vaứ I.Gói J laứ giao ủieồm cuỷa DM vaứ AB. Chứng minh IB.IC=IA.IM 3. Chửựng toỷ IJ//PD vaứ IJ laứ phãn giaực cuỷa CJMã
4. Tớnh dieọn tớch ∆AID theo R.
Baứi 47:
Cho ∆ABC vuụng ở A.Keỷ AH ⊥ BC.Gói O vaứ O’ laứ tãm ủửụứng troứn noọi tieỏp caực tam giaực AHB vaứ AHC.ẹửụứng thaỳng OO’ caột cánh AB;AC tại M và N.
1. Chứng minh ∆ OHO’ laứ tam giaực vuõng. 2. Chứng minh HB.HO’=HA.HO
3. Chứng minh ∆HOO’ ∆HBA.
4. Chứng minh Caực tửự giaực BMHO;HO’NC noọi tieỏp. 5. Chứng minh ∆AMN vuõng cãn.
Baứi 48:
Cho nửỷa ủửụứng troứn O,ủửụứng kớnh AB=2R,gói I laứ trung ủieồm AO.Qua I dửùng ủửụứng thaỳng vuõng goực vụựi AB,ủửụứng naứy caột nửỷa ủửụứng troứn ụỷ K.Trẽn IK laỏy ủieồm C,AC caột (O) tái M;MB caột ủửụứng thaỳng IK tái D.Gói giao ủieồm cuỷa IK vụựi tieỏp tuyeỏn tái M laứ N.
1. Chứng minh tứ giỏc AIMD noọi tieỏp. 2. Chứng minh CM.CA=CI.CD. 3. Chứng minh ND=NC.
4. CB caột AD tái E.C/m E naốm trẽn ủửụứng troứn (O) vaứ C laứ tãm ủửụứng troứn noọi tiếp ∆EIM.
5. Giaỷ sửỷ C laứ trung ủieồm IK.Tớnh CD theo R.
Baứi 49:
Cho ∆ABC.Gói P laứ moọt ủieồm naốm trong tam giaực sao cho goực PBA=PAC.Gói H vaứ K lần lửụùt laứ chãn caực ủửụứng vuõng goực há tửứ P xuoỏng AB;AC.
1. Chứng minh tứ giỏc AHPK noọi tieỏp. 2. Chứng minh HB.KP=HP.KC.
4. Chứng minh ủửụứng trung trửùc cuỷa HK ủi qua F.
Baứi 50:
Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD(àA>900).Tửứ C keỷ CE;CF;CG lần lửụùt vuõng goực vụựi AD;DB;AB. 1. Chứng minh tứ giỏc DEFC noọi tieỏp.
2. Chứng minh CF2=EF.GF.
3.Gói O laứ giao ủieồm AC vaứ DB.Keỷ OI⊥CD. Chứng minh OI ủi qua trung ủieồm cuỷa AG 4.Chửựng toỷ EOFG là một tứ giỏc noọi tieỏp.
Baứi 51:
Cho hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) caột nhau ụỷ A vaứ B.Caực ủửụứng thaỳng AO caột (O) lần lửụùt ụỷ C vaứ D;ủửụứng thaỳng AO’ caột (O) vaứ (O’) lần lửụùt ụỷ E vaứ F.
1. Chứng minh C;B;F thaỳng haứng. 2. Chứng minh CDEF noọi tieỏp. 3. Chứng minh ỷ DA.FE=DC.EA
4. Chứng minh A laứ tãm ủửụứng troứn noọi tieỏp ∆BDE.
5. Tỡm ủiều kieọn ủeồ DE laứ tieỏp tuyeỏn chung cuỷa hai ủửụứng troứn (O);(O’)
Baứi 52:
Cho (O;R).Moọt caựt tuyeỏn xy caột (O) ụỷ E vaứ F.Trẽn xy laỏy ủieồm A naốm ngoaứi ủoán EF,veừ 2 tieỏp tuyeỏn AB vaứ AC vụựi (O).Gói H laứ trung ủieồm EF.
1. Chửựng toỷ 5 ủieồm:A;B;C;O;H cuứng naốm trẽn moọt ủửụứng troứn. 2. ẹửụứng thaỳng BC caột OA ụỷ I vaứ caột ủửụứng thaỳng OH ụỷ K.
Chứng minh OI.OA=OH.OK=R2.
3. Khi A di ủoọng trẽn xy thỡ I di ủoọng trẽn ủửụứng naứo? 4. Chứng minh KE vaứ KF laứ hai tieỏp tyueỏn cuỷa (O)
Baứi 53:
Cho ∆ABC (AB<AC) coự hai ủửụứng phãn giaực CM,BN caột nhau ụỷ D.Qua A keỷ AE vaứ AF lần lửụùt vuõng goực vụựi BN vaứ CM.Caực ủửụứng thaỳng AE vaứ AF caột BC ụỷ I;K.
1. Chứng minh AFDE noọi tieỏp. 2. Chứng minh AB.NC=BN.AB 3. Chứng minh FE//BC
4. Chứng minh tứ giỏc ADIC noọi tieỏp.
Baứi 54:
Cho ∆ABC(àA=1v);AB=15 cm;AC=20 cm.Dửùng ủửụứng troứn tãm O ủửụứng kớnh AB vaứ (O’) ủửụứng kớnh AC.Hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) caột nhau tái ủieồm thửự hai D.
1. Chửựng toỷ D naốm trẽn BC.
2. Gói M laứ ủieồm chớnh giửừa cung nhoỷ DC.AM caột DC ụỷ E vaứ caột (O) ụỷ N. Chứng minh DE.AC=AE.MC
3. Chứng minh AN=NE vaứ O;N;O’ thaỳng haứng. 4. Gói I laứ trung ủieồm MN.Chứng minh OIOã '=90o. 5. Tớnh dieọn tớch tam giaực AMC.
Baứi 55:
Trẽn (O;R),ta lần lửụùt ủaởt theo moọt chiều,keồ tửứ ủieồm A moọt cung AB=60o, rồi cung BC=90o vaứ cung CD=120o.
1. Chứng minh ABCD laứ hỡnh thang cãn. 2. Chứng minh AC⊥DB.
4. Gói M;N laứ trung ủieồm caực cánh DC vaứ AB.Trẽn DA keựo daứi về phớa A laỏy ủieồm P;PN caột DB tái Q. Chứng minh MN laứ phãn giaực cuỷa goực PMQ.
Baứi 56:
Cho ∆ ủều ABC coự cánh baống a.Gói D laứ giao ủieồm hai ủửụứng phãn giaực goực A vaứ goực B cuỷa tam giaỏcBC.Tửứ D dửùng tia Dx vuõng goực vụựi DB.Trẽn Dx laỏy ủieồm E sao cho ED = DB
(D vaứ E naốm hai phớa cuỷa ủửụứng thaỳng AB).Tửứ E keỷ EF⊥BC. Gói O laứ trung ủieồm EB.
1. Chứng minh cỏc tứ giỏc AEBC vaứ EDFB noọi tieỏp,xaực ủũnh tãm vaứ baựn kớnh cuỷa caực ủửụứng troứn ngoái tieỏp caực tửự giaực trẽn theo a.
2. Keựo daứi FE về phớa F,caột (D) tái M.EC caột (O) ụỷ N.C/m EBMC laứ thang cãn.Tớnh dieọn tớch. 3. Chứng minh EC laứ phãn giaực cuỷa ãDAC
4. Chứng minh FD laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa MB. 5. Chửựng toỷ A;D;N thaỳng haứng.
Baứi 57:
Cho nửỷa ủửụứng troứn (O) ủửụứng kớnh BC.Gói a laứ moọt ủieồm baỏt kyứ trẽn nửỷa ủửụứng troứn;BA keựo daứi caột tieỏp tuyeỏn Cy ụỷ F.Gói D laứ ủieồm chớnh giửừa cung AC;DB keựo daứi caột tieỏp tuyeỏn Cy tái E.
1. Chứng minh BD laứ phãn giaực cuỷa goực ABC vaứ OD//AB. 2. Chứng minh tứ giỏc ADEF noọi tieỏp.
3. Gói I laứ giao ủieồm BD vaứ AC.Chửựng toỷ CI=CE vaứ IA.IC=ID.IB. 4. Chứng minh AFDã =ãAED
Baứi 58:
Cho nửỷa ủtroứn (O);ủửụứng kớnh AD.Trẽn nửỷa ủửụứng troứn laỏy hai ủieồm B vaứ C sao cho cung AB<AC.AC caột BD ụỷ E.Keỷ EF⊥AD tái F.
1. Chứng minh tứ giỏc ABEF nội tiếp. 2. Chửựng toỷ DE.DB=DF.DA.
3. Chứng minh I laứ tãm ủửụứng troứn noọi tieỏp ∆CJD.
4. Gói I laứ giao ủieồm BD vụựi CF.Chứng minh BI2=BF.BC-IF.IC
Baứi 59:
Cho (O) ủửụứng kớnh AB;P laứ moọt ủieồm di ủoọng trẽn cung AB sao cho PA<PB. Dửùng hỡnh vuõng APQR vaứo phớa trong ủửụứng troứn.Tia PR caột (O) tái C.
1. Chửựng minh ∆ACB vuõng cãn.
2. Veừ phãn giaực AI cuỷa goực PAB(I naốm trẽn(O);AI caột PC tái J. Chứng minh 4 ủieồm J;A;Q;B cuứng naốm trẽn moọt ủửụứng troứn. 3. Chửựng toỷ: CI.QJ=CJ.QP.
Bài 60: Cho nửa đường trũn O đường kớnh BC = 2R và E là một điểm trờn nửa đường trũn sao cho BE CEằ <ằ . Tiếp tuyến với nửa đường trũn (O) ở E cắt cỏc tia tiếp tuyến Bx và Cy lần lượt tại cỏc điểm A và D.
a. Chứng minh ãAOD=900 và AB. CD = R2.
b. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC, M là giao điểm của tia Bx và đường thẳng OE. Chứng minh tứ giỏc BEMN là hỡnh thang cõn.
c. Tia CE cắt AM tại F. Tỡm vị trớ của điểm E trờn nửa đường trũn (O) để F là trung điểm đoạn thẳng AM.
d. Trong trường hợp F là trung điểm AM, hĩy tớnh phần diện tớch hỡnh thang ở bờn ngồi nửa đường trũn (O) theo R.
Bài 61. Cho tứ giác ABCD cĩ AC ⊥ BD. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng:
b. Biết AC = 19cm, BD = 98cm. Tính diện tích của đờng trịn (O).
Bài 62. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M, N, P, Q là giao điểm của các đờng phân giác trong của tứ giác. Chứng
minh rằng 4 điểm: M, N, P, Q cùng thuộc một đờng trịn.
Bài 63. Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Các đờng thẳng AO, AO’ cắt đờng trịn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đờng trịn (O’) tại các điểm thứ hai E, F. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b. Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng trịn. c. A là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác BDE.
Bài 64. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Kẻ đờng cao AH và vẽ đờng trịn đờng kính AH, đờng trịn này cắt AB
tại E, cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
Bài 65. Cho hình vuơng ABCD. Lấy AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuơng AEB ra phía ngồi hình vuơng.
Chứng minh rằng phân giác gĩc E chia hình vuơng thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau.
Bài 66. Cho tam giác MNP vuơng tại M (MN < MP) và nội tiếp đờng trịn tâm (O, R). Gọi K là trung điểm
của MP và MI là đờng cao của tam giác MNP.
a. Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp đợc trong một đờng trịn (O’). Xác định tâm O’ của đờng trịn đĩ. b. Xác định vị trí tơng đối của hai đờng trịn (O) và (O’).
c. Đờng trịn (O’) cắt MN tại E. Chứng minh 3 điểm E, O’, K thẳng hàng.
Bài 67. Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE tới đờng
trịn. Gọi I là trung điểm của DE.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng trịn. b. Chứng minh rằng IA là tia phân giác của gĩc BIC.
Bài 68. Cho tam giác ABC cân là A nội tiếp đờng trịn (O). Hai điểm H, K trên cạnh BC, AH, AK thứ tự cắt đ-
ờng trịn tại P, Q. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác KHPQ nội tiếp đợc một đờng trịn. b. AH.AP = AK.AQ.
Bài 69. Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng trịn. Gọi I là một điểm
nằm trên dây BC, đờng thẳng vuơng gĩc với OI tại I cắt AB, AC thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 70. Cho tam giác nhọn ABC, đờng trịn đờng kính BC cắt AB, AC thứ tự tại D, E. AE cắt BD tại H. Chứng
minh rằng:
a. Tứ giác ADHE nội tiếp đợc một đờng trịn (O’). b. AI ⊥ BC và OO’ ⊥ DE.
Bài 71. a. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I. Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B,
C, D cùng thuộc một đờng trịn.
b. Cho hai đoạn thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau tại I (A nằm giữa I,B; C nằm giữa I, D). Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng trịn.
Bài 72. Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Một đờng thẳng qua A cắt hai đờng trịn tại P, Q. Các tiếp tuyến của hai đờng trịn tại P, Q cắt nhau tại T. CMR:
a. Gĩc PBQ khơng đổi khi đờng thẳng MN quay quanh A. b. Tứ giác TPBQ nội tiếp đợc một đờng trịn.
MỤC LỤC
NỘI DUNG CHUYấN ĐỀ SỐ TRANG CHÚGHI
Thực hiện phộp tớnh, rỳt gọn biểu thức 01 đến 09
Hàm số- Sự tương giao của hai đồ thị 10 đến 15
Hệ phương trỡnh 16 đến 19
Phương trỡnh bậc nhất – Phương trỡnh bậc hai . Cỏch giải 20 dến 34Giải bài toỏn bằng cỏch lập hệ phương trỡnh , phương trỡnh 35 đến 60