5. Bố cục của luận án
2.2. Mô hình kiến trúc định hướng đa búp sóng theo lý thuyết hệ thống
2.2.1 Mô hình hệ thống
2.2.1.1 Mô hình tín hiệu
Xét hệ định hướng búp sóng bao gồm M phần tử. Ký hiệu ( ) là tín hiệu nguồn phát đi với góc t i ớ như hình 2.1
Hình 2.1.Hệ định hướng búp sóng
Trong thực tiễn, các hệ phi tuyến được nhóm thành ba lớp. Lớp thứ nhất, tính phi tuyến phụ thuộc (hàm) vào biến đầu vào, tốc độ biến thiên các bậc của biến đầu vào hoặc thể hiện ở hàm của biến đầu ra, tốc độ biến thiên các bậc của biến đầu ra. Lớp thứ hai, phi tuyến ở hàm của cả biến đầu vào, biến đầu ra và tốc độ biến thiên các bậc của chúng. Lớp thứ ba chứa các hệ có đồng thời nhiều tính phi tuyến. Vì có thể phân tách các hệ phi tuyến thuộc lớp thứ ba theo lớp thứ nhất hoặc/và lớp thứ hai nên hệ định hướng búp sóng trong không gian trạng thái có thể được mô tả như sau [77] :
( ) = ( , ) ( )+ ( )+ ( ) (2.1)
( ) = ( ) + ( )+ ( ) (2.2)
• ( ) là vector tín hiệu quan sát được từ Mphần tử của mảng tại thời điểm t.
• ( )là thành ph n can nhi u, ầ ễ ( )là nhiễu AWGN
• = [ ( , ), ( , ), … ( , )], ứng với nguồn tín hiệu khác nhau P
là ma trận có kích thước phù hợp là tham số quá trình của hệ thống.
• ( , ) là vector định hướng sóng tới có kích thước M x K, được biểu diễn:
( , ) = 1 ( )/ ( )/ … ( ) ( )/ (2.3)
Với d là kho ng cách gi a hai ph n t , là t n s sóng mang và là tả ữ ầ ử ầ ố c ốc độ ánh sáng. Vector định hướng sóng t i ph thu c vào góc t i và t n sớ ụ ộ ớ ầ ố, để đơn giản, ta ký hi u ệ ( , ) là a. Mô hình đơn búp sóng sẽ là:
( ) = ( ) + ( )+ ( ). (2.4)
Mô hình đa búp sóng biểu diễn dưới dạng:
( ) = ( ) + ( )+ ( ) (2.5)
( ) = ( )+ ( )+ ( ) (2.6)
Có hai mô hình định hướng búp sóng t ng quát bao gổ ồm định hướng búp sóng tín hiệu băng hẹp và tín hiệu băng rộng. Ở mô hình tín hiệu băng hẹp, tín hiệu đầu ra của bộ định hướng búp sóng ở thời điểm là t ( ) nhận được bằng tổ hợp tuyến tính tín hiệu của phần tử tại thời điểm M t.
( ) = ( ) (2.7)
Đối với mô hình tín hiệu băng rộng thì tín hiệu ra được biểu diễn bằng:
( ) = , ( ) (2.8)
với K-1là số các bộ trễ ở mỗi kênh ứng với phần tử thứ icủa mảng. Tín hiệu đầu ra được biểu diễn dạng vector như sau:
( ) = ( ) (2.9)
trong đó:
( ) là tín hiệu nhận được.
Vector trọng số chiều dài được biểu diễn như sau: M
= [ , , … , ] = [ ] (2.10)
Đáp ứng của bộ định hướng đơn búp sóng được biểu diễn:
( ) (2.11)
Đồ th ị chùm tia được định nghĩa là bình phương độ ớ l n c a ủ ( , ). Chú ý rằng mỗi trọng số trong vector tác động đến đáp ứng của bộ định hướng búp sóng w
cả về mặt thời gian và không gian.
{| | }= { } (2.12) Trong đó ký hiệu {.}biểu diễn trị trung bình hay kỳ vọng.
Nếu tín hiệu dừng nghĩa rộng thì ma trận hiệp phương sai = { } là độc lập thống kê theo thời gian. Mặc dù thống kê tín hiệu thường không dừng, nhưng ta thiết kế và đánh giá hiệu năng hệ định hướng búp sóng tối ưu trên cơ sở giả thiết tín hiệu dừng nghĩa rộng.
Tín hi u nguệ ồn ( )là băng hẹp ở tần số thì ma trận hiệp phương sai được xác định bởi:
= ( , ) ( , ) = (2.13)
Với là công suất trung bình của tín hiệu.
2.2.1.2 Định hướng búp sóng tối ưu thống kê
Kỹ thuật định hướng búp sóng là kỹ thuật quan trọng trong xử lý mảng nhằm thu nhận tối ưu tín hiệu mong muốn trong khi giảm thiểu can nhiễu. Các bộ định hướng búp sóng tối ưu thống kê bao gồm cực đại hóa tỉ số SNR, tối thiểu hóa trung bình bình phương sai lệch, tối thiểu hóa phương sai có ràng buộc tuyến tính, đáp ứng phương sai tối thiểu không méo dạng được áp dụng rộng rãi [65] [61]. Thiết kế các bộ định hướng búp sóng theo phương pháp tối ưu thống kê đòi hỏi các tính chất thống kê của nguồn và các đặc trưng của kênh.
a. Cực đại hóa tỉ số SNR
Vector trọng số là nghiệm của phương trình tối ưu cực đại hóa tỉ số SNR
MaxSNR=argmax (2.14)
Nghiệm tổng quát MaxSNR yêu cầu cảRRRRR =E {ssss }ssssss và =E {nnnnnnnnnn } là các ma trận hiệp phương sai của tín hiệu và nhiễu. Tùy từng ứng dụng mà cách tính và là khác nhau. Ví dụ, có thể được ước lượng trong suốt thời gian không có tín hiệu,
3 y,
được ước lượng từ tín hiệu và góc tới đã biết theo phương trình (2.1 ). Ta thấ nhân vector tr ng sọ ố ớ v i m t h ng sộ ằ ố không làm thay đổi SNR. Vì vector định hướng búp sóng (θ ω, ) cố định với một tín hiệu cố định. Chọn vector trọng số sao cho
(θ ω, ) = (v i ớ là hằng số . Bài toán cực đại hóa SNR trở thành tối thiểu hóa ) công suất can nhiễu.
= { }= ( )
à ộ ở : =
(2.15) (2.16) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, nghiệm của phương trình tối ưu [78]:
= (2.17)
b. Tối thiểu hóa sai số bình phương trung bình tối thiểu (MMSE)
Phương pháp tối thi u hóa sai sể ố bình phương trung bình i thi u nh m t i tố ể ằ ố thiểu hóa tín hiệu sai lệch giữa tín hiệu phát với một tín hiệu chuẩn ( ). Trong mô hình này, người dùng mong mu n gi thi t phát tín hi u chu n này, t c là ố ả ế ệ ẩ ứ ( ) =
( ) v i ớ α là biên độ ủ c a tín hiệu chuẩn ( ) và ( ) biết được tại bộ thu. Tín hiệu ra của bộ định hướng búp sóng phải bám tín hiệu chuẩn [79]. Phương pháp MMSE tìm trọng số sao cho tối thiểu hóa công suất trung bình tín hiệu sai lệch.
= {| ( )| } (2.18) Với: {| ( )| }= {| ( ) ( )| } = {| + | } = + (2.19) Trong đó = { }.
Lấy vi phân theo và cho bằng không: | ( )|
= = 0 (2.20)
Ta có nghiệm của phương trình
= (2.21)
Nghiệm này được biết là nghiệm tối ưu lọc Wiener. Phương pháp này đòi hỏi phải có tín hiệu chuẩn để huấn luyện bộ định hướng búp sóng.
c. Tối thiểu hóa phương sai có ràng buộc tuyến tính (LCMV)
Tối thiểu hóa phương sai có ràng buộc tuyến tính (LCMV) thuộc tối thiểu hóa công suất đầu ra của bộ định hướng búp sóng đồng thời giữ cố định đáp ứng đầu ra theo hướng sóng tới của tín hiệu quan tâm nhằm bảo toàn tín hiệu mong muốn trong khi tối thiểu hóa tác động của các thành phần không mong muốn bao gồm can nhiễu và nhiễu trắng đến từ các hướng khác hướng mong muốn.
Ta có đáp ứng đầu ra c a ngu n tín hi u v i góc t i góc và tủ ồ ệ ớ ớ ần s ố được xác định bằng ( , ). Ràng buộc tuyến tính các trọng số sao cho thỏa mãn
( , ) = , v i ớ là hằng s ph c nhố ứ ằm đảm b o m i tín hi u có t n s ả ọ ệ ầ ố đến từ góc tới θ được cho qua đầu ra với đáp ứng . Biểu diễn toán học tối thiểu hóa các thành phần đầu ra do can nhiễu bằng cách tối thiểu hóa công suất đầu ra:
= {| | }= { },
à ộ ở : ( , ) =
(2.22)
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm [ ( , )]
Với:
( , ) = {| | }+ ( ) = + ( ) (2.23)
= + , 0 1 (2.24)
Nghiệm của phương trình:
= = (2.25)
Thực tế, thành phần nhiễu không tương quan sẽ đảm bảo là khả nghịch. Nếu
= 1 thì được gọi là đáp ứng phương sai tối thiểu không méo dạng (MVDR). Nghiệm MVDR tương đương với nghiệm cực đại hóa SNR bằng cách thay
( , ) ( , ) + bằng và áp dụng bổ đề của ma trận nghịch đảo [77] [ + ] = [ + ] , (2.26) Ta có: = [ + ] = + (2.27) = + = ( ) + (2.28)
d. Bộ định hướng búp sóng Frost Beamformer
τ 1( ) x t 1 w τ τ 1 wK+ w2K+1 w( 1)J− K+1 1( ) K x + t x( 1)J− K+1( )t τ 2( ) x t 2 w τ 2 wK+ w2K+2 w( 1)J− K+2 2( ) K x + t x( 1)J− K+2( )t τ ( ) K x t wK τ τ 2 w K wJ K( −1) wKJ 2K( ) x t x tKJ( ) ( ) y k τ ∑
Hình 2.2. Bộ định hướng Frost Beamformer
Bộ xử lý có phần tử và mỗi phần tử có khâu trễ. Như vậy có tổng số K J KJ
trọng số. Có trọng số (không biểu diễn trên hình) xác định hướng búp sóng. Số còn J
lại (KJ – J) được sử dụng để tối thiểu hóa công suất tổng cộng ở đầu ra của mảng. Tối thiểu hóa công suất đầu ra tương đương với tối thiểu hóa công suất can nhiễu ở các hướng khác với hướng tới của tín hiệu. Ở góc độ đáp ứng tần số tại hướng sóng tới, bộ xử lý mảng có thể xem xét tương đương với một dãy trễ trong đó mỗi hệ số bằng tổng các hệ số tính theo cột. Các hệ số tổng được lựa chọn sao cho có đặc tính tần số theo yêu cầu ở hướng sóng tới.
Vector tín hiệu tại mỗi khâu trễ ứng với mẫu thứ k là X(k)
( ) = ( ), ( ), … , ( ) (2.29)
Giá trị này là tổng của tín hiệu sóng tới và can nhiễu từ các hướng khác
Vector trọng số tại mỗi kênh là , với:W
= [ … ] (2.31)
Các hàm tương quan được xác định:
[ ( ) ( )] =
[ ( ) ( )]= (2.32)
[ ( ) ( )] =
Giả thiết tín hiệu không tương quan với can nhiễu, ta có:
[ ( ) ( )]= 0 (2.33)
Đầu ra của mảng tại thời điểm k:
( ) = ( ) = ( ) (2.34) Công suất đầu ra được biểu diễn bằng:
[ ( )] = [ ( ) ( ) ] = (2.35)
Ràng buộc của các trọng số trên cột thứ của các tổng trọng số tương ứng với j
tần số .
= = 1,2, … , (2.36)
Ký hiệu ma trận ràng buộc C:
= … … (2.37)
Ký hiệu vector tổng trọng số tương tương của hướng sóng tới:
= [ … … ] (2.38)
Ràng buộc được biểu diễn:
= (2.39)
Bài toán tối ưu của Frost Beamformer:
min (2.40)
à : =
= [ ] (2.41)
2.2.2 Định hướng đa búp sóng theo lý thuyết hệ thống
Phần này đề xuất mô hình định hướng búp sóng trên cơ sở mô hình giảm bậc và tập điều kiện cần, tập điều kiện đủ được xác định tương ứng.
2.2.2.1 Mô tả bài toán giảm bậc
Đối với các hệ định hướng búp sóng biểu diễn trong không gian trạng thái bằng phương trình (2.1) và (2.2), các thuật toán tối ưu đã trình bày có thể xem là phương pháp tối ưu trên cơ sở của mô hình tuyến tính hóa có bậc cao nhất tạm gọi là toàn bậc. Tuy nhiên, phương pháp toàn bậc có hạn chế là yêu cầu số lượng lớn các mẫu để đạt được trạng thái ổn định dẫn đến hạn chế khả năng đáp ứng thời gian thực. Giảm bậc mô hình của một hệ động học đã trở thành công cụ để nắm bắt những hiểu biết ban đầu về hệ thống và điều khiển hệ thống đáp ứng tốc độ trong thời gian thực [80] [103].
2.2.2.2 Phát biểu bài toán giảm bậc và xử lý bài toán
a. Tuyến tính hoá đối với một hệ phi tuyến có bản chất là giảm bậc
Cho một mô hình của hệ định hướng đa búp sóng bậc , tuyến tính, bất biến M
theo thời gian và không nhất thiết có tính điều khiển và quan sát đồng thời được. Mô hình tuyến tính hóa một hệ phi tuyến được mô tả bởi:
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.42)
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.43)
( ) = ( ) (2.44)
Trong đó, ( ), ( ), ( ) là các vector có M chiều, ma trận A tương ứng P
nguồn tín hiệu trong đa búp sóng được kích thước hoá một cách phù hợp và ma trận A
mô tả tính chất động học của hệ thống.
Hãy xác định m t mô hình có b c r, g i là mô hình gi m b c, ộ ậ ọ ả ậ <
( ) ( ) ( ) (2.45)
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.46)
( ) (2.47)
Thỏa mãn điều kiện sau đây:
- Tiêu chí L2đối với giảm bậc mô hình:
( ) = {| | }= {| | }= (2.48)
( , ) = (2.49) được tối thiểu hoá.
- Mô hình ( , )có tính điều khiển và quan sát được
b. Tính bền vững của mô hình giảm bậc
Có rất nhiều phương pháp tối ưu đối với bài toán đã phát biểu, trong khuôn khổ nghiên cứu của luận án này, phương pháp tối ưu được sử dụng là tối ưu theo trạng thái [81].
Đối với một mô hình tuyến tính, bất biến theo thời gian có bậc M của hệ định hướng búp sóng, luôn tồn tại một phép biến đổi kích thước × có hạng đủ theo hàng lên các trạng thái của mô hình sao cho các tham số tối ưu của mô hình giảm bậc được thực hiện như sau [63] [68]:
Chọn một mô hình giảm bậc (giả định) mẫu được mô tả bởi:
= + ( ) (2.50)
( ) = ( )+ ( ) (2.51)
= (2.52)
Biểu thức điều kiện đối với mô hình mẫu:
( ) = ( ) (2.53)
Vị trí các điểm cực để ổn định tính hệ thống do quyết định. Để hệ ổn định, ma trận không tạo ra các điểm cực nằm ngoài đường tròn đơn vị. Thành phần
tạo điểm không trong không gian .
Mô hình giảm bậc của mô hình định hướng búp sóng thu được như sau:
= (2.54)
(2.55)
(2.56)
( ) = ( ), = (2.57)
Định hướng cho việc lựa chọn có thể được đề xuất từ nhiều góc độ khác nhau, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Theo nghiên cứu của các tác giả trước, có thể được lựa chọn dựa trên cơ sở lý thuyết ma trận hoặc dựa trên cơ sở của giải tích . Trong khuôn khổ của luận án này, ma trận chuyển vị được xác định bằng tối thiểu hóa hàm phạt:
à ( , ) = (2.59) Biến đổi thành bài toán tối ưu không ràng buộc bằng phương pháp Lagrange như sau:
( , ) = {| | }+ 2 [ ( )] (2.60)
Trong đó là nhân tử Lagrange, cố định , tối thiểu hóa theo , giải nghiệm theo ,ta được:
= (2.61)
2.2.2.3. Phương pháp tối ưu bền vững theo tiêu chí Min-Max
Bài toán tối ưu bền vững tìm kiếm nghiệm trọng số định hướng búp sóng sao cho tối thiểu hóa tình huống xấu nhất (tốt nhất trong điều kiện xấu nhất) trên tập tín hiệu (có thể trên miền thời gian hoặc miền tần số đối với định hướng búp sóng theo tần số) và theo tiêu chí , với hằng số > 0 và một ma trận xác định dương Q [82]. Bài toán được phát biểu dưới dạng tối ưu Min-Max như sau:
= : ( , ) = : = : + |1 | (2.62)
Với ma trận hiệp phương sai của vector quan sát, = ( ) .
=
: ( , )
(2.63)
Nghiệm của phương trình được xác định bằng phương pháp nhân tử Lagrange
=
1 + (2.64)
Giá trị MSE lý thuyết là:
= +
Nghiệm gần đúng của (2. ) và các vector trọng số có thể tìm theo phương 64 pháp thích nghi bằng thuật toán độ dốc lớn nhất, hướng liên hợp, phương pháp Gradient, liên hợp thuật toán LMS (Least Mean Squares) và thuật toán đệ quy bình phương tối thiểu [83].
2.2.3 Kết quả mô phỏng
2.2.3.1 Phương pháp mô phỏng
Hiệu năng của hệ thống được thực hiện bằng phương pháp mô phỏng Monte-
Carlo nhằm đưa ra kết quả có tính chất đại diện minh chứng hiệu quả của phương pháp đề xuất tại các điều kiện mô phỏng khác nhau.
Vai trò của mô phỏng nhằm phân tích, đánh giá và so sánh hiệu năng của phương pháp / thuật toán / mô hình đề xuất với các kỹ thuật đã có. Mô phỏng ước lượng ảnh hưởng của một số tham số lên hiệu năng của hệ thống. Các thông số bao gồm: Tỉ số công suất can nhiễu trên công suất tín hiệu (ISR- Interference-to-Signal Ratio), tỉ số tín hiệu trên tạp âm (SNR), cấu hình của ăng-ten mảng (ULA- Uniform Linear Array, URA- Uniform Rectangular Array và UCA- Uniform Circular Array), số các phần tử ăng-ten (M), tốc độ lấy mẫu , góc lệch giữa tín hiệu phát và can nhiễu Δθ.
Thuật toán mô phỏng bao gồm các bước tuần tự như sau:
• Bước 1: Khởi tạo mô hình hệ thống, tạo tín hiệu phát, can nhiễu và nhiễu
AWGN theo các tham số về SNR, INR (Interference-to-Noise Ratio) và góc lệch khác nhau.
• Bước 2: Thu nh n tín hiậ ệu theo vector định hướng sóng t i ớ ( ),can nhiễu và nhiễu AWGN tại các sensor.
• Bước 3: Tạo beamforming, tính toán trọng số beamforming theo các mẫu tín hiệu nhận được bằng các thuật toán khác nhau.
• Bước 4: So sánh tín hiệu ra với tín hiệu nguồn và tính toán giá trị trung bình NRMSE theo phương pháp Monte-Carlo.
Tín hiệu phát là tín hiệu băng hẹp có định dạng sin biên độ phức. Tín hiệu phát liên tục thông qua chuỗi huấn luyện và có biên độ hoặc phương sai thay đổi để nhận được tỉ số SNR mong muốn tại mỗi ăng-ten. Tín hiệu phát có dạng:
( ) = (
/ ) (2.66)
Trong đó: là tần số sóng mang, là tần số ấ l y mẫu, là góc pha của tín hiệu,
Về mô phỏng can nhiễu, có hai trường hợp là can nhiễu băng hẹp có tần số trùng với tần số của tín hiệu phát và can nhiễu băng rộng. Can nhiễu băng rộng có dạng:
( ) = (0,1) (2.67)
Nhiễu AWGN n(t) N(0,1) có độ lệch chuẩn được chuẩn hóa bằng 1 xuất