5. Bố cục của luận án
2.2.2.2 Phát biểu bài toán giảm bậc và xử lý bài toán
a. Tuyến tính hoá đối với một hệ phi tuyến có bản chất là giảm bậc
Cho một mô hình của hệ định hướng đa búp sóng bậc , tuyến tính, bất biến M
theo thời gian và không nhất thiết có tính điều khiển và quan sát đồng thời được. Mô hình tuyến tính hóa một hệ phi tuyến được mô tả bởi:
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.42)
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.43)
( ) = ( ) (2.44)
Trong đó, ( ), ( ), ( ) là các vector có M chiều, ma trận A tương ứng P
nguồn tín hiệu trong đa búp sóng được kích thước hoá một cách phù hợp và ma trận A
mô tả tính chất động học của hệ thống.
Hãy xác định m t mô hình có b c r, g i là mô hình gi m b c, ộ ậ ọ ả ậ <
( ) ( ) ( ) (2.45)
( ) = ( )+ ( ) + ( ) (2.46)
( ) (2.47)
Thỏa mãn điều kiện sau đây:
- Tiêu chí L2đối với giảm bậc mô hình:
( ) = {| | }= {| | }= (2.48)
( , ) = (2.49) được tối thiểu hoá.
- Mô hình ( , )có tính điều khiển và quan sát được
b. Tính bền vững của mô hình giảm bậc
Có rất nhiều phương pháp tối ưu đối với bài toán đã phát biểu, trong khuôn khổ nghiên cứu của luận án này, phương pháp tối ưu được sử dụng là tối ưu theo trạng thái [81].
Đối với một mô hình tuyến tính, bất biến theo thời gian có bậc M của hệ định hướng búp sóng, luôn tồn tại một phép biến đổi kích thước × có hạng đủ theo hàng lên các trạng thái của mô hình sao cho các tham số tối ưu của mô hình giảm bậc được thực hiện như sau [63] [68]:
Chọn một mô hình giảm bậc (giả định) mẫu được mô tả bởi:
= + ( ) (2.50)
( ) = ( )+ ( ) (2.51)
= (2.52)
Biểu thức điều kiện đối với mô hình mẫu:
( ) = ( ) (2.53)
Vị trí các điểm cực để ổn định tính hệ thống do quyết định. Để hệ ổn định, ma trận không tạo ra các điểm cực nằm ngoài đường tròn đơn vị. Thành phần
tạo điểm không trong không gian .
Mô hình giảm bậc của mô hình định hướng búp sóng thu được như sau:
= (2.54)
(2.55)
(2.56)
( ) = ( ), = (2.57)
Định hướng cho việc lựa chọn có thể được đề xuất từ nhiều góc độ khác nhau, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Theo nghiên cứu của các tác giả trước, có thể được lựa chọn dựa trên cơ sở lý thuyết ma trận hoặc dựa trên cơ sở của giải tích . Trong khuôn khổ của luận án này, ma trận chuyển vị được xác định bằng tối thiểu hóa hàm phạt:
à ( , ) = (2.59) Biến đổi thành bài toán tối ưu không ràng buộc bằng phương pháp Lagrange như sau:
( , ) = {| | }+ 2 [ ( )] (2.60)
Trong đó là nhân tử Lagrange, cố định , tối thiểu hóa theo , giải nghiệm theo ,ta được:
= (2.61)