C. Chửngs minh moọt ủa thửực chia heỏt cho moọt ủa thửực khaực I Phửụng phaựp:
B. Baứi taọp aựp dúng Baứi 1:
Baứi 1:
Cho ∆ABC coựB = 2 Cà à , AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tớnh AC
b)Neỏu ba cánh cuỷa tam giaực trẽn laứ ba soỏ tửù nhiẽn liẽn tieỏp thỡ moĩi cánh laứ bao nhiẽu?
Giaỷi Caựch 1:
Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia BA laỏy ủieồm E sao cho:BD = BC ∆ACD ∆ABC (g.g) ⇒ AC AD AB= AC 2 AC AB. AD =AB.(AB + BD) ⇒ = = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm Caựch 2:
Veừ tia phãn giaực BE cuỷa ABCã ⇒ ∆ABE ∆ACB
2
AB AE BE AE + BE AC
= AC = AB(AB + CB)
AC AB=CB= AB + CB=AB + CB⇒ = 8(8 + 10) = 144⇒ AC = 12 cm ⇒ AC = 12 cm
b) Gói AC = b, AB = a, BC = c thỡ tửứ cãu a ta coự b2 = a(a + c) (1) Vỡ b > anẽn coự theồ b = a + 1 hoaởc b = a + 2
+ Neỏu b = a + 1 thỡ (a + 1)2= a2 + ac ⇔2a + 1 = ac ⇔a(c – 2) = 1 ⇒a = 1; b = 2; c = 3(loái) + Neỏu b = a + 2 thỡ a(c – 4) = 4 - Vụựi a = 1 thỡ c = 8 (loái) E D C B A
- Vụựi a = 2 thỡ c = 6 (loái) - vụựi a = 4 thỡ c = 6 ; b = 5 Vaọy a = 4; b = 5; c = 6
Baứi 2:
Cho ∆ABC cãn tái A, ủửụứng phãn giaực BD; tớnh BD bieỏt BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaỷi
Ta coự CD = BC 1
AD AC= 4 ⇒ CD = 4 cm vaứ BC = 5 cm Baứi toaựn trụỷ về baứi 1
Baứi 3:
Cho ∆ABC cãn tái A vaứ O laứ trung ủieồm cuỷa BC. Moọt ủieồm O di ủoọng trẽn AB, laỏy ủieồm E trẽn AC sao cho CE = OB2
BD . Chửựng minh raống a) ∆DBO ∆OCE
b) ∆DOE ∆DBO ∆OCE
c) DO, EO lần lửụùt laứ phãn giaực cuỷa caực goực BDE, CED
d) khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn ủoán ED khõng ủoồi khi D di ủoọng trẽn AB Giaỷi
a) Tửứ CE = OB2
BD ⇒ CE = OB
OB BD vaứ B = C à à (gt) ⇒ ∆DBO ∆OCE b) Tửứ cãu a suy ra O = Eà3 à2 (1)
Vỡ B, O ,C thaỳng haứng nẽn à ã ã 0 3
O + DOE EOC 180+ = (2)trong tam giaực EOC thỡ à à ã 0 trong tam giaực EOC thỡ à à ã 0
2
E + C EOC 180+ = (3)Tửứ (1), (2), (3) suy ra DOE B Cã = =à à Tửứ (1), (2), (3) suy ra DOE B Cã = =à à
∆DOE vaứ ∆DBO coự DO = OE
DB OC (Do ∆DBO ∆OCE) vaứ DO = OE
DB OB (Do OC = OB) vaứ DOE B Cã = =à à
nẽn ∆DOE ∆DBO ∆OCE
c) Tửứ cãu b suy ra D = Dà1 à 2⇒ DO laứ phãn giaực cuỷa caực goực BDE Cuỷng tửứ cãu b suy ra E = Eà1 à2 EO laứ phãn giaực cuỷa caực goực CED
c) Gói OH, OI laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn DE, CE thỡ OH = OI, maứ O coỏ ủũnh nẽn OH khõng ủoồi ⇒OI khõng ủoồi khi D di ủoọng trẽn AB
Baứi 4: (ẹề HSG huyeọn Loọc haứ – naờm 2007 – 2008)
Cho ∆ABC cãn tái A, coự BC = 2a, M laứ trung ủieồm BC, laỏy D, E thuoọc AB, AC sao cho DME = Bã à a) Chửựng minh tớch BD. CE khõng ủoồi 2 1 3 21 H I O E D C B A D C B A
b)Chửựng minh DM laứ tia phãn giaực cuỷa BDEã
c) Tớnh chu vi cuỷa ∆AED neỏu ∆ABC laứ tam giaực ủều Giaỷi
a) Ta coự DMC = DME + CME = B + BDMã ã ã à ã , maứ DME = Bã à (gt) nẽn CME = BDMã ã , keỏt hụùp vụựi B = Cà à (∆ABC cãn tái A) suy ra ∆BDM ∆CME (g.g) ⇒ BD BM 2 = BD. CE = BM. CM = a CM CE ⇒ khõng ủoồi b) ∆BDM ∆CME ⇒ DM = BD DM = BD ME CM⇒ ME BM
(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMDã ã
hay DM laứ tia phãn giaực cuỷa BDEã
c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phãn giaực cuỷa DECã
keỷ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thỡ MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM ⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH
Chu vi ∆AED laứ PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK)
∆ABC laứ tam giaực ủều nẽn suy ra ∆CME cuỷng laứ tam giaực ủều CH = MC2 = 2a ⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Baứi 5:
Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Qua ủieồm D thuoọc cánh BC, veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AM, caột AB, AC tái E vaứ F a) chửựng minh DE + DF khõng ủoồi khi D di ủoọng trẽn BC b) Qua A veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC, caột FE tái K. Chửựng minh raống K laứ trung ủieồm cuỷa FE
Giaỷi a) DE // AM ⇒ DE = BD DE = BD.AM AM BM⇒ BM (1) DF // AM ⇒ DF = CD DF = CD.AM = CD.AM AM CM⇒ CM BM (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra DE + DF = BD.AM + CD.AM
BM BM = BD + CD .AM = BC.AM = 2AM
BM BM BM
ữ
khõng ủoồi
b) AK // BC suy ra ∆FKA ∆AMC (g.g) ⇒ FK = KA AM CM (3)
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA
= = =
ED BD⇒ ED + EK BD + KA⇒KD BD + DM⇒ AM= BM⇒AM =CM (2)(Vỡ CM = BM) (Vỡ CM = BM)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra AMFK = AMEK ⇒FK = EK hay K laứ trung ủieồm cuỷa FE K F E D M C B A K H I M E D C B A
Baứi 6: (ẹề HSG huyeọn Thách haứ naờm 2003 – 2004)
Cho hỡnh thoi ABCD cánh a coự A = 60à 0, moọt ủửụứng thaỳng baỏt kyứ qua C caột tia ủoỏi cuỷa caực tia BA, DA tái M, N
a) Chửựng minh raống tớch BM. DN coự giaự trũ khõng ủoồi
b) Gói K laứ giao ủieồm cuỷa BN vaứ DM. Tớnh soỏ ủo cuỷa goực BKD Giaỷi a) BC // AN ⇒ MB = CM BA CN (1) CD// AM ⇒ CM = AD CN DN (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 2 MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN ⇒ b) ∆MBD vaứ∆BDN coự MBD = BDN ã ã = 1200 MB MB CM AD BD = =
BD BA = CN DN =DN(Do ABCD laứ hỡnh thoi
coự A = 60à 0nẽn AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆MBD ∆BDN
Suy ra M = Bà1 à1. ∆MBD vaứ∆BKD coự BDM = BDKã ã vaứ M = Bà1 à1 nẽn ã ã 0
BKD = MBD = 120
Baứi 7:
Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD coự ủửụứng cheựo lụựn AC,tia Dx caột SC, AB, BC lần lửụùt tái I, M, N. Veừ CE vuõng goực vụựi AB, CF vuõng goực vụựi AD, BG vuõng goực vụựi AC. Gói K laứ ủieồm ủoỏi xửựng vụựi D qua I. Chửựng minh raống
a) IM. IN = ID2 b) KM = DM KN DN c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giaỷi a) Tửứ AD // CM ⇒ IM = CI ID AI (1) Tửứ CD // AN ⇒ CI ID AI= IN (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra IMID= IDIN hay ID2 = IM. IN
b) Ta coự DM = CM DM = CM DM = CM MN MB⇒MN + DM MB + CM ⇒ DN CB (3) Tửứ ID = IK vaứ ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN
⇒ IK = IN IK - IM = IN - IK KM = KN KM = IMIM IK ⇒ IM IK ⇒ IM IK ⇒ KN IK ⇒ KM = IM CM CM IM IK ⇒ IM IK ⇒ IM IK ⇒ KN IK ⇒ KM = IM CM CM KN ID = AD = CB (4) Tửứ (3) vaứ (4) suy ra KM = DM KN DN I K F G E M D C B A N 1 1 K M N D C B A
c) Ta coự ∆AGB ∆AEC ⇒ AE = AC AB.AE = AC.AGAG AB⇒ ⇒AB. AE = AG(AG + CG) AG AB⇒ ⇒AB. AE = AG(AG + CG) (5) ∆CGB ∆AFC ⇒ AF = CG CG AC CB =AD(vỡ CB = AD) ⇒AF . AD = AC. CG ⇒ AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Coọng (5) vaứ (6) veỏ theo veỏ ta coự: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
⇔ AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaọy: AB. AE + AD. AF = AC2
Baứi taọp về nhaứ
Baứi 1
Cho Hỡnh bỡnh haứnh ABCD, moọt ủửụứng thaỳng caột AB, AD, AC lần lửụùt tái E, F, G Chửựng minh: AB + AD = AC
AE AF AG
HD: Keỷ DM // FE, BN // FE (M, N thuoọc AC) Baứi 2:
Qua ủổnh C cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ABCD, keỷ ủửụứng thaỳng caột BD, AB, AD ụỷ E, G, F chửựng minh:
a) DE2 = EGFE . BE2 b) CE2 = FE. GE
(Gụùi yự: Xeựt caực tam giaực DFE vaứ BCE, DEC vaứ BEG) Baứi 3
Cho tam giaực ABC vuõng tái A, ủửụứng cao AH, trung tuyeỏn BM, phãn giaực CD caột nhau tái moọt ủieồm. Chửựng minh raống
a) BH CM AD. . 1 HC MA BD = b) BH = AC