C. Chửngs minh moọt ủa thửực chia heỏt cho moọt ủa thửực khaực I Phửụng phaựp:
5. Vớ dú 5: Chửựng minh raống
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heỏt cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heỏt cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heỏt cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giaỷi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta coự: x2 – x + 1 chia heỏt cho B = x2 – x + 1
x9 + 1 chia heỏt cho x3 + 1 nẽn chia heỏt cho B = x2 – x + 1
x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heỏt cho x3 + 1 (cuứng coự nghieọm laứ x = - 1) nẽn chia heỏt cho B = x2 – x + 1
Vaọy A = x2 – x9 – x1945 chia heỏt cho B = x2 – x + 1
= 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7+ x6 + ...+ 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heỏt cho x – 1 vỡ coự toồng heọ soỏ baống 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heỏt cho (x – 1)2
c) ẹa thửực chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coự ba nghieọm laứ x = 0, x = - 1, x = - 12 Ta coự:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 ⇒ x = 0 laứ nghieọm cuỷa C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 ⇒ x = - 1 laứ nghieọm cuỷa C(x) C(- 12) = (-12 + 1)2n – (-12 )2n – 2.(- 12) – 1 = 0 ⇒ x = - 12 laứ nghieọm cuỷa C(x) Mói nghieọm cuỷa ủa thửực chia laứ nghieọm cuỷa ủa thửực bũ chia ⇒ủpcm
6. Vớ dú 6:
Cho f(x) laứ ủa thửực coự heọ soỏ nguyẽn. Bieỏt f(0), f(1) laứ caực soỏ leỷ. Chửựng minh raống f(x) khõng coự nghieọm nguyẽn
Giaỷ sửỷ x = a laứ nghieọm nguyẽn cuỷa f(x) thỡ f(x) = (x – a). Q(x). Trong ủoự Q(x) laứ ủa thửực coự heọ soỏ nguyẽn, do ủoự f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) laứ soỏ leỷ nẽn a laứ soỏ leỷ, f(1) laứ soỏ leỷ nẽn 1 – a laứ soỏ leỷ, maứ 1 – a laứ hieọu cuỷa 2 soỏ leỷ khõng theồ laứ soỏ leỷ, mãu thuaồn
Vaọy f(x) khõng coự nghieọm nguyẽn
Baứi taọp về nhaứ:
Baứi 1: Tỡm soỏ dử khi a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
Baứi 2: Tớnh giaự trũ cuỷa ủa thửực x4 + 3x3 – 8 tái x = 2009 Baứi 3: Chửựng minh raống
a) x50 + x10 + 1 chia heỏt cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia heỏt cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heỏt cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heỏt cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heỏt cho (x + 1)(x – 1)2