II. SUY LUẬN TỰ NHIÊN VỚI TIỀN ĐỀ PHỨC
3.Cây hợp giải Hợp giải tuyến tính
Phương pháp hợp giải như đã trình bày trên đây có nhược điểm là ở các bước có thể xuất hiện những resolvent không cần thiết đối với việc đi đến kết luận. Khi áp dụng quy tắc hợp giải vào tất cả các cặp công thức có thể áp dụng được, số lượng các resolvent tăng lên rất nhanh chóng, có thể bùng nổ tổ hợp. Để tránh điều này, R.A. Kowalski đưa ra phương pháp hợp giải tuyến tính. Ở đây, khác với hợp giải thông thường, trước hết ta xác định một công thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B} có thể cùng với ¬ B áp dụng quy tắc hợp giải. Được resolvent B1 , thêm nó vào tập công thức đã có, lại xác định một công thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B, B1} có thể cùng B1 áp dụng quy tắc này. Cứ tiếp tục như thế cho đến khi được resolvent rỗng, hoặc không thể tiếp tục vì không tìm ra công thức cần tìm, hoặc việc tiếp tục chỉ lặp lại các kết quả đã có. Kowalski đã chứng minh được định lý: Từ tập tiền đề không mâu thuẫn {A1, A2, … , An} và kết luận B phương pháp hợp giải tuyến tính làm xuất hiện resolvent rỗng khi và chỉ khi phương pháp hợp giải thông thường làm xuất hiện resolvent rỗng. Nghĩa là hoàn toàn có thể dùng hợp giải tuyến tính thay cho hợp giải thông thường.
Các lời giải bài toán bằng phương pháp hợp giải có thể biểu diễn dưới dạng hình vẽ dạng cây, trong đó chỉ nêu ra các công thức cần thiết để đi đến kết luận, những công thức khác không cần nêu lên. Chẳng hạn, lời giải trên đây và một lời giải khác của ví dụ (i) được biểu diễn dưới dạng cây thành:
Dạng biểu diễn cây của các lời giải như thế được gọi là cây hợp giải. Mỗi lời giải của bài toán tương ứng với một cây hợp giải.
Để tìm lời giải của bài toán, nghĩa là để xây dựng cây hợp giải tuyến tính, người ta sử dụng kỹ thuật quay lui (backtracking).
Dãy liên tục các resolvent trong hợp giải tuyến tính gọi là một nhánh. Nhánh này gọi là nhánh cụt, hay nhánh thất bại, nếu nó kết thúc bằng một công thức nào đó khác . Nhánh này gọi là nhánh tuần hoàn, nếu đến một lúc nào đó bắt đầu lặp lại các resolvent đã có từ trước. Nhánh tuần hoàn cũng là nhánh thất bại. Nhánh kết thúc bằng gọi là nhánh thành công.
Giả sử việc áp dụng quy tắc hợp giải vào cặp công thức Bi-1 với một công thức khác cho ta kết quả Bi. Khi đó từ tập các công thức đang khảo sát ở bước này xác định một tập con các công thức có thể cùng với Bi tạo thành cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Ta chọn trong tập con này một công thức, áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp công thức vừa chọn và Bi, được resolvent Bi+1. Với Bi+1 lại xác định tập con công thức có thể tạo cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Quá trình cứ vậy tiếp diễn. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi+1 đều thất bại thì quay trở lại với Bi. Bây giờ ta chọn công thức khác tạo cặp với Bi để áp dụng quy tắc hợp giải. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi cũng đều thất bại, thì tiếp tục quay lui đến Bi-1. Bằng cách này sẽ tìm được nhánh thành công, tức là xây dựng được cây hợp giải tuyến tính, nếu nó tồn tại.
Ví dụ 4. Xây dựng cây hợp giải tuyến tính rút ra r từ tập công thức
{¬ s ∨ r, ¬ p ∨ q, ¬ q ∨ r, p, u ∨ r, w ∨ s }
Giải. Sơ đồ tìm kiếm lời giải như sau, trong sơ đồ này các dấu chấm chấm vòng cung chỉ các quay lui.
Sơ đồ trên đây cho thấy lúc đầu ta đi từ ¬ r đến u. Đây là nhánh cụt, vì thế quay trở lại ¬ r. Từ đây đi đến ¬ s, từ ¬ s đi đến w, rồi lại quay về s vì là nhánh cụt. Từ
¬ s đi theo hướng khác đến u, đây cũng là nhánh cụt, nên quay về ¬ s. Vì các khả năng khác đi từ ¬ s đã hết, nên quay tiếp về ¬ r. Từ đây đi đến ¬ q. Từ ¬ q đi đến
p, đi tiếp đến , đây là nhánh thành công. Cây hợp giải tuyến tính cần xây dựng được biểu diễn bằng các đường kẻ liền trong hình.
Lưu ý : Vì các quy tắc hợp giải chỉ áp dụng cho các công thức dạng tuyển (các công thức chỉ chứa dấu phủ định và dấu tuyển, không có dấu nào khác, hơn nữa, không có phủ định của các công thức tuyển) nên để áp dụng phương pháp hợp giải, các công thức trong tập {A1, A2, … , An , ¬ B} trước hết phải được đưa về dạng tuyển. (Công thức dạng A & B được tách thành các công thức A, B, các dạng khác biến đổi như đã biết).