II. SUY LUẬN TỰ NHIÊN VỚI TIỀN ĐỀ PHỨC
2. Phương pháp hợp giả
Thực chất của phương pháp hợp giải là chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh rằng từ một tập tiền đề {A1, A2, … , An} cho trước có thể rút ra kết luận B, ta thêm ¬B vào tập tiền đề này, được tập mới {A1, A2, … , An, ¬B}. Khi đó nếu trong tập mới nhận được có mâu thuẫn thì phép chứng minh đã hoàn tất. Nếu tập mới không có mâu thuẫn thì không thể rút ra được ¬B từ {A1, A2, … , An}. Phương pháp hợp giải áp dụng quy tắc hợp giải để xác định xem tập công thức có mâu thuẫn hay không.
Để xác định xem tập công thức cho trước {A1, A2, … , An, ¬B} có mâu thuẫn không, ta áp dụng quy tắc hợp giải cho các cặp công thức của tập này. Các resolvent nhận được sẽ được thêm vào tập công thức, nếu chúng chưa có trong tập công thức đó. Cứ áp dụng như vậy mãi cho đến khi có được resolvent rỗng, cho biết tập công thức mâu thuẫn, hoặc đến lúc biết rằng không thể tìm ra được resolvent rỗng, nghĩa là tập công thức không mâu thuẫn.
Ví dụ (i): Xét xem từ tập tiền đề {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r} có thể rút ra kết luận r không?
Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề, ta được tập công thức {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r, ¬ r}.
Áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp công thức p ∨ q và ¬p ta được resolvent q. Thêm nó vào tập công thức đã có, rồi áp dụng quy tắc hợp giải cho phần tử mới q và ¬ q ∨ r, được r. Lại thêm nó vào tập hợp. Resolvent rỗng có được khi áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp công thức r và ¬r. Như vậy tập công thức mâu thuẫn. nghĩa là có thể rút ra kết luận r từ tập tiền đề
{p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r} .
Ví dụ (ii): Xét xem từ tập tiền đề {¬p ∨ r∨ s, p} có thể rút ra kết luận r
không?
Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề, rồi áp dụng các quy tắc hợp giải, ta chỉ có thêm được các công thức r ∨ s, ¬p ∨ s, và s. Nói cách khác, tập công thức cuối cùng của chúng ta sẽ là:
{¬p ∨ r∨ s, p, r ∨ s, ¬ p ∨ s, s}.
(iv) p ∨¬ q ∨¬ r ¬ p ∨ r
Resolvent rỗng không xuất hiện, như vậy, tập công thức này không có mâu thuẫn, nghĩa là không thể rút ra r từ tập tiền đề
{¬ p ∨ r∨ s, p}.