a) Định nghĩa
Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n,n. Nếu tồn tại một ma trận vuông X cấp n, sao cho: AX = XA = E (ma trận đơn vị cấp n) thìX được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu
X = A--1
Ma trận nghịch đảo của ma trận A tồn tại khi và chỉ khi A ạ0, khi đó ta nói A là ma trận vuông không suy biến.
b) Công thức tìm ma trận nghịch đảo của A
1 1 *
A A
A
- =
trong đó A* được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A:
A* = 11 21 31 n1 12 22 32 n2 1n 2n 3n nn A A A ... A A A A ... A ... ... ... ... ... A A A ... A ộ ự ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ
lập nên từ các phần tử A (phần phụ đại số tương ứng của ij a trong A) và phép chuyển ij vị: * ( )c
ij n,n
A = A .
Trong tính toán thực hành, để tìm ma trận nghịch đảo của A, người ta dùng các
phép biến đổi sơ cấp sau đây để đưa ma trận ( )AE (cấp n ´ 2n) thành ma trận (E A-1):
1) Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột;
2) Nhân các phần tử của một hàng (cột) với một số khác 0;
3) Cộng vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác sau khi đ∙ nhân với một số nào đó.
Đôi khi, ta còn có thể giải ngược hệ phương trình đại số tuyến tính: AX Y=
để có A-1Y=X, sau đó suy ra A .-1
c) Tính chất của ma trận nghịch đảo:
1) ( )1 1
A- - =A A" không suy biến
2) ( ) ( )1 c c 1 A- = A - 3) ( ) 1 1 1 AB - =B- A- 4. Hạng của ma trận a) Định nghĩa
Cấp cao nhất của tử thức (định thức con) khác không của một ma trận được gọi là
hạng của ma trận đó. Kí hiệu r(A) hoặc rank(A). Ma trận o có r(o) = 0. (Định thức con
cấp k 0 k( Ê Ê min m; n( )) của một ma trận Am,n là định thức lập nên từ các phần tử nằm tại giao của k hàng và k cột bất kì của ma trận).
b) Các phương pháp tính r(A) + Phương pháp I
Nếu A ạ o, ta xét các tử thức từ cấp thấp lên cấp cao theo nguyên tắc là: Khi gặp một định thức con D cấp k nào đó khác không, ta cần tính đến các định thức con cấp (k + 1) chứa D, nếu các định thức này đều bằng 0 thì r(A) = k.
+ Phương pháp II
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trình bày ở mục 1.2.1.2 điểm 3có thể đưa một ma trận bất kỳ về dạng tam giác hoặc dạng hình thang (với các phần tử nằm ngoài tam giác hoặc hình thang đó đều bằng 0) mà vẫn giữ nguyên hạng của ma trận đó. Với các dạng này, số phần tử khác 0 nằm trên đường chéo chính sẽ bằng hạng của ma trận.