a) Quy tắc I (để xét chiều biến thiên và cực trị)
x x0 x x0 y’ - ộ0 ờ ở + y’ + ộ0 ờ ở - y yCT y yCĐ
Chú ý là hàm f(x) phải: liên tục trong khoảng (a, b) chứa điểm tới hạn x0, có đạo hàm f'(x) hữu hạn trong miền a < x < x0 và x0 < x < b và f'(x) phải đổi dấu khi x chuyển
qua x0, thì chiều biến thiên và cực trị của f(x) được xét như ở bảng trên.
Điều kiện cần và đủ để f(x) đồng (nghịch) biến trên (a; b) là:
( ) ( ( ) ) ( )
f x ³0 f ' x Ê0 x" ẻ a; b ,
đẳng thức f'(x) = 0 không xảy ra trên một khoảng liên tục, mà chỉ có thể xảy ra tại một số điểm rời rạc trong (a; b).
b) Khảo sát tính lồi, lõm, tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
+ Nếu x (a; b)," ẻ f"(x) > 0 thì hàm f(x) lồi (Đồ thị quay bề lõm lên phía trên)
trên (a; b); Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong (a; b) đều nằm phía dưới đồ thị.
+ Nếu x (a; b)," ẻ f"(x) < 0 thì hàm f(x) lõm (Đồ thị quay bề lõm xuống phía dưới)
trên (a; b); Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong (a; b) đều nằm phía trên đồ thị.
+ Điều kiện cần và đủ để f(x) lồi (lõm) trên (a; b) là: f ''( )x ³0 (f ''( )x Ê0 x) " ẻ(a; b ,)
đẳng thức f"(x) = 0 không xảy ra trên một khoảng liên tục, mà chỉ có thể xảy ra tại một số điểm rời rạc trong khoảng này.
+ Điểm uốn của đồ thị (C): y = f(x) là điểm phân chia khoảng lồi lõm của (C), tiếp tuyến tại đó “xuyên qua” đồ thị hàm số. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai của hàm được xét triệt tiêu hoặc không xác định, đồng thời qua x = xU đạo hàm cấp hai phải đổi dấu.
c) Quy tắc II (để tìm cực trị và từ đó suy ra chiều biến thiên ) Nếu hàm số f(x) có:
+ Đạo hàm tới cấp hai tại mọi x thuộc lân cận x0, + f'(x0) = 0 và f"(x0) ạ 0
thìf(x) đạt cực trị tại x0 (cực đại khi f"(x0) < 0, cực tiểu khi f"(x0) > 0). d) Quy tắc II tổng quát:
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm liên tiếp đến cấp n trong khoảng (x0 - d; x0 + d)
và tại điểm x0:
f’(x0) = f"(x0) = ... = f(n - 1)(x0) = 0, còn f(n)(x0) ạ 0
Khi đó:
+ Nếu n chẵn, f(x) đạt cực trị: cực đại khi f(n)(x0) < 0, cực tiểu khi f(n)(x0) > 0. + Nếu n lẻ, f(x) không đạt cực trị tại x0.
Từ quy tắc II tổng quát, với n = 2 ta suy ra quy tắc II.
e) Giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a, b] có thể đạt hoặc tại điểm tới hạn, hoặc tại hai đầu mút a, b của đoạn đ∙ cho. Nếu trong khoảng (a, b) hàm số f(x) có cực trị duy nhất, thì cực trị ấy chính là cực trị tuyệt đối của hàm số trên đoạn [a, b]. Nếu trong (a; b) có nhiều điểm cực trị thì sau khi so sánh các giá trị cực đại (tương đối) với f(a); f(b) ta sẽ có giá trị lớn nhất, ký hiệu
[ ] x a; bmax f(x) ẻ hay [ ] x a; b GTLNf(x).
ẻ Tương tự, sau khi so sánh các giá trị cực tiểu (tương đối) với f(a); f(b) ta sẽ có giá trị nhỏ nhất , ký hiệu [ ] x a; bmin f(x) ẻ hay [ ] x a; b GTBNf(x). ẻ
Các quy tắc tìm cực trị hàm một biến vừa nêu trong mục 5 đều có thể suy trực tiếp từ nội dung các mục 1, 2, 3 ở phần này.
Chú ý cho phần 1.2.3.3:
+ Để tìm cực trị tương đối có điều kiện của một hàm nhiều biến, ta còn có thể tiến hành theo cách loại dần ẩn số, để đưa bài toán ban đầu về các bài toán có số biến ít hơn.
+ Để tìm cực trị tuyệt đối ta còn có thể áp dụng các bất đẳng thức.
1.2.3.4. Hình vi phân