Hàm U = f(M) được gọi là có giới hạn L trong quá trình MđM0 nếu và chỉ nếu: 0,
"e > nhỏ tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một số d = d(e; M0) (tức là d phụ thuộc
vào e và M0) sao cho khi M rơi vào d-lân cận của điểm M0 thì giá trị f(M) sẽ rơi vào
e-lân cận của L.
Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ e; d như trên có thể viết một cách ngắn gọn như sau: ( ) { ( ) } 0 0 0 M Mlim f M L 0 ; M : 0 MM f(M) L . đ = Û "e > $d = d e < < d ị - < e Với hàm một biến, ta có: ( ) { ( ) } 0 0 0 x xlim f x L 0 ;x : 0 x x f(x) L đ = Û "e > $d = d e < - < d ị - < e và trong quá trình xđ Ơ: ( ) { ( ) } xlim f x L 0 N N : x N f(x) L . đƠ = Û "e > $ = e > ị - < e 2. Hàm liên tục
a) Hàm U = f(M) được gọi là liên tục tại M0
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
M Mlim f M f M M Mlim f M Mlim f M f M 0.
đ đ đ ộ ự
Û = Û D = ở - ỷ=
Theo định nghĩa này, hàm f(M) phải xác định tại M0 và tại lân cận M0; M0 phải là
một điểm tụ trong miền xác định của hàm số; trong quá trình M đ M0 giới hạn của hàm số phải tồn tại và hơn nữa giới hạn này phải bằng f(M0).
Nếu một trong các điều kiện cần nêu trên không thoả m∙n, hàm f(M) bị gián đoạn tại M0.
b) Để phân loại điểm gián đoạn của hàm một biến, người ta chia các điểm gián đoạn làm hai loại:
+ Nếu tại điểm x0 tồn tại giới hạn bên phải ( )
0 x xlim 0f x
đ + (trong quá trình xđx0 thì x x³ 0) và giới hạn bên trái ( )
0 x xlim 0f x
đ - (trong quá trình xđx0 thì x xÊ 0) thì x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I. Hiệu
0 0
x xlim 0f(x) x xlim 0f(x)
đ + - đ - = A được
gọi là bước nhảy của hàm số tại x0. Đặc biệt, nếu bước nhảy A = 0, thì x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được.
+ Điểm gián đoạn không thuộc loại I sẽ được gọi là điểm gián đoạn loại II. Với loại điểm gián đoạn này, hàm số có bước nhảy vô hạn khi qua điểm x0.
c) Liên tục đều
Theo các định nghĩa trên, hàm U = f(M) được gọi là liên tục tại M0 tức là:
( ) ( )0 0 0 0 M Mlim f M f M đ = ( ) { 0 ; M0 : 0 MM0 f(M) f(M )0 } Û "e > $d = d e < < d ị - < e
Nếu $d = d(e) (chỉ phụ thuộc e) chung cho mọi điểm M0 thuộc một miền W nào đó thì ta nói hàm f(M) liên tục đều trên W.
d) Tính liên tục của hàm sơ cấp
Hàm sơ cấp U = f(M) liên tục tại mọi điểm M0 thuộc miền xác định của nó.
1.2.3. Phép tính vi phân
1.2.3.1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến