Dựa trên quan hệ α−tương tự trên các tập giá trị, chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm phụ thuộc hàm và phụ thuộc đa trị mở rộng. Một cách chính xác, chúng ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 3.2. ChoX, Y ⊆Avàα, β ∈[0,1]. Ta nóiY là(α, β)−phụ thuộc hàm vào X trên U và ký hiệu X −→α,β Y nếu
∀u, v ∈U :u(X) =α v(X)⇒u(Y) =β v(Y).
Khi α =β = 1 ta nhận được định nghĩa phụ thuộc hàm kinh điển.
Định nghĩa 3.3. Cho X, Y ⊆A (với X∩Y =∅, X ∪Y A) và α, β ∈[0,1]. Đặt
Z = A\(X ∪Y). Ta nói Y là (α, β)−phụ thuộc đa trị vào X trên U, và ký hiệu
X →→α,β Y, nếu với mọi cặp đối tượng u, v ∈ U sao cho u(X) =α v(X), tồn tại đối tượng t∈U sao cho t(X) =αu(X), đồng thời thỏa mãn một trong hai điều kiện
a) t(Y) = u(Y)và t(Z) =β v(Z), b) t(Y) =β u(Y) và t(Z) = v(Z).
Rõ ràng, khi α=β = 1 hai điều kiện trên là đồng nhất và trùng với (3.2), nên ta cũng nhận được khái niệm phụ thuộc đa trị kinh điển.
Khi α = 1, nếu X −→1,β Y, ta gọi Y là β−phụ thuộc hàm vào X. Tương tự,
X →→1,β Y thì Y được gọi là β−phụ thuộc đa trị vào X.
Từ các định nghĩa mở rộng trên dễ kiểm tra được rằng, nếu 0 ≤ α ≤ α0 ≤ 1, và 0≤ β0 ≤ β ≤ 1 thì X −→α,β Y (X →→α,β Y) kéo theo X α
0,β0
−→Y (X α
0,β0
→→ Y). Ngoài ra, một số tính chất của phụ thuộc hàm và phụ thuộc đa trị vẫn còn đúng đối với các phụ thuộc mở rộng. Điều đó được khẳng định trong mệnh đề dưới đây
Mệnh đề 3.5. Cho X, Y, Z ⊆A, α, β ∈[0,1]. Khi đó a) Nếu Y ⊆X thì X −→α,β Y, với mọi 0≤β ≤α≤1. b) Nếu X −→α,β Y thì X∪Z −→α,γ Y ∪Z, với γ = min{α, β}. c) Nếu X −→α,β Y và Y −→β,γ Z, thì X −→α,γ Z.
d) Nếu X →→α,β Y và A\(X∪Y)6=∅ thì X →→α,β A\(X∪Y). e) Nếu X −→α,β Y thì X →→α,β Y.
Chứng minh.
a)Hiển nhiên đúng vì nếuY ⊆Xthì với mọi đối tượngu, v ∈U,u(X) =α v(X)
kéo theo u(Y) =β v(Y).
b)Với mọi cặp đối tượngu, v ∈U nếuu(X∪Z) =α v(X∪Z)thìu(Z) =α v(Z)và
u(X) =αv(X). Vì X −→α,β Y nênu(Y) =β v(Y). Do đóu(Y ∪Z) =min{α,β} v(Y ∪Z). Vậy X∪Z −→α,γ Y ∪Z, với γ = min{α, β}.
c) Với mọi cặp đối tượng u, v ∈ U nếu u(X) =α v(X) thì u(Y) =β v(Y) do
X −→α,β Y. Mặt khác, vì Y −→β,γ Z, nên u(Z) =γ v(Z). VậyX −→α,γ Z.
d) Không mất tính tổng quát, giả sửX∩Y =∅. Khi đó, đặt Z =A\(X∪Y), thì Y = A \ (X ∪ Z). Từ X →→α,β Y suy ra với mọi cặp đối tượng u, v ∈ U
mà u(X) =α v(X) thì tồn tại đối tượng t ∈ U sao cho t(X) =α u(X) và t(Y) =
u(Y), t(Z) =β v(Z)hoặc t(Y) =β u(Y), t(Z) = v(Z). Do đó X →→α,β Z.
e) Đặt Z = A \(X ∪Y). Do X −→α,β Y nên với mọi cặp đối tượng u, v ∈ U
mà u(X) =α v(X) ta có v(Y) =β u(Y). Bằng cách chọn t = v ta nhận được
t(X) =α u(X), t(Z) =v(Z) và t(Y) =β u(Y). Vậy X →→α,β Y.
Ví dụ 3.3. Xét hệ thốngA= (U,{X, Y, Z})được cho trong Bảng 3.6, các quan hệ tương tự trên VX, VY và VZ được cho trên Bảng 3.7.
Khi đó, dễ thấy X →/→Y. Nhưng X (0→→.8,0.9)Y.
U X Y Z t1 x1 y1 z1 t2 x2 y2 z1 t3 x3 y3 z2 t4 x3 y1 z2 t5 x1 y3 z3 t6 x1 y2 z3 t7 x4 y1 z1 t8 x4 y1 z2 Bảng 3.6: Dữ liệu của hệ thống. X x1 x2 x3 x4 x1 1 0.8 0.6 0.3 x2 0.8 1 0.9 0.4 x3 0.6 0.9 1 0.4 x4 0.3 0.4 0.4 1 Y y1 y2 y3 y1 1 0.5 0.7 y2 05 1 0.9 y3 0.7 0.9 1 Z z1 z2 z3 z1 1 0.6 0.7 z2 06 1 0.8 z3 0.7 0.8 1