Trong Mục 3.2. để nghiên cứu phụ thuộc đa trị, chúng ta đã thiết lập ma trận phụ thuộc dựa vào phân hoạch trên các giá trị thuộc tính và đã chứng minh được rằng, X →→Y đúng khi và chỉ khi ma trận phụ thuộc là dầy đặc, tức là mọi phần tử của ma trận đều có giá trị 1. Trong trường hợp ma trận phụ thuộc là gần đặc
(tức là chứa phần lớn các số 1), thì ta cũng nhận được một phụ thuộc đa trị xấp xỉ (tức là bỏ đi một số ít đối tượng nào đó của bảng dữ liệu thì nhận được phụ thuộc đúng). Trên cơ sở các kết quả này, một thuật toán kiểm chứng phụ thuộc và phụ thuộc xấp xỉ dựa vào ma trận phụ thuộc cũng đã được thiết lập. Phát triển ý tưởng đó, ở đây chúng ta sẽ xây dựng một ma trận có vai trò tương tự trong việc xác định
β−phụ thuộc đa trị.
Giả sử X, Y ⊆ A và U/X = {U1, U2,· · · , Um}. Rõ ràng, X →→1,β Y đúng trên U khi và chỉ khi X →→1,β Y đúng trên mọi Ui. Do đó, ở đây ta chỉ hạn chế việc kiểm tra phụ thuộc trên mỗi Ui cố định. Ký hiệu Z = A\(X ∪Y). Giả sử
dom(Ui, Y) = {ξ1, ξ2,· · · , ξp(i)}vàdom(Ui, Z) = {η1, η2,· · · , ηq(i)}. Với mỗi ξj,ηkta ký hiệu
Ej :={t(Z)|t∈Ui; t(Y) = ξj} ⊆dom(Ui, Z);
Fk:={t(Y)|t∈Ui; t(Z) = ηk} ⊆dom(Ui, Y).
Ta gọi ma trận phụ thuộc mở rộng, tương ứng với lớp Ui, là Di = (djk)p(i)×q(i), với các thành phần djk được xác định bởi:
djk := max{µ(ξj, Fk), µ(ηk, Ej)}.
Ma trận Di được gọi là β−dầy đặc nếu với mọi j, k ta đều có djk ≥ β, hay, một cách tương đương: hoặc ξj ∈β Fk hoặc ηk ∈β Ej.
Tương tự như phụ thuộc đa trị kinh điển, β−phụ thuộc đa trị cũng có thể được đặc trưng hoàn toàn bằng họ các ma trận phụ thuộc mở rộng Di. Điều đó được khẳng định trong định lý sau
Định lý 3.6. Y là β−phụ thuộc đa trị vào X khi và chỉ khi Di là β−dầy đặc, với mọi 1≤i≤m.
Chứng minh.
Giả sử X →→1,β Y. Chúng ta sẽ chứng minh mọi Di đều là ma trận β−dầy đặc. Thật vậy, với mọi 1≤j ≤p(i) và 1≤k ≤ q(i), tồn tại hai đối tượng u, v ∈Ui sao cho u(Y) = ξj và v(Z) = ηk. Vì u và v cùng thuộc lớp Ui nên u(X) = v(X). Theo định nghĩa của β−phụ thuộc đa trị, tồn tại đối tượng t ∈ Ui thoả mãn một trong hai điều kiện sau
a) t(Y) = u(Y) =ξj và t(Z) =β v(Z) =ηk, b) t(Y) =β u(Y) = ξj và t(Z) = v(Z) =ηk.
Nếu trường hợp a) xãy ra thì t(Z)∈Ej vàηk =β t(Z). Do đó,µ(ηk, Ej)≥β. Tương tự, nếu b) xãy ra thì µ(ξj, Fk)≥ β. Cả hai trường hợp đó đều dẫn đến djk ≥β. Vì điều này đúng với mọi djk nên Di là ma trận β−dầy đặc.
Ngược lại, giả sử mọi Di đều là ma trận β− dầy đặc. Cho hai đối tượng tuỳ ý u, v ∈ U thoả mãn u(X) =v(X). Lúc đó, u và v phải thuộc cùng một lớp tương đương Ui nào đó. Đặt ξj =u(Y) vàηk =v(Z). Do djk ≥β nên ta có
i) hoặcµ(ξj, Fk)≥β, ii) hoặc µ(ηk, Ej)≥β.
Nếu i) đúng thì tồn tại t ∈Ui sao cho t(Z) =ηk =v(Z) và t(Y) =β ξj =u(Y), còn nếu ii) đúng thì tồn tại t ∈ Ui sao cho t(Y) = ξj = u(Y) và t(Z) =β ηk = v(Z). Trong cả hai trường hợp,tđều thoả mãn điều kiện của Định nghĩa 3.3. VậyX →→1,β Y
và định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 3.4. Xét hệ thốngA= (U,{X, Y, Z})được cho trong Bảng 3.8, các quan hệ tương tự trên VY vàVZ được cho trên Bảng 3.9.
U X Y Z t1 x1 y1 z1 t2 x1 y2 z1 t3 x1 y3 z2 t4 x1 y1 z2 t5 x1 y3 z3 t6 x1 y2 z3 t7 x2 y1 z1 t8 x2 y1 z2 Bảng 3.8: Bảng dữ liệu. Y y1 y2 y3 y1 1 0.5 0.7 y2 05 1 0.9 y3 0.7 0.9 1 Z z1 z2 z3 z1 1 0.6 0.7 z2 06 1 0.8 z3 0.7 0.8 1
Khi đó, ta có X →→1,0.8 Y.
U/X ={U1, U2}, với U1 ={t1, t2, t3, t4, t5, t6} và U2 ={t7, t8}. Trên lớp U1 ta có dom(U1, Y) ={y1, y2, y3}, dom(U1, Z) ={z1, z2, z3}và
E1 ={t(Z)|t ∈U1, t(Y) =y1}={z1, z2}; E2 ={t(Z)|t ∈U1, t(Y) =y2}={z1, z3}; E3 ={t(Z)|t ∈U1, t(Y) =y3}={z2, z3}; F1 ={t(Y)|t ∈U1, t(Z) = z1}={y1, y2}; F2 ={t(Y)|t ∈U1, t(Z) = z2}={y1, y3}; F3 ={t(Y)|t ∈U1, t(Z) = z3}={y2, y3}.
Từ đó các phần tử của ma trận D1 được xác định bởi:
d11 = max{µ(y1, F1), µ(z1, E1)}= max{1; 1}= 1; d12 = max{µ(y1, F2), µ(z2, E1)}= max{1; 1}= 1; d13 = max{µ(y1, F3), µ(z3, E1)}= max{0.7; 0.8}= 0.8; d21 = max{µ(y2, F1), µ(z1, E2)}= max{1; 1}= 1; d22 = max{µ(y2, F2), µ(z2, E2)}= max{0.9; 0.8}= 0.9; d23 = max{µ(y2, F3), µ(z3, E2)}= max{1; 1}= 1; d31 = max{µ(y3, F1), µ(z1, E3)}= max{0.9; 0.7}= 0.9; d32 = max{µ(y3, F2), µ(z2, E3)}= max{1; 1}= 1; d33 = max{µ(y3, F3), µ(z3, E3)}= max{1; 1}= 1.
Tương tự, trên lớp U2 ta códom(U2, Y) ={y1},dom(U2, Z) = {z1, z2}và bằng tính toán đơn giản ta thu được các phần tử của ma trận D2 là d11=d12 = 1.Tóm lại, ta được
D1 = 1 1 0.8 1 0.9 1 0.9 1 1 , D2 = 1 1 .
Rõ ràng với β ≤ 0.8 thì cả hai ma trận D1 và D2 đều β−dầy đặc. Do đó
X →→1,β Y, với mọi β ≤0.8. Trong khi đó, nếuβ >0.8thìD1 không β−dầy đặc nên
X
1,β
→/→Y.