là một đẳng cấu giữa các không gian vector.
Câu 4. Cho ϕ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector
n-chiều V vào không gian vector m-chiều W. Chứng minh rằng,
a) Nếu U là một không gian vector con k-chiều của V sao cho U ∩kerϕ
là không gian con p-chiều thì dimϕ(U) = k−p.
b) NếuT là một không gian vector con của W sao cho T∩Im(ϕ)là không gian con r-chiều thì dimϕ−1(T) = n+r−rank(A).
Câu 1.
a) Tồn tại hay không một thể (K,+,ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K,+) và (K∗,ì), với K∗ =K \ {0}, đẳng cấu với nhaủ
b) ChoA =Z[i]là vành các số phức dạnga+bi, với a, b là các số nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c+di, với c, d là bội của 3. Chứng minh rằng, I là một idean của A và vành th- ơng A/I là một tr- ờng gồm 9 phần tử.
Câu 2. Cho G =R∗ìR và ◦ là phép toán trong G xác định bởi (x, y)◦(x′ , y′ ) = (xx′ , xy′ + y x′), với R∗ =R\ {0}.
1. Chứng minh rằng, (G,◦) là một nhóm. Chỉ ra nhóm tâm của G.
2. Chứng minh rằng, với bất kỳ k ∈R, tập hợp Hk = ẵ (x, k(x− 1 x)) : x ∈ R∗ ắ
là một nhóm con giao hoán của G.
Câu 3.
1. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n với hệ tử trong tr- ờng K. Chứng tỏ
rank(A) + rank(B)−n ≤ rank(AB) ≤min{rank(A),rank(B)}.
2. Chứng minh rằng, công thức trên vẫn còn đúng khi A, B là các ma trận chữ nhật với n là số cột của A và cũng là số hàng của B.
Câu 4. Cho f là một dạng song tuyến tính trên không gian vector thực
n-chiều V và U = {a1, a2, . . . , an} là một cơ sở của V. Gọi L là không gian con của V sinh bởi a1, a2, . . . , ak (với 1 ≤ k < n) và đặt L⊥ =
{y ∈V | f(x, y) = 0, ∀x ∈ L}.
1. Cho B là ma trận biểu diễn f theo cơ sở U. Chứng tỏ rằng, nếu y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ V theo cơ sở U thì y ∈ L⊥ khi và chỉ khi y1, y2, . . . , yn là nghiệm của hệ ph- ơng trình
A y1 y2 ... yn = 0 với A ∈ Mkìn(R) là ma trận nhận đ- ợc từ B bằng cách bỏ n−k hàng cuối cùng của B.
2. f đ- ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một cơ sở nào đó của V, là không suy biến. Chứng tỏ nếu f không suy biến thì dimL⊥ = n−k.
Câu 1.
1. Cho (xn)n là một dãy tăng, bị chặn trên và xn > 0 với mọi n ∈ N∗.
Chứng minh rằng, chuỗi số ∞ P n=1 (1− xn xn+1) hội tụ.
2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa: ∞
P
n=1
x2n
2n−1.
Câu 2. Cho (X, dX),(Y, dY) là hai không gian metric, trong đó X compact. Ký hiệu C(X, Y) là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Ỵ
1. Giả sử f, g ∈ C(X, Y), đặt ϕ(x) = dY(f(x), g(x)). Chứng minh rằng,
ϕ(x) là một hàm liên tục trên X.