Mụn: Đại số
Thời gian: 180 phỳt
Cõu 1.Cho V là khụng gian vectơ tất cả cỏc ma trận vuụng cấp 2 phần tử thực. Xột ỏnh xạ f :V → V a b c d 7→ −a −b −c −d
1) Chứng minh rằng f là phộp biến đổi tuyến tớnh của V. 2) Tỡm ma trận của f theo cơ sở chớnh tắc của V.
3) TỡmKerf, Imf.
Cõu 2.Giả sử f là phộp biến đổi tuyến tớnh và cú ma trận đối với cơ sở đó cho là A= 1 1 0 0 1 0 5 3 −2
1) Tỡm giỏ trị riờng và vectơ riờng của f.
2) Vectơ riờng của f tỡm được ở cõu 1) cú tọa độ đối với cơ sở nàỏ 3)f cú phải đẳng cấu khụng? Tại saỏ
Cõu 3. 1) Cho G là tập tất cả cỏc giỏ trị căn phức bậc n của 1, với n
là số nguyờn dương. Chứng minh rằng đối với phộp nhõn cỏc số phức thụng thường, Glà nhúm Cyclic.
2) ChoA là một vành vàI là một tập con của A. Chứng minh rằng I là Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhõn của một đồng cấu nào đú từ A.
Cõu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trờn vànhA giao hoỏn cú đơn vị.
1) Chứng minh rằng nếu A là trường thỡA[x] là vành chớnh.
2) GọiRlà trường cỏc số thực vàI là Ideal của vànhR[x]sinh bởix2+ 1. Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường.
3) Nếu A là một trường thỡA[x] cú phải là một trường khụng? Tại saỏ Cõu 5.ChoAlà một ma trận vuụng cấp 2 phần tử thực vàn∈N, n ≥2. Chứng minh rằng An= 0 khi và chỉ khi A2 = 0.
Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho hàm số xác định trênR2 bởi f (x; y) =
ẵ y4
x2+ y2 nếu x2+ y2> 0 0 nếu x2+ y2= 0 Chứng minh rằng
a) f (x; y) có các đạo hàm riêng liên tục. b) fx y00(0; 0) = f00(0; 0).
Câu 2. Cho f : R ! R là ánh xạ liên tục. Đặt ẵ(x; y) = jf (x) Ă f (y)j với mọi x; y 2 R. Chứng minh rằng
a) ẵ(x; y) là một mêtric trên R khi và chỉ khi f đơn ánh.
b) (R; ẵ) là không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi f (R) là đóng trong R với mêtric thông th−ờng. Từ đó suy ra rằng với ẵ(x; y) = jar ctgx Ă ar ctgyj thì (R; ẵ) là không gian mêtric không đầy đủ.
Câu 3. Chứng minh rằng không gian C[a;b] các hàm số liên tục trên [a; b] là khả ly với mêtricd(x; y) = max
t 2 [a;b]jx(t) Ă y(t)j,8x; y 2 C[a;b].
Câu 4. Cho X là không gian định chuẩn n chiềụ Chứng minh rằng không
gian liên hợp XÔ là không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X.
Câu 5. Giả sử E = C[0;1] là không gian Banach với chuẩn kxk = sup
t 2 [0;1] jx(t)j, F là không gian con của E gồm các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 1]. Xét ánh xạ A : F ! E cho bởi Ăf ) = f 0.
1. Chứng minh rằng
a) K er A = AĂ 1(0) là không gian con đóng của F và A có đồ thị đóng. b) A không liên tục. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Nếu trên F xác định chuẩn kxk = max
t2 [0;1]jx(t)j + max
t 2 [0;1]jx0(t)j ; 8x 2 F, hãy chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính kAk.
2
Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Tr−ờng Đại học s− phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học
Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.Cho G là một nhóm Xyclic cấp n sinh bởi phần tử a và H là một nhóm con của G.
a) Chứng minh rằng H là nhóm Xyclic và H có một một phần tử sinhad với d là một −ớc số d−ơng nào đó của n.
b) Cho q là một −ớc số d−ơng nào đó của n. Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con cấp q.
c) Cho m và k là những số nguyên d−ơng. Xét nhóm cộng Zm và quy tắc t−ng ứng' từ Zm vào G cho bởi' (t) = at k, với mọi t 2 Zm. Chứng minh rằng ' là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi km chia hết cho n.
d) Xác định các tự đồng cấu, tự đẳng cấu của nhómZ15.
Câu 2. a) Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là một Ideal của R.
Chứng minh rằng J là Ideal nguyên tố khi và chỉ khi R/J là miền nguyên. b) Chứng minh rằng số nguyên d−ơng n là số nguyên tố khi và chỉ khiZn là một tr−ờng.
c) Chứng minh rằng trong tr−ờngZn, với mọi x; y 2 Zn, ta có x + y = xn + yn = (x + y)n:
Câu 3. Ký hiệu V = M (2; R) và choA 2 V.
a) Chứng minh rằng ánh xạ ' A : V ! V cho bởi X 7! AX Ă X A với mọi X 2 V là một tự đồng cấu tuyến tính của V.
b) Chứng minh rằng ' A không là đơn cấu với mọi A 2 V.
Câu 4. Giả sử V là một không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều và W1; W2
là các không gian vectơ con của V. Giả sử rằng với mỗi Ă!v 2 W2; Ă!v 6= Ă!0 ; tồn tại một vectơ Ă!x 2 W1 sao cho tích vô h−ớng hĂ!v ; Ă!x i 6= 0. Chứng minh rằng dim W2á dim W1.
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học
Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho hàm số hai biến số: f (x; y) =
ẵ
eĂ x 2 + y 21 nếux2+ y2> 0 0 nếux2+ y2= 0 Tính các đạo hàm riêng @f
@x;@f@y và xét tính khả vi của hàm số f tại điểm (x; y) 2 R2.
Câu 2. Cho hàm sốf : [0; 1] ! R xác đinh nh− sau: f (x) =
ẵ 1
(x2+ 1)2 nếux 2 Q ex2 nếux 62 Q
Xét tính khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số này trên [0; 1] và tính tích phân t−ơng ứng nếu tồn tạị (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Câu 3. Giả sử (X ; ẵ) là một không gian mêtric. Xét d : X Ê X ! [0; + 1 ), d(x; y) = 1+ ẵ( x;y)ẵ( x ;y) . Chứng minh rằng(X ; ẵ) là không gian mêtric.
Câu 4. Kí hiệuC[0;1] là không gian vectơ gồm tất cả các hàm số liên tục trên [0; 1]. Vớix 2 C[0;1], đặt kxk = max
t 2 [0;1]jx(t)j.
1. Chứng minh rằng (C[0;1]; k:k) là một không gian Banach. 2. Định nghĩa ánh xạ A : C[0;1] ! C[0;1], (Ax)(t) =
1R R 0
sin(t + s):x(s)ds; với x 2 C[0;1], t 2 [0; 1]. Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của Ạ
Câu 5. Giả sử X là không gian định chuẩn và Y là không gian con đóng của
X với ; 6= Y 6= X và cho 0 < t < 1. Chứng minh rằng với mỗi y 2 Y, tồn tại x 2 X vớikxk = 1sao cho kx Ă yk > t.
4
Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Tr−ờng Đại học s− phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học
Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Với mỗi số nguyên d−ơng n á 2, ký hiệu Pn là không gian vectơ các
đa thức thuộc R[x]có bậc2n, trong đó Rlà tr−ờng số thực.
1. Chứng minh rằng với mỗi a 2 R, hệ vectơ f 1; (x Ă a); :::; (x Ă a)nglà một cơ sở củaPn
2. Cho ánh xạâ : Pn ! Pn Ă 1xác định bởiâ(f (x)) = f0(x), với mọif (x) 2 Pn, trong đóf 0(x) là đa thức đạo hàm của f (x).
a) Chứng minhâlà ánh xạ tuyến tính.
b) Xác định ma trận A của â đối với cặp cơ sở f 1; (x Ă a); :::; (x Ă a)ng và f 1; x; :::; xn Ă 1g, với a 2 R cho tr−ớc.
c) Xác định hạng của ma trận Ạ
Câu 2. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên tr−ờng K, f : V ! V
là một phép biến đổi tuyến tính. Chứng minh rằng Imf = Imf 2khi và chỉ khi V = K er f â Imf.
Câu 3. ChoG = hai là một nhóm Cyclic cấp n sinh bởi ạ
a) Chứng minh rằng với k là một số nguyên bất kỳ, cấp của phần tửak bằng n
d, trong đó d = (n; k).
b) Chon = p2, với p là một số nguyên tố. Hãy xác định số phần tử sinh của nhóm G.
Câu 4. Ký hiệu D = âmn j m, n 2 Z; n là số lẻ ê, trong đóZ là tập hợp các số nguyên. Chứng minh rằng D là một vành chính với các phép toán cộng và nhân các số hữu tỷ.
Câu 5. Cho p là một số nguyên tố và p(x) = xpĂ 1+ xpĂ 2+ ::: + x + 1 2 Q[x], trong đóQ là tr−ờng các số hữu tỷ.
1.Chứng minh rằngp(x) là một đa thức bất khả quy trên Q. 2. Gọi đ 2 Clà một nghiệm của p(x). Xét t−ơng ứng:
' : Q[x] ! C f (x) 7! f (đ) Chứng minh rằng:
a)' là một đồng cấu vành. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) B = f a0+ a1đ + ::: + apĂ 2đpĂ 2ja0; a1; :::apĂ 22 Q g là một tr−ờng với các phép toán cộng nhân các số phức.
Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. 1.Trên tập hợp số thực R, ta đặt d(x; y) = jar ctgx Ă ar ctgyj ; 8x; y 2 R. Chứng minh rằng
a) d là một mêtric trên R.
b) (R; d) là không gian mêtric không đầy đủ.
2. Chứng minh rằng mọi ánh xạ từ không gian mêtric N (là tập hợp các số tự nhiên với mêtric thông th−ờng) vào không gian mêtric Y là liên tục đềụ Điều này còn đúng không khi thay N bằng một không gian mêtric rời rạc.
Câu 2. Cho L là không gian véctơ các ánh xạ Lipschitz từ[0; 1]đến Rvà đặt E1= C1([0; 1]; R). a) Chứng minh rằng k:k : L ! xác định bởi 8f 2 L ; kf k = jf (0)j + sup (x;y)2 [0;1]2;x 6= y jf (x) Ă f (y)j jx Ă yj
là một chuẩn trên L, và chuẩn đó không t−ơng đ−ơng với kf k1 = sup t2 [0;1]
jf (t)j. b) Chứng minh rằng N : E1 ! xác định bởi 8f 2 E1; N (f ) = jf (0)j + sup
t2 [o;1]
jf 0(t)j là một chuẩn trên E1 và chuẩn này trùng với k:k.
Câu 3. ChoE = C([0; 1]; R) đ−ợc trang bị chuẩn k:k1 và ánh xạ T : E ! E đ−ợc xác định nh− sau: 8f 2 E ; 8x 2 [0; 1]; (T (f ))(x) = x R 0 f (t)dt: Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính kTk.
Câu 4. Giả sử
f (x; y) =
ẵ x y
jx j+ jyj nếu x2+ y26= 0 0 nếux2+ y2= 0
Chứng minh rằng khắp nơi trong hình vuông A = [Ă 1; 1] Ê [Ă 1; 1]hàm f có các đạo hàm riêng, các đạo hàm riêng này bị chặn trong A nh−ng không kh vi tại(0; 0).
Câu 5. Giả sử f là một hàm đo đ−ợc trên đoạn [a; b] và có một số M > 0và 0 < đ < 1sao cho jf (x)j > = jx Ă xM
0jđ với a < x0 < b. Hãy chứng minh f khả tích Lebesgue trên[a; b].
Câu 6. Cho M là một không gian véctơ con của không gian định chuẩn E trên tr−ờngâvà T là một ánh xạ tuyến tính từ M vào Ẹ Giả sử có mộtđ 2 âđể cho (đId+ T) là một song ánh từ E vào Ẹ và (đId+ T )Ă 1 liên tục trên E, trong đó ánh xạ Id là ánh xạ đồng nhất. Chứng minh rằng đồ thị của T là một tập đóng trong E Ê E.
6
Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Tr−ờng Đại học s− phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Ngành: Toán học
Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. 1. Cho k, n là những số nguyên d−ơng lớn hơn 1 và f : Rn ! Rn
là một phép biến đổi tuyến tính thoả mãn f k = 0. Đặt g : Rn ! Rn cho bởi g(x) = x Ă f (x); 8x 2 Rn. Chứng minh rằng g là một tự đẳng cấu củaRn.
2. Ký hiệuM (n; R) là không gian tuyến tính các ma trận thực vuông cấp n. VớiA = (ai j) 2 M (n; R) , đặtTr (A) =
n P i = 1
ai i vết của ma trận A). a) Chứng minh rằng ánh xạ v : M (n; R) ! R2 xác định bởi:
v(A) = (T r (A); a11); 8A = (ai j) 2 M (n; R) là một ánh xạ tuyến tính. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Tính số− chiều của hạt nhânK er (v).
c) Với n = 3hãy chỉ ra một c sở của không gian K er (v) và xác định không gian con bù củaK er (v) trong không gian M (n; R).
Câu 2. Cho nhóm G với phép toán nhân và A; B là những nhóm con chuẩn
tắc của G sao choA \ B = f ege là đn vị của nhóm G) và G sinh bởiA [ B. 1. Mỗi phần tửx 2 Gbiểu diễn đ−ợc d−ới dạngx = ab; a 2 A; b 2 B và biểu diễn là duy nhất.
2. G đẳng cấu với nhóm tích trực tiếpA Ê B của hai nhóm A và B.
3. Nếu A và B là những nhóm Cyclic cấp t−ng ứng là m và n sao cho (m; n) = 1thì G là nhóm Cyclic.
Câu 3. Cho R là một vành giao hoán có đn vị khác 0. IdealP 6= Rcủa R đ−ợc gọi là cực đại nếu R không chứa IdealQ 6= R nào sao choP ẵ Q; P 6= Q.Chứng minh các khẳng định sau:
1. Ideal P là cực đại khi và chỉ khi vành th−ng R/P là một tr−ờng. 2. Vành R chứa ít nhất một Ideal cực đạị
3. Nếu P là Ideal cực đại duy nhất của vành R thì với mỗi phần tử a 2 R phần tử a hoặc 1 - a là kh nghịch.
a) Chứng minh rằng hệαi lập thành một cơ sở củaR3