Cho V, V0 là các không gian véc tơ và ánh xạf : V −→V0. Ta đã biết ảnh của f là tập
Imf ={f(x)/x∈V}
Ta định nghĩa hạt nhân của f là tập hợp
kerf ={x∈V /f(x) =θV0}=f−1(θV0)
2.1 Định lý: Nếuf :V −→V0 là ánh xạ tuyến tính.A là không gian véc tơ con của
V; B là không gian véc tơ con của V0 thì f(A) là không gian con của V0 và f−1(B) là không gian con củaV. Nói riêng ảnh của ánh xạ tuyến tínhf là không gian véc tơ con củaV0 và hạt nhân của ánh xạf là không gian véc tơ con của V.
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết một ánh xạ tuyến tính là đơn cấu.
2.2 Mệnh đề: ánh xạ tuyến tính f : V −→ V0 là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân
kerf là không gian véc tơ con không của V, tức là kerf ={θV}
có kerf = (0,0) nên f là đơn cấu.
2.3 Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ V0, trong đó V, V0 là các khônggian véc tơ hữu hạn chiều. Số chiều củaImf được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính gian véc tơ hữu hạn chiều. Số chiều củaImf được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính
f, số chiều của kerf được gọi là khuyết của f.
Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa hạng, số khuyết và số chiều của không gian nguồn của ánh xạ tuyến tính.
2.4 Định lý: Cho ánh xạ tuyến tính f :V −→V0. Khi đó
dimImf +dimKerf =dimV.
Chứng minh: Giả sử dimImf = r;dimkerf = s. Chọn y1, y2, yr là cơ sở của Imf,
xr+1, ...xr+slà cơ sở củakerf. Vìyi ∈Imf nên tồn tạixi ∈V sao chof(xi) =yi,∀i= 1,2, ..., r.Ta chứng minhx1, x2, ..., xr+s (8) là cơ sở của V. Thật vậy, giả sử
α1x1+α2x2+...+αr+sxr+s=θ.
Vì f là ánh xạ tuyến tính nên
α1f(x1) +α2f(x2) +...+αr+sf(xr+s) =θV0.
Lại vì xr+1, ...xr+s∈kerf nên
f(xr+1) =...=f(xr+s) =θV0
và f(x1) =y1;....;f(xr) =yr nên ta có
α1y1+α2y2+...+αryr=θV0
Do hệ y1, y2, ..., yr độc lập tuyến tính nên α1 =...=αr = 0, suy ra
ar+1xr+1+...+ar+sxr+s =θ.
Lý luận tương tự suy ra ar+1 =...=ar+s = 0. Suy ra hệ x1, x2, ...xr+s độc lập tuyến tính.
Tieps theo ta chứng minh hệ(8) là hệ sinh của V. Với mỗix∈V, ta có f(x)∈Imf. Vì y1, y2, ..., yr là cơ sở của Imf nên tồn tạiα1, α2, ..., αr∈K sao cho
f(x) =α1y1+α2y2+...+αryr
=f(α1x1+α2x2+...+αrxr) Suy ra
f(x−α1x1−α2x2−...−αrxr) =θV0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì vậy x−α1x1−α2x2−...−αrxr ∈ Kerf,mà xr+1, ..., xr+s là cơ sở của kerf nên tồn tại αr+1, ...αr+s∈K sao cho
x−α1x1−α2x2−...−αrxr =αr+1xr+1+...+αr+sxr+s
hay x =α1x1 +...+αr+sxr+s.
2.5 Hệ quả: Cho ánh xạ tuyến tính f” :V −→V0. Khi đóa) f là toàn ánh khi và chỉ khi hạng củaf bằng số chiều của V0. a) f là toàn ánh khi và chỉ khi hạng củaf bằng số chiều của V0. b)f là đơn ánh khi và chỉ khi hạng của f bằng số chiều của V.
2.6 Định nghĩa: Hai không gian véc tơ V và V0 được gọi là đẳng cấu nếu có mộtphép đẳng cấu tuyến tính f :V −→V0. Khi đó ta ký hiệuV ∼V0. phép đẳng cấu tuyến tính f :V −→V0. Khi đó ta ký hiệuV ∼V0.
2.7 Định lý: Hai không gian V và V0 đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúngbằng nhau. bằng nhau.
Chứng minh: Nếu V và V0 đẳng cấu thì từ hệ quả trên suy ra dimV =dimV0. Ngược lại, giả sử dimV =dimV0 =n. Chọn {e1, e2, ..., en} và {e0
1, e0
2, ..., e0
n} lần lượt là cơ sở của V và V0. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V −→ V0
sao chof(ei) =e0
i,∀ivà tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tínhg :V0−→V sao cho
g(e0i) =ei,∀i. Khi đó
(gof)(ei) =g(f(ei)) =g(e0i) =ei,
(fog)(e0i) =f(g(e0i)) =f(ei) =e0i
với mọi i = 1,2, ..., n. Vì có duy nhát một ánh xạ tuyến tính V −→ V sao cho
ei 7→ ei, i = 1,2, ..., n đó là ánh xạ đồng nhất 1V nên ta có fog = 1V. Tương tự
gof = 10
V. Do đó f và g là các đẳng cấu ngược nhau. Tức là V ∼ V0. Định lý được chứng minh.