1.1 Định nghĩa: Cho V, V0 là hai không gian véc tơ tùy ý. ánh xạ f : V −→ V0
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu hai tiên đề sau được thỏa mãn i) Với mọi x, y∈V :f(x+y) =f(x) +f(y),
ii) Với mọi α∈K, mọi x∈V :f(ax) =af(x).
Ví dụ: 1)Cho ánh xạ f :R3 −→R2 xác định bởi
f(x1, x2, x3) = (x1,2x2 −x3).
Khi đó f là ánh xạ tuyến tính.
2) Cho V, V0 là hai không gian véc tơ tùy ý. Khi đó ánh xạ f :V −→V0 xác định bởi
f(x) =θ với mọix∈V là ánh xạ tuyến tính.
3) Cho V là không gian véc tơ tùy ý,S là không gian véc tơ con của V. Khi đó ánh xạ id :S −→V;id(x) =x,với mọi x∈S là ánh xạ tuyến tính.
1.2 Mệnh đề: Nếuf :V −→V0 là ánh xạ tuyến tính thìa) f(θV) =θV0. a) f(θV) =θV0.
b) Với mọi x∈V :f(−x) = −f(x).
1.3 Hệ quả: Nếu f :V −→V0 là ánh xạ tuyến tính thì ta cóa) Với mọi x, y∈V :f(x−y) =f(x)−f(y). a) Với mọi x, y∈V :f(x−y) =f(x)−f(y).
b) Với mọi α1, α2, ..., αn∈K, mọi x1, x2, ..., xn∈V ta có
f(α1x1+α2x2+αnxn) =α1f(x1) +α2f(xn(x2) +...+αnf(xn).
1.4 Định lý: (Cách xác định ánh xạ tuyến tính)
Giả sử V là không gian véc tơ n chiều, V0 là không gian véc tơ tùy ý. Hệ véc tơ
{e1, e2, ..., en} là cơ sở của V và a1, a2, ..., an là hệ véc tơ tùy ý trong V0. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :V −→V0 sao cho f(ei) =ai.
sChứng minh: +) Sự tồn tại:
Với mọix∈V,giả sử x1, x2, ..., xn) là tọa độ củaxđối với cơ sở{e1, e2, ..., en}. Tức là
x =x1e1 +x2e2+...+xnen
Ta định nghĩa ánh xạf :V −→V0 xác định bởi công thức (x) =x1a1+x2a2+....+xnan
Khi đó ta có thể chứng minh được f là một ánh xạ tuyến tính. Rõ ràng khix=ei thìf(x) =ai,∀i= 1,2, .., n.
Sự duy nhất:
Nếug :V −→V0 sao cho g(ei) =ai,∀i= 1,2, ..., n thì ta có
g(x) = g(x1e2+x2e2+....+xnen)
=x1g(e1) +x2g(e2) +...+xng(en) =x1a1+x2a2 +...+xnan =f(x).
Do đó f =g. Định lý được chứng minh.
1.5 Định nghĩa: Cho f :V −→V0 là ánh xạ tuyến tính.a) Nếuf là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu. a) Nếuf là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu.
b) Nếuf là toàn ánh thì f được gọi là toàn cấu. c) Nếu F là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu.
1.6 Định lý:ChoV, V0, V00 là các không gian véc tơ. Nếuf :V −→V0;g :V0 −→V”là các ánh xạ tuyến tính thì gof :V −→V00 cũng là ánh xạ tuyến tính. là các ánh xạ tuyến tính thì gof :V −→V00 cũng là ánh xạ tuyến tính.
1.7 Hệ quả: Cho V, V0, V00 là các không gian véc tơ và f : V −→V0, g : V0 −→V00 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
là các ánh xạ tuyến tính. Khi đó
a) Nếuf, g là đơn cấu thìgof là đơn cấu. b) Nếuf, g là toàn cấu thì gof là toàn cấu. c) Nếu f, g là đẳng cấu thì gof là đẳng cấu.