Cho không gian véc tơV và S là tập con không rỗng của V thỏa mãn hai điều kiện a) Nếua, b∈S thìa+b∈S,
b) Nếuα∈K, a∈S thìαa∈S.
Các điều kiệna, bcho phép ta xác định được phép cộng trênS và phép nhân vô hướng với véc tơ trênS theo các quy tắc cộng các véc tơ và nhân vô hướng với véc tơ như đã xác định trên V.
Ta có thể kiểm chứng được rằng8 tiên đề về không gian véc tơ thỏa mãn đối với các phép toán trên S. Do đó S cũng là một không gian véc tơ.
1.1 Định nghĩa: Tập conS không rỗng của không gian véc tơ V thỏa mãn hai điềukiệna), b) được gọi là không gian véc tơ con của không gian véc tơ V. Nghĩa là bản kiệna), b) được gọi là không gian véc tơ con của không gian véc tơ V. Nghĩa là bản thân S cũng là không gian véc tơ đối với phép cộng véc tơ và phép nhân vô hướng với véc tơ trênV.
Ví dụ: 1) Tập hợp gồm một phần tử θ của không gian véc tơ V là không gian con của V vì θ+θ =θ và αθ =θ.
2) NếuS=V thì rõ ràng S là một không gian con của V.
Hai không gian con {θ} và V được gọi là không gian con tầm thường của V.
3) Cho không gian véc tơ K3 và S ={(x1, x2, x3)∈ K3/x1+ 2x2+ 3x3 = 0}. Khi đó
S là không gian véc tơ con củaK3.
4) ChoV là không gian véc tơ và hệ véc tơ a1, a2, ..., am trongV. Gọi L(a1, a2, ..., am) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đã cho, tức là tập hợp tất cả các véc tơ có dạng α1a1+α2a2+...+αmam, với α1, α2, ..., αm là các số tùy ý. Khi đó ta cũng kiểm tra đượcL(a1, a2, ..., am) là không gian véc tơ con củaV.
Ta có định nghĩa sau.
2.2 Định nghĩa: Không gian véc tơ con L(a1, a2, ..., am) của không gian véc tơ V
được gọi là không gian véc tơ con sinh bởi hệ véc tơ a1, a2, ..., am.
Ví dụ: Quay lại ví dụ3 ở phần trên ta có
x= (x1, x2, x3)∈S ⇔x1+ 2x2+ 3x3 = 0⇔x1 =−2x2−3x3 Do đó x=x2(−2,1,0) +x3(−3,0,1). Suy ra
S=L(a1, a2)vớia1= (−2,1,0);a2 = (−3,0,1).
1.3 Định lý:NếuS là không gian véc tơ con của không gian véc tơV hữu hạn chiềuthìS là không gian véc tơ hữu hạn chiều và dimS 6dimV. Đẳng thức chỉ xảy ra khi thìS là không gian véc tơ hữu hạn chiều và dimS 6dimV. Đẳng thức chỉ xảy ra khi
S=V.
Ta nhận thấy rằng nếu E = {e1, e2, ..., en} là cơ sở của V thì nói chung không thể chọn cơ sở của S là những véc tơ trong E bởi vì các véc tơ này có thể không thuộc
S. Tuy nhiên ta có điều sau đây.
1.4 Mệnh đề:Nếu{e1, e2, ..., ek}là cơ sở của không gian véc tơ conScủa không gianvéc tơV có số chiềunthì tồn tại các véc tơek+1, ..., en∈V sao cho{e1, ..., ek, ek+1, ...en} véc tơV có số chiềunthì tồn tại các véc tơek+1, ..., en∈V sao cho{e1, ..., ek, ek+1, ...en}
là một cơ sở củaV.
Chứng minh: Nếu k < n thì tồn tại ek+1 sao cho e1, e2, ..., ek, ek+1 độc lập tuyến tính vì nếu ngược lại thìn=k và ta có điều mâu thuẫn.
Tiếp tục nếu k+ 1< n thì tồn tại ek+2 sao cho e1, e2, ..., ek, ek+1, ek+2 độc lập tuyến tính vì nếu ngược lại thìn=k+ 1.
Tiếp tục lập luận này sau n−k lần ta được khẳng định của mệnh đề.
1.5 Định lý: Cho hệ véc tơ a1, a2, ..., am trong không gian véc tơ V. Số chiều củakhông gian véc tơ L(a1, a2, ..., am) bằng hạng của hệ véc tơ a1, a2, ..., am. không gian véc tơ L(a1, a2, ..., am) bằng hạng của hệ véc tơ a1, a2, ..., am.
Chứng minh: Giả sử có k véc tơ độc lập tuyến tính là a1, a2, ..., ak và mỗi véc tơ của hệ véc tơ a1, a2, ..., am đều được biểu thị tuyến tính qua hệ véc tơ a1, a2, ..., ak. Khi đó mỗiai vớii=k= 1, ..., mlà tổ hợp tuyến tính củaa1, a2, ..., ak. Do đó mỗi tổ hợp tuyến tính của các véc tơ a1, a2, ..., am cũng là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
a1, a2, ..., ak. Như vậy a1, a2, ..., ak là cơ sở củaL(a1, a2, ..., ak).