4 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đạ
4.4.Kết luận chương 4
Kết quả trong Chương 4 bao gồm:
- Đưa ra khái niệm phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1. Chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm và đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trình liên hợp.
- Đưa ra khái niệm dòng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh và khái niệm phổ Lyapunov cho phương trình liên hợp, xét các tính chất của chúng cùng mối liên hệ với các khái niệm này của phương trình ban đầu.
- Đưa ra khái niệm chính qui Lyapunov cho phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1, xét một số tính chất và ví dụ minh họa.
KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận chung
Các kết quả chính của luận án là:
1. Đưa ra khái niệm nghiệm và khái niệm chỉ số 1 cho phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô; chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho lớp phương trình chỉ số 1.
2. Đối với lớp phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1, luận án đã:
2.1 Định nghĩa phương trình liên hợp, chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm và đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trình liên hợp.
2.2 Định nghĩa khái niệm dòng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh cho phương trình ban đầu và phương trình liên hợp. Xét các tính chất cùng mối liên hệ giữa chúng.
2.3 Định nghĩa số mũ Lyapunov, phổ Lyapunov và không gian Lyapunov thông qua dòng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh. Chứng minh không gian Lyapunov là đo được và phổ Lyapunov gồm các số không ngẫu nhiên.
2.4 Đưa ra khái niệm chính qui Lyapunov và bước đầu nghiên cứu một số tính chất của phương trình chính qui.
Các kết quả trên là tổng quát hóa các kết quả đã biết đối với phương trình vi phân thường, phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, phương trình vi phân đại số lên trường hợp phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô.
II. Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới chúng tôi dự định sẽ nghiên cứu các vấn đề sau đối với phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô:
2. Đưa ra các khái niệm ổn định thích hợp, kết hợp cả hai phương pháp của Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định.
3. Sau khi có các khái niệm ổn định chúng tôi sẽ nghiên cứu các tính chất tiệm cận, nghiên cứu bán kính ổn định.
4. Nghiên cứu các tính chất xác suất của nghiệm.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NCS LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi The (2010), Stochastic differential algebraic equation of index 1, Vietnam Journal of Mathematics 38,1, pp. 117-131.
2. Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi The (2011), Lyapunov Spectrum of Nonautonomous Linear Stochastic differential algebraic equation of index 1,Stochastics and Dynamics, To appear in Stochastics and Dy- namics, DOI No: 10.1142/S0219493712500025.
3. Nguyen Dinh Cong, S. Siegmund and Nguyen Thi The (2011), Adjoint equation and Lyapunov regularity of nonautonomous linear stochastic differential algebraic equations of index 1, preprint.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Nguyễn Đình Công (1999),Tổng quan về lý thuyết số mũ Lyapunov, Bài giảng cho học viên cao học của Viện Toán học.
[2] Nguyễn Đình Công (2002), Lý thuyết hệ động lực, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
[3] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[4] Đặng Hùng Thắng (2007), Tính toán ngẫu nhiên, NXB Quốc gia Hà nội.
[5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Quốc gia Hà nội.
[6] Vũ Tuấn (2002), Tổng quan về PTVPĐS, Thông báo khoa học của các trường Đại học, Toán-Tin học, Bộ Giáo dục và Đào tạo, trang 7-13.
Tiếng nước ngoài:
[7] A. Alabert and M. Ferrante (2006), Linear stochastic differential- algebraic equations with constant coefficients, Electronic Commu- nications in Probability, 11, pp. 316-335.
[8] Pham Ky Anh (1997), Multipoint boundary-value problems for transferable diđerential-algebraic equa- tions, I-Linear case, Vietnam Journal of Mathematics, 25, pp. 347-358.
[9] L. Arnold (1974), Stochastic Differential Equations, Wiley, New York.
[10] L. Arnold (1998), Random Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin.
[11] L. Arnold and M. Scheutzow (1995), Perfect cocycles through stochas- tic differential equations, Probab. Th. Rel. Fields, 101, pp. 65-88. [12] U. M. Ascher and L. R. Petzold (1998),Computer Methods for Ordi-
nary Differential Equations and Differential- Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadel- phia, PA.
[13] K. Balla (1996), Linear subspaces for linear DAEs of index 1, Com- puters & Mathematics with Applications, Vol. 31, Issues 4-5, pp. 81-86.
[14] K. Balla and Vu Hoang Linh (2005), Adjoint pairs of differential- algebraic equations and Hamiltonian systems, Appl. Numer. Math, 53, pp. 131-148.
[15] K. Balla, R. M¨arz (2000), Linear differential algebraic equations of index 1 and their adjoint equations, Results Math, 37, No.1-2, pp. 13-35.
[16] K. Balla, R. M¨arz (2002), An unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints, Z. Anal. Anwendungen, 21, No.3, pp. 783-802.
[17] K. E. Brenan, S. L. Campbell, L. R. Petzold (1989), Numerical so- lution of initial-value problems in differential-algebraic equations, North-Holland, New York.
[18] S. L. Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London,
[19] S. L. Campbell (1995), Linearization of DAE’s along trajectories, Z. Angew. Math. Phys, 46, pp. 70-84.
[20] O. Chein, G. Denk (1998), Numerical solution of stochastic differential algebraic equations with applications to transient noise simulation of microelectronic circuit, J. Comput. Appl. Math, 100, pp. 77-92. [21] C. J. Chyan, Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh (2008), On data-
dependence of exponential stability and the stability radii for lin- ear time-varying differential-algebraic systems, J. Differential Equa- tions, 245, pp. 2078-2102.
[22] Nguyen Dinh Cong (1997), Topological dynamics of random dy- namical systems, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York.
[23] Nguyen Dinh Cong (1988), Stochastic stability test for the highest Lyapunov exponent, Mat Zametki, No.1, (82-97); English transl. in Math, Notes, 43, No.1, pp.49-57.
[24] Nguyen Dinh Cong (1990), On central and auxiliary exponets of linear systems with coefficients perturbed by a white noise,Diffrentsial’nye Uravneniya, 26, No.3, 420-427, English transl. in Differential equa- tion, 26, No.3, pp. 307-313.
[25] Nguyen Dinh Cong (1990), On Lyapunov exponents and central ex- ponents of linear systems of differential equations with almost pe- riodic coefficients under random perturbation, Acta Mathematica Vietnamica, 15, No.1, pp. 69-73.
[26] Nguyen Dinh Cong (1991), Lyapunov exponents and central expo- nents of systems with weakly varying coefficients under small random perturbation, Differensial’nye Uravneniya, 27, No.10, pp. 1712- 1720, (in Russian).
[27] Nguyen Dinh Cong (1993), A property of systems of differential equa- tions perturbed by white noises and its applications to the stochastic continuity of Lyapunow exponents, Stochastic Anal. Appl, 11, pp. 423-439.
[28] Nguyen Dinh Cong (1997), Lower estimation for the Lyapunov expo- nents of linear systems of differential equations perturbed by white noise, Vietnam Journal of Mathematics, No.25, pp. 253-265.
[29] Nguyen Dinh Cong (2001), Lyapunov Spectrum of Nonautonomous Linear Stochastic Differential Equations,Stochastics and Dynamics, Vol.1, No.1, pp. 127-157.
[30] Nguyen Dinh Cong and Hoang Nam (2003), Lyapunov’s inequality for linear differential algebraic equation,Acta Mathematica Vietnamica, Vol.28, No.1, pp. 73-78.
[31] Nguyen Dinh Cong and Hoang Nam (2004), Lyapunov regularity of linear differential algebraic equations of index 1, Acta Mathematica Vietnamica, Vol.29, No.1, pp. 1-21.
[32] Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi Thuy Quynh (2011), Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic diferential equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No.1, p. 35-53. [33] Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi Thuy Quynh, Coincidence of
Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic dif- ferential equations with nondegenerate stochastic term, DSDC Sup- plements AIMS Proceedings, (accepted).
[34] Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi The (2010), Stochastic differen- tial algebraic equation of index 1,Vietnam Journal of Mathematics 38, No.1, pp. 117-131.
[35] Nguyen Dinh Cong and Nguyen Thi The (2011), Lyapunov Spectrum of Nonautonomous Linear Stochastic differential alge- braic equation of index 1, Stochastics and Dynamics, DOI No: 10.1142/S0219493712500025.
[36] Nguyen Dinh Cong, S. Siegmund and Nguyen Thi The (2011), Adjoint equation and Lyapunov regularity of nonautonomous linear stochastic differential algebraic equations of index 1, preprint.
[37] G. Denk, R. Winkler (2007), Remodelling and simulation of tran- sient noise in circuits, Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, Vol.13, No.4, August, pp. 383-394.
[38] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh (2006), Stability radii for linear time-varying differential-algebraic equations with respect to dynamic perturbations, J. Diff. Equations, 230, pp. 579-599.
[39] Nguyen Huu Du (2008), Stability radii of differential algebraic equa- tions with structured perturbations,Systems & Control Letters, 57, pp. 546-553.
[40] A. Friedman (1976), Stochastic Differential Equations and Their Applications, Academic Press.
[41] C. W. Gear, L. Petzold (1984), ODE methods for the solution of dif- ferential/algebraic systems, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 21, pp. 716-728.
[42] I. I. Gihman and A. V. Skorohod (1972), Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York.
[43] I. I. Gikhman and A. V. Skorokhod (1975),The Theory of Stochastic Processes I, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York.
[44] I. I. Gikhman and A. V. Skorokhod (1975),The Theory of Stochastic Processes II, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York.
[45] I. I. Gikhman and A. V. Skorokhod (1975),The Theory of Stochastic Processes III, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York.
[46] E. Griepentrog, M. Hanke and R. M¨arz (1992), Berlin Seminar on Differential-Algebraic Equations. Seminarberichte [Seminar Re- ports], 92-1. Humboldt universit¨at, Fachbereich Mathematik, Berlin. [47] E. Griepentrog and R. M¨arz (1986), Differential Algebraic equations
and Their numerical treatment, Teubner-Tex Math, 88, Leipzig. [48] E. Hairer and G. Wanner (1996), Solving Ordinary Differential
Equations II: Stiff and Differential- Algebraic Problems, Springer- Verlag, Berlin, Germany, 2nd edition.
[49] K. Ito, Stochastic integral (1944), Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20, pp. 519-524.
[50] K. Ito, H. P. Mc Kean (1965),Diffusion Processes and Their Sample Paths, Academic Press, New York.
[51] P. E. Kloeden, E. Platen (1992), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[52] H. Kunita (1990), Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations, Cambridge Univ. Press.
[53] R. Z. Khasminskii (1980), Stochastic stability of differential equa- tions, Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, The Netherlands Rockville, Maryland, USA.
[54] P. Kunkel and V. Mehrmann (2006), Differential-Algebraic Equa- tions. Analysis and Numerical Solution, EMS Publishing House, Z¨urich, Switzerland.
[55] R. Lamour, R. M¨arz and R. Winkler (1998), How Floquet theory applies to index 1 differential algebraic equations, Journal of Math- ematical Analysis and Application, 217, pp. 372-394.
[56] M. Lentini and R. M¨arz (1990), Conditioning and dichotomy in differ- ential algebraic equations,SIAM J. Numer. Anal,27, pp.1519-1526. [57] M. A. Liapunov (1892), Problème général de la stabilité du mouve- ment, Annales Fac. Sciences Toulouse 9. (Translation of the Russian edition, Kharkov 1892.) (Princeton University Press, 1949 and 1952), reprint.
[58] Vu Hoang Linh, Volker Mehrmann (2009), Lyapunov, Bohl and Sacker-Sell Spectral Intervals for Differential-Algebraic Equations, J Dyn Diff Equat, 21, pp. 153-194.
[59] X. Mao (1997), Stochastic differential equationsand their Applica- tions, Horwood.
[60] V. M. Millionshchikov (1985), Lyapunov exponents of a family of endomorphirms of a metrized vector bundle, Mat. Zametki,38, No.1, pp. 92-109.
[61] V. M. Millionshchikov (1995), Normal bases of a family of endomor- phirms of a metrized vector bundle, Mat. Zametki, 38, No.5, pp. 691-708.
[62] V. M. Millionshchikov (1986), Formulae for the Lyapunov exponents of a family of endomorphirms of a metrized vector bundle, Mat. Za- metki, 39, No.1, 29-51; English transl. in Math. Notes, 39, No.1-2, pp. 17-30.
[63] V. M. Millionshchikov (1987), Formulae for the Lyapunov exponents of linear systems of differential equations, In Transactions of the I.N.Vekua Institute of Applied Mathematics, Tbilisi State Univer- sity (Tbilisi, USSR), Vol.22, pp. 150-179. (in Russian).
[64] B. Oksendal (2003), Stochastic differential equations: An introduc- tion with Applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[65] R. E. A. C. Paley, N. Wiener, A. Zygmund (1933), Note on random functions, Math. Z, 37, pp. 647-668.
[66] L. R. Petzold (1982), Differential/Algebraic equations are not ODEs, SIAM J.Sci. Stat. Comput, Vol. 3, No. 3, pp. 367-384.
[67] X. Qu, C. Huang, C. Liu (2010), Convergence and stability of nu- merical solutions to a class of index 1 stochastic differential algebraic equations with time delay, Applied Mathematics and Computation, 215, pp. 4008-4021.
[68] P. J. Rabier and W. C. Rheinboldt (2002), Theoretical and Numeri- cal Analysis of Differential Algebraic Equations, Handbook of Nu- merical Analysis, Vol. 8, pp. 183-540, North-Holland, Amsterdam. [69] W. Roemisch and R. Winkler (2003), Stochastic DAEs in circuit
simulation, Preprint 03-03, Institute for Mathematik, Humboldt- University Berlin.
[70] T. Stykel (2002), On criteria for asymptotic stability of differential algebraic equations, Z. Angew. Math. Mech, 82(3), pp.147-158. [71] T. Stykel (2002), Stability and inertia theorems for generalized Lya-
punov equations, Lin. Alg. Appl, 355, pp. 297-314.
[72] C. Tischendort (1994), On stability of solutions of autonomous index 1 tractable and quasilinear index 2 tractable daes, Circuits Systems Signal Process, 13, pp. 139-154.
[73] Vu Tuan and Pham Van Viet (2004), Stability of solutions of a quasi- linear index 2 tractable differential algebraic equation by the Lya- punov second method, Ukrainian Mathematical Journal, Vol. 56, No. 10, pp. 1321-1334.
[74] R. Winkler (2002), Stochastic DAEs in transient noise simulation, Springer Series “Mathematics in Industry”, Proceedings of Scien- tific Computing in Electrical Engineering June, 23rd - 28th, Eind- hoven, pp. 408-415.
[75] R. Winkler (2003), Stochastic differential algebraic equations of index 1 and applications in circuit simulation, Journal of computational and applied mathematics 157, pp. 477-505.
[76] B. P. Demidoviq (1967), Lekcii po matematiqesko teorii ustoqivosti, Nauka, Moskva.
[77] V. F. Qistkov (1996), Algebro-differencial~nye operatory s koneqnomernym drom, Nauka, Novosibirsk.