Sau đây chúng tôi trình bày khái niệm phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 (mềm) từ tài liệu [47].
Định nghĩa 1.4.1 (Chỉ số của ma trận). Cho A là ma trận vuông cấp n, chỉ số của ma trận A, ký hiệu ind(A), được định nghĩa như sau
Định nghĩa 1.4.2 (Cặp ma trận chính qui). Cho hai ma trậnA, B ∈ Rn×n. Cặp ma trận, có thứ tự, (A, B) được gọi là chính qui nếu tồn tại c ∈ R sao cho det(cA+B) 6= 0. Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp ma trận (A, B) là suy biến.
Định nghĩa 1.4.3 (Chỉ số của cặp ma trận). Nếu cặp ma trận (A, B) là chính qui và det(cA+B) 6= 0 thì ind((cA+B)−1A) được gọi là chỉ số của cặp ma trận (A, B).
Định nghĩa 1.4.4. Phương trình vi phân tuyến tính
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = f(t), t ∈ J := [0, T] ⊂R+, (1.8) trong đóA, B ∈ C(J,Rn×n), f ∈ C(J,Rn), được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 (mềm) nếu
(i) Ma trận A(t) suy biến và có hạng hằng với mọi t ∈ J,
(ii) Cặp ma trận (A(t), B(t)) chính qui có chỉ số 1 với mọi t ∈ J,
(iii) Không gian kerA(t) là trơn, tức là tồn tại phép chiếu trơn Q(t) lên kerA(t).
Kí hiệu 1.4.5. Nếu (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1 và Q(t) là phép chiếu trơn lên kerA(t) thì ta luôn ký hiệu
P(t) := I −Q(t), B0(t) := B(t)−AP0(t), A1(t) := A(t) +B0Q(t),
S(t) := {x : B0(t)x ∈ imA(t)} = {x : B(t)x ∈ imA(t)}.
Đôi lúc ta bỏ biến t nếu không xảy ra sự hiểu nhầm. Mệnh đề 1.4.6. Các phát biểu sau đây là tương đương
(i) (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1,
(ii) Ma trận A(t) +B(t)Q(t) (hoặc A1(t)) khả nghịch với mọi t ∈ J,
(iv) Từ x ∈ kerA(t) và B(t)x ∈ imA(t) kéo theo x = 0.
Định nghĩa 1.4.7. Giả sử (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1. Khi đó phép chiếu lên kerA dọc S, ký hiệu Qcan, được gọi là phép chiếu chính tắc.
Ta cũng gọi Pcan := I −Qcan là phép chiếu chính tắc (dọc kerA).
Mệnh đề sau cho mối liên hệ giữa phép chiếu và hệ số của phương trình. Mệnh đề 1.4.8. Giả sử (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1. Khi đó với mọi phép chiếu trơn Q lên kerA ta có các đẳng thức sau
AP = A, AQ= 0, A−11A = P, A−11B0Q = Q,
QA−11B = QA−11B0 = Qcan.
Bây giờ, giả sử P là phép chiếu trơn dọc kerA. Lúc này (1.8) trở thành A(t)(P x)0(t) + B0(t)x(t) = f(t), t ∈ J. (1.9) Như vậy, nghiệm x của (1.8) không nhất thiết khả vi mà chỉ cần P x khả vi là đủ. Tức là x thuộc vào không gian
CA1(J) := {x ∈ C(J,Rn) : P x ∈ C1(J,Rn)}.
Không gian hàm này cũng như giá trị vế trái của phương trình (1.9) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu trơn P dọc kerA. Từ đây dẫn đến định nghĩa nghiệm cho (1.8) như sau.
Định nghĩa 1.4.9. Cho (1.8) là PTVPĐS với không gian kerA là trơn. Khi đó x ∈ CA1(J) được gọi là nghiệm của (1.8) trên J nếu (1.9) thỏa mãn trên J với P là phép chiếu trơn dọc kerA.
Sau đây ta phát biểu định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
Định lý 1.4.10. Cho (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1. Khi đó với mỗi x0 ∈
Rn, bài toán giá trị ban đầu
giải được duy nhất trên CA1(J). Nghiệm được xác định bởi hệ
u0(t) = (P0−P A−11B0)u(t) +P A−11f(t), u(0) = P(0)x0, (1.10) x(t) = Pcan(t)u(t) + QA−11f(t).
Hơn nữa, ta lại có u(t) =P(t)x(t).
Phương trình (1.10) được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng của phương trình vi phân đại số chỉ số 1 (1.8) (dưới phép chiếu P).
Nhận xét 1.4.11. Từ định lý trên ta có nhận xét:
(i) Không gian con imP(t) là bất biến cho phương trình vi phân thường tương ứng (1.10), tức là nếu u(0) ∈ imP(0) thì u(t) ∈ imP(t).
(ii) Giá trị ban đầu thích hợp cho (1.8) là
x0 := x(0) = Pcan(0)x0 +Q(0)A−11(0)f(0). Ta có P(0)x0 = P(0)x0 nhưng nói chung không có x0 = x0.
Bây giờ ta xét trường hợp (1.8) là thuần nhất
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0, t ∈ J. (1.11) Từ Định lý 1.4.10, nếu (1.11) có chỉ số 1 thì imPcan là không gian nghiệm của (1.11). Không gian này có chiều là r do dimimPcan = r.
Định nghĩa 1.4.12. Một ma trận hàm X(t) ∈ C(J,Rk×n), r ≤ k ≤ n, được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của PTVPĐS chỉ số 1 (1.11) nếu mỗi cột của nó là một nghiệm của (1.11) và rankX(t) = r với mọi t∈ J.
Một ma trận nghiệm cơ bản gọi là cực đại nếu k = n, gọi là cực tiểu nếu k = r.