nhiên Itô tuyến tính không ôtônôm
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không ôtônôm dx(t) =F0(t)x(t)dt+ m X j=1 Fj(t)x(t)dWtj, t ∈ R+, (1.6) trong đó Fj :R+ → Rn×n, j = 0, . . . , m, là các ma trận hàm liên tục bị chặn và Wt = (Wt1, . . . , Wtm)> là chuyển động Brown m−chiều trên không gian xác suất (Ω, F, P) đã cho, với lọc tự nhiên Ft = σ(Ws, s ≤ t).
Phương trình (1.6), trong trường hợp tổng quát không sinh ra hệ động lực ngẫu nhiên (do ma trận nghiệm cơ bản của nó không có tính cocycle), cho nên ta không áp dụng được lý thuyết của hệ động lực ngẫu nhiên. Nguyễn Đình Công [29] đã dựa vào lý thuyết số mũ Lyapunov cổ điển phát triển bởi Millionshchikov [60, 61, 62] và lý thuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bởi Kunita [52] để xây dựng lý thuyết phổ Lyapunov cho (1.6).
Trước hết ta định nghĩa dòng ngẫu nhiên hai tham số.
Định nghĩa 1.3.1 ([52]). Một dòng ngẫu nhiên hai tham số các vi phôi của Rn trên không gian xác suất (Ω, F, P) là họ các biến ngẫu nhiên {Φs,t(·)x : Ω → Rn/s, t ∈ R+, x ∈ Rn} sao cho tồn tại Ω0 ⊂ Ω, P(Ω0) = 1 để các tính chất sau đây thỏa mãn với mọi ω ∈ Ω0.
(i) ánh xạ (s, t, x) 7→Φs,t(ω)x là liên tục,
(ii) Φs,t(ω) = Φu,t◦Φs,u(ω) với mọi s, t, u ∈ R+, (iii) Φs,s(ω) là ánh xạ đồng nhất với mọi s ∈ R+,
(iv) ánh xạ Φs,t(ω) : Rn → Rn là một phép đồng phôi, với mọi s, t ∈ R+, (v) Φs,t(ω)x là khả vi ứng với x với mọi s, t ∈ R+ và đạo hàm là liên tục
theo (s, t, x).
Nếu thêm vào Φs,t(ω) : Rn → Rn là toán tử tuyến tính, thì ta có khái niệm dòng ngẫu nhiên hai tham số các toán tử tuyến tính của Rn.
Không mất tính tổng quát, khi nói đến dòng ngẫu nhiên hai tham số các vi phôi của Rn, ta sẽ giả sử các tính chất trong Định nghĩa 1.3.1 thỏa mãn với mọi ω ∈ Ω và chỉ viết Φs,t(ω).
Theo Kunita [52], phương trình (1.6) sinh ra dòng ngẫu nhiên hai tham số {Φs,t(ω), 0 ≤ s ≤ t} các tuyến tử tuyến tính của Rn. Ngoài ra, dòng ngẫu nhiên hai tham số này còn có gia số độc lập và Φs,t(ω) là Fst−đo được, trong đó Fst được định nghĩa như trong Mệnh đề 1.2.3. Mỗi nghiệm x(t) của (1.6), với điều kiện ban đầu x(s) = x0 ∈ Rn, được cho bởi công thức
x(t) = Φs,t(ω)x0.
Trong mục này, chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm và kết quả mà Nguyễn Đình Công đã đưa ra và thu được trong [29].
Định nghĩa 1.3.2 ([29]). Giả sử Φs,t(ω) là dòng ngẫu nhiên hai tham số các toán tử tuyến tính của Rn. Khi đó các số thực mở rộng
λk(ω) := inf V∈Gn−k+1sup x∈V lim sup t→∞ 1 t logkΦ0,t(ω)xk, k = 1, ..., n,
trong đó Gk là đa tạp Grassmann gồm các không gian con k−chiều của Rn, được gọi là các số mũ Lyapunov của dòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω). Tập hợp {λ1(ω), . . . , λn(ω)} được gọi là phổ Lyapunov của dòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω).
Số mũ Lyapunov và phổ Lyapunov của (1.6) được định nghĩa là số mũ Lyapunov và phổ Lyapunov của dòng ngẫu nhiên hai tham số sinh bởi (1.6). Dựa vào tính khả nghịch và gia số độc lập của dòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω), Nguyễn Đình Công [29] đã chứng minh định lý sau.
Định lý 1.3.3. Phổ Lyapunov của (1.6) là tập các số không ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.3.4 ([29]). Giả sử {λ1(ω), . . . , λn(ω)} là phổ Lyapunov của dòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω). Khi đó R¯−biến ngẫu nhiên không âm
σ(ω) := n X k=1 λk(ω)−lim inf t→∞ 1 t logkdet Φ0,t(ω)k
được gọi là hệ số không chính qui của dòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω).
Hệ số không chính qui của phương trình (1.6) được định nghĩa là hệ số không chính qui của dòng ngẫu nhiên hai tham số sinh bởi (1.6).
PTVPNN (1.6) được gọi là chính qui Lyapunov nếu hệ số không chính qui của nó bằng không.
Xét PTVPNN liên hợp của (1.6): dy(t) = (−F0∗(t) + m X j=1 Fj∗2(t))y(t)dt− m X j=1 Fj∗(t)y(t)dWt. (1.7) Ta có định lý sau.
Định lý 1.3.5 ([29], Stochastic Perron Theorem). Giả sử λ1 ≥ · · · ≥ λn và β1 ≥ · · · ≥ βn tương ứng là phổ Lyapunov của (1.6) và (1.7). Khi đó (1.6) là chính qui Lyapunov nếu và chỉ nếu αi+ βn−i+1 = 0 với mọi i = 1, . . . , n.
Hệ quả 1.3.6 ([29]). PTVPNN (1.6) là chính qui Lyapunov nếu và chỉ nếu phương trình liên hợp (1.7) là chính qui Lyapunov.
Mệnh đề 1.3.7 ([29]). Nếu PTVPNN (1.6) là chính qui Lyapunov thì mọi nghiệm của nó có số mũ Lyapunov đúng.