Xử lý số tớn hiệu tương tự lă xử lý tớn hiệu tương tự bằng hệ thống số. Để thực hiện việc năy, ta cần phải biến đổi tớn hiệu tương tự thănh tớn hiệu số vă sau khi xử lý dóy kết quả cú thể được phục hồi trở thănh tớn hiệu tương tự. Vớ dụ như trường hợp xử lý tớn hiệu thoại. Trong nhiều trường hợp, mục tiờu của việc xử lý lă trớch lấy cỏc tham số của tớn hiệu hay cỏc thụng tin cần thiết từ tớn hiệu. Khi đú, khụng cần chuyển đổi tớn hiệu trở về dạng tương tự. Vớ dụ : Xử lý tớnh hiệu radar hoặc sonar. Hệ thống xử lý số tớn hiệu tương tự được trỡnh băy trong hỡnh 1.12.
1.7.2.1. Biến đổi A/D (Analog-to-Digital Conversion)
Biến đổi A/D lă biến đổi tớn hiệu tương tự thănh tớn hiệu số. Biến đổi A/D cú sơ đồ khối như sau:
Hỡnh 1.11- Cỏc hệ thống xử lý tớn hiệu
Hỡnh 1.12 - Hệ thống xử lý số tớn hiệu tương tự
Lấy mẫu vă giải mẫu (Sampling and hold)
Lấy mẫu lă quỏ trỡnh biến đổi liờn tục(tương tự) sang tớn hiệu rời rạc. Cú nhiều cỏch để lấy mẫu một tớn hiệu liờn tục. Trong đú, thụng dụng nhất lă cỏch lấy mẫu tuần hoăn (periodic sampling), cũn gọi lă lấy mẫu đều (uniform sampling). Đú lă cỏch lấy những mẫu biờn độỹ tớn hiệu liờn tục tại những thời điểm rời rạc cỏch đều nhau một khoảng thời gian TS, mă ta gọi lă chu kỳ lấy mẫu. Nếu xa(t) lă tớn hiệu tương tự ở ngừ văo bộ lấy mẫu thỡ tớn hiệu rời rạc ở ngó ra của bộ lấy mẫu lă xa(nTS) (Gọi tắt lă tớn hiệu lấy mẫu), n lă số nguyờn. Mụ hỡnh vật lý của bộ lấy mẫu được minh họa trong hỡnh 1.14.
Trong đú, bộ phận lấy mẫu được mụ tả như lă một bộ khúa được điều khiển đúng mở bởi tớn hiệu xung đồng hồ Ck cú tần số lă FS= 1/TS. Để xử lý bằng kỹ thuật số hoặc bằng mỏy tớnh, thụng thường tớn hiệu rời rạc cần phải được lượng tử húa để cú thể biểu diễn biờn độ của cỏc mẫu bằng một tập hữu hạn cỏc mó nhị phõn. Tuy nhiờn, việc lượng tử húa vă mó húa khụng thể thực hiện tức thời. Thụng thường, tiến trỡnh lượng tử húa vă mó húa một mẫu được thực hiện trong khoảng thời gian TS. Vỡ vậy, giỏ trị của của một mẫu phải được duy trỡ trong thời gian TS. Đõy lă chức năng của bộ giữa mẫu. Bộ giữa mẫu tiờu biểu lă Zero-order-
hold. Bộ lấy mẫu vă giữ mẫu kiểu zero-order-hlod năy tương đương với một bộ điều chế dóy
xung chữ nhật theo sau bởi một bộ lọc tuyến tớnh, mă tớn hiệu ở ngó ra của nú (Gọi tắt lă tớn hiệu giữ mẫu) cú dạng bậc thang hỡnh 1.15.
Hỡnh 1.13 – Cỏc thănh phần của bộ biến đổi A/D giữ mẫu Tớn hiệu rời rạc Cú tần số Fs=1/Ts Tớn hiệu liờn tục dạng bậc thang Tớn hiệu tương tự
Lượng tử húa vă mó húa (Quantizer and Coder)
Đõy lă bộ biến đổi tớn hiệu rời rạc sang tớn hiệu số cú biờn độ được biểu diễn bằng cỏc mó nhị phõn. Giỏ trị mỗi mẫu của tớn hiệu lấy mẫu được gỏn bởi một giỏ trị được lựa chọn từ một tập hữu hạn cỏc gớa trị. Trong tiến trỡnh mó húa, mỗi giỏ trị rời rạc được gỏn bởi một mó nhị phõn m bit, tương ứng cú 2m mức lượng tử. Nếu biờn độ của tớn hiệu lấy mẫu được chuẩn húa trong khoảng -X0≤ x(n) ≤ X0thỡ bước lượng tử húa (khoảng cỏch giữa hai mức lượng tử kề nhau) sẽ lă:
∆ = 2X0/2m = X0/2m - 1 (1.86)
Vớ dụ1.19: Với X0 = 1volt vă m =3 bit, ta cú 8 mức lượng tử vă:
∆ = 1/4 = 0,25 volt
Cỏc mức lượng tử cú thể được mó húa theo hai loại mó nhị phõn: Two’s -complement code vă Offset binary code như sau:
Giỏ trị của cỏc
mức lượng tử -complement codeTwo’s Offset binary code
0.75 011 111 0.50 010 110 0,25 001 101 0 000 100 -0,25 111 011 -0,50 110 010 -0,75 101 001 -1 100 000
Độ sai biệt giữa những mẫu x(n) của tớn hiệu rời rạc chưa được lượng tử húa vă tớn hiệu lượng tử húa xq(n) gọi lă sai số lượng tử (quantization eror). Số bớt mó húa căng lớn thỡ số mức lượng tử căng nhiều, sai số lượng tử căng nhỏ.
1.7.2.2. Biến đổi D/A (Digital to Analog Conversion)
Hỡnh 1.15 – Tớn hiệu liờn tục, tớn hiệu lấy mẫu, tớn hiệu giữ mẫu vă 8 mức lượng tử,
Trong nhiều ứng dụng thực tế, tớn hiệu số sau khi được xử lý cần phải được phục hồi lại thănh tớn hiệu tương tự. Để hồi lăm việc năy, ta cần cú bộ biến đổi số sang tương tự (D/A converter).
Nguyờn tắc chung của biến đổi D/A lă nối cỏc điểm rời rạc bằng một phương phỏp nội suy (Interpolation) năo đú. Hỡnh 1.16 trỡnh băy một kiểu biến đổi D/A đơn giản, kiểu xấp xỉ bậc thang (staircase approximation), cũn được gọi lă zero-order hold.
Cú nhiều kiểu biến đổi D/A khỏc, như: nội suy tuyến tớnh (linear interpolation), nội suy bậc hai (quadratic interpolation),.... Với một tớn hiệu cú băng tần hữu hạn, lý thuyết lấy mẫu sẽ xỏc định một hỡnh thức nội suy tối ưu.
1.7.2.3. Hiện tượng hư danh (Aliasing)
Để minh họa, ta xột 2 tớn hiệu tương tự hỡnh sin lần lượt cú tần số lă F1 = 10 Hz vă F2 = 50 Hz như sau:
x1(t) = cos2π(10)t vă x2(t) = cos2π (50)t (1.87)
Hai tớn hiệu năy cựng được lấy mẫu với tần số FS =40 Hz. Cỏc tớn hiệu rời rạc tương ứng lă:
x1(n) = cos2π(10)(n/40) = cos(π/2)n
x2(n) = cos2π(50)(n/40) = cos(5π/2)n (1.88)
Tuy nhiờn, vỡ cos(5π/2)n = cos(2πn + πn/2) = cosπn/2, nờn x1(n) = x2(n). Vậy, hai tớn hiệu rời rạc hỡnh sin được lấy mẫu từ hai tớn hiệu liờn tục đó cho lă khụng thể phõn biệt được. Điều năy cú nghĩa lă, khi phục hồi tớn hiệu tương tự từ tớn hiệu rời rạc cos(π/2)n, ta khụng thể biết tớn hiệu tương tự được khụi phục lă x1(t) hay x2(t). Vỡ x2(t) cho một kết quả lấy mẫu đỳng như của x1(t) ở tần số lấy mẫu FS = 40 samples/second (sự trựng mẫu), ta núi thănh phần tần số F2=50Hz lă một hư danh (alias) của thănh phần tần số F1=10Hz ở tần số lấy mẫu 40 samples/second.
Thật ra, khụng chỉ cú thănh phần F2 lă hư danh của F1 mă cỏc thănh phần tần số Fk = (F1
+ 40k) cũng lă hư danh của F1 , với k lă một số nguyờn. Thật vậy, ta xột tớn hiệu tương tự cú tần số Fk lă:
x2(t) = cos2πFkt = cos2π(F1+40k)t (1.89) Tớn hiệu lấy mẫu của nú với cựng tốc độ FS = 40Hz lă:
xk(n) = cos2π(F1+ 40k)(n/40) = cos(2πkn + πn/2)= cosπn/2 = x1(n)
Một vớ dụ về hiện tượng hư danh được minh họa trong hỡnh 1.17. Trong đú, 2 tớn hiệu tương tự hỡnh sin cú tần số lần lượt lă F1 = 1/8Hz vă Fk = -7/8 Hz cú cỏc mẫu đồng dạng khi
được lấy mẫu ở tần số FS = 1Hz. Từ pt(1.89), ta thấy, với k = -1 thỡ F1 = Fk + FS = (-7/8 + 1) Hz = 1/8Hz.
1.7.2.4. Định lý lấy mẫu:
Cho một tớn hiệu tương tự bất kỳ, vấn đề lă chọn chu kỳ lấy mẫu TS hay tần số lấy mẫu FS như thế năo cho hợp lý? Xu hướng chung lă chọn tần số lấy mẫu thấp, bởi vỡ tần số lấy mẫu cao sẽ lăm tăng số mẫu, từ đú lượng phộp tớnh trong quỏ trỡnh xử lý tớn hiệu sẽ tăng lờn, kộo dăi thời gian xử lý, đồng thời lượng bộ nhớ cần thiết cũng tăng theo. Tuy nhiờn, nếu tần số lấy mẫu quỏ thấp sẽ xóy ra hiện tượng biệt d../Anh, khụng thể khụi phục lại tớn hiệu tương tự một cỏch chớnh xỏc. Chỳng ta sẽ trở lại vấn đề năy trong chương 3, khi phõn tớch tớn hiệu trong miền tần số, từ đú chứng minh định lý lấy mẫu, mă ta sẽ phỏt biểu sau đõy.
Tớn hiệu liờn tục trong thực tế cú độ dăi hữu hạn (tồn tại trong một khoảng thời gian hữu hạn) lă tổ hợp tuyến tớnh của nhiều thănh phần hỡnh sin. Ta xột cỏc tớn hiệu cú băng tần hữu hạn, nghĩa lă tần số cao nhất trong băng tần cú thể xỏc định. Vớ dụ: tớn hiệu thoại cú cỏc thănh phần tần số từ văi trăm Hz đến 3KHz, tớn hiệu hỡnh cú tần số cao nhất lă 6MHz.
Nếu ta biết thănh phần tần số cao nhất Fmax, ta cú thể chọn tần số lấy mẫu thớch hợp. Định lấy lấy mẫu được phỏt biểu như sau:
Định lý : Nếu tần số cao nhất chứa trong một tớn hiệu tương tự xa(t) lă Fmax thỡ tớn
hiệu chỉ cú thể được khụi phục một cỏch chớnh xỏc từ cỏc mẫu của nú nếu tần số lấy mẫu FS ≥ 2Fmax,.
Để cho gọn, ta đặt Fmax = B. Định lý trờn cũng chỉ ra rằng xa(t) cú thể được khụi phục từ cỏc mẫu xa(nTS) bằng cỏch dựng hăm nội suy:
Bt Bt t g π π 2 2 sin ) ( = (1.90) vă xa(t) được xỏc định bởi biểu thức :
∑∞ −∞ = − = n s s a a F n t g F n x t x ( ) ( ) (1.91)
ở đõy xa(n/FS) = xa(nTS) = x(n) lă cỏc mẫu của xa(t). Nếu tần số lấy mẫu FS=2Fmax=2B, thỡ cụng thức khụi phục (1.91) trở thănh: ∑∞ −∞ = − − = n a a Bt n B B n t B B n x t x ) 2 / ( 2 ) 2 / ( 2 sin 2 ) ( π π (1.92) Hỡnh 1.17 – minh hoạ aliasing
Tần số lấy mẫu FS =2B = 2Fmax được gọi lă tần số Nyquist. Hỡnh 1.18 minh họa một
cỏch biến đổi A/D lý tưởng dựng hăm nội suy (1.90).
Trong sơ đồ hỡnh 1.12, mạch lọc trước cú tỏc dụng chống hiện tượng hư danh. Đõy lă một mạch lọc thụng thấp cú chức năng lọc bỏ cỏc thănh phần tần số cao hơn FS/2, trong trường hợp phổ tần của tớn hiệu vượt quỏ khả năng của bộ lấy mẫu (khi đú ta phải chấp nhận kết quả gần đỳng của tớn hiệu ra). Ngay cả khi thănh phần tần số cao nhất của tớn hiệu nhỏ hơn FS/2, nhiểu ở tần số cao cũng gõy ra hiện tượng hư danh vă cần phải lọc bỏ.
Mạch lọc sau sơ đồ trong hỡnh 1.12 cũng lă một mạch lọc thụng thấp. Nú cú chức năng lăm trơn (smoothing) để sửa dạng tớn hiệu tương tự thu được ở ngó ra chớnh xỏc hơn.
Hỡnh 1.18 – Minh hoạ phộp nội suy theo pt (1.92) của định lý lấy mẫu
BĂI TẬP CHƯƠNG 1
1.1. Xột một hệ thống tuyến tớnh bất kỳ với kớch thớch lă x(n) vă đỏp ứng lă y(n). Hóy chứng minh rằng, nếu x(n) = 0 với một giỏ trị n năo đú thỡ y(n) = 0.
1.2. Hóy xỏc định cỏc hệ thống được cho cú cỏc tớnh chất sau đõy hay khụng: ổn định; nhõn quả; tuyến tớnh; bất biến theo thời gian; khụng nhớ.
1.3. Hệ thống L được biết lă cú tớnh chất tuyến tớnh vă cú đỏp ứng y1(n), y2(n), y3(n) tương ứng với cỏc tớn hiệu văo x1(n), x2(n),x3(n) như sau:
a) Tỡm đỏp ứng xung h(n) của hệ thống. b) L cú bất biến theo thời gian hay khụng?
1.4. Cho cỏc cặp dóy x(n) vă h(n). Hóy tỡm đỏp ứng y(n) trong từng trường hợp sau:
1.5. Đỏp ứng xung của một hệ thống LTI cú giỏ trị bằng 0 ngoăi khoảng N0 ≤ n ≤ N1. Tớnh hiệu văo x(n) cú giỏ trị bằng 0 ngoăi khoảng N2≤ n ≤ N3. Kết quả lă tớn hiệu ra y(n) bằng 0 ngoăi khoảng N4 ≤n ≤ N5. Hóy xỏc định N4 vă N5 theo N0, N1, N2 vă N3.
1.6. Tớnh vă vẽ đồ thị đỏp ứng xung của hệ thống cú quan hệ văo ra như sau:
1.7. Xỏc định đỏp ứng bước (kớch thớch lă u(n)) của hệ thống cú đỏp xung h(n) = anu(n). 1.8. Cho một hệ thống LTI cú đỏp ứng xung như sau:
Hóy dựng đồ thị để xỏc định đỏp ứng của hệ thống đối với tớn hiệu văo lă x(n)=u(n) - u(n-4).
1.9. Xột một hệ thống LTI cú đỏp ứng xung lă h(n). Nếu dóy văo tuần hoăn với chu kỳ N. Hóy chứng tỏ rằng tớn hiệu ra y(n) cũng lă một dóy tuần hoăn với chu kỳ N.
1.10. Xột một hệ thống cú kớch thớch vă đỏp ứng thỏa món LCCDE: y(n)=n.y(n-1) + x(n)
Được biết hệ thống cú tớnh nhõn quả vă thỏa món điều kiện nghỉ. a) Xỏc định đỏp ứng xung của hệ thống.
b) Hệ thống cú tuyến tớnh hay khụng? Chứng minh. c) Hệ thống cú bất biến theo thời gian hay khụng? 1.11. Xột tớn hiệu tương tự: xa(t)=3.cos(100.π.t)
a) Xỏc định tần số lấy mẫu nhỏ nhất để trỏnh hiện tượng biệt d../Anh.
b) Giả sử tớn hiệu được lấy mẫu ở tần số FS=200 Hz (sample/second). Xỏc định tớn hiệu rời rạc thu được sau khi lấy mẫu?
c) Gỉa sử tớn hiệu được lấy mẫu ở tần số FS=75 Hz. Xỏc định tớn hiệu rời rạc thu được sau khi lấy mẫu?
d) Xỏc định tần số F<FS/2 (FS = 75Hz) của tớn hiệu sin mă kết quả lấy mẫu đồng dạng với kết quả thu được ở cõu c).
1.12. Xột tớn hiệu tương tự xa(t)=3.cos(50.π.t)+ 10.sin(300.π.t)- cos(100. π.t). Xỏc định tần số Nyquist của tớn hiệu năy.
1.13. Cho cỏc dóy sau đõy:
x(n) = u(n) - u(n-5)
y(n) = (1/2)nu(n) - (1/2)nu(n-4)
s(n) = (-1/2)nu(n) - (-1/2)nu(n-4)
Hóy tớnh tương quan chộo cho từng cặp dóy vă tớnh tụ tương quan của cỏc dóy năy. Nhận xột.
1.14. Cho cỏc hệ thống con cú đỏp ứng xung h1(n), h2(n) vă h3(n) được liờn kết như sau :
Cho biết h2(n) = u(n) – u(n – 3);
h3(n) = δ(n) + 4δ(n-1) - δ(n-2).
Tớnh đỏp ứng xung h(n) của hệ thống tương đương .
1.15. Lập lưu đồ thuật toỏn vă viết chương trỡnh (Pascal, Matlab,...) tớnh tổng chập của hai dóy cú độ dăi hữu hạn.
1.16. Lập lưu đồ thuật toỏn vă viết chương trỡnh tớnh đỏp ứng của một hệ thống đệ qui. 1.17. Lập lưu đồ thuật toỏn vă viết chương trỡnh tớnh đỏp ứng của hệ thống khụng đệ qui.
1.18. Lập lưu đồ thuật toỏn vă viết chương trỡnh tớnh tương quan chộo của hai dóy cú độ dăi hữu hạn.
1.19. Lập lưu đồ thuật toỏn vă viết chương trỡnh tớnh tự tương quan của hai dóy cú độ dăi hữu hạn.
CHƯƠNG II
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VĂ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 MỞ ĐẦU:
Chương 1 đó trỡnh băy cỏch tớnh đỏp ứng của một hệ thống trực tiếp từ đỏp ứng xung của nú, bằng cỏch tớnh tổng chập của kớch thớch với đỏp ứng xung. Cỏch tớnh tổng chập trực tiếp dựa văo cụng thức định nghĩa như đó lăm tốn rất nhiều thời gian vă cụng sức. Hơn nữa , trong thực tế số mẫu khỏc khụng của kớch thớch vă đỏp ứng xung lă rất nhiều nờn ta khụng thể ‘tớnh bằng tay’. Tuy nhiờn, phương phỏp tớnh tổng chập bằng đồ thị như đó trỡnh băy cho ta một thuật toỏn của chương trỡnh tớnh tổng chập bằng mỏy tớnh. Việc giải phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh hệ số hằng bằng phương phỏp đệ qui cũng chỉ cú ý nghĩa khi sử dụng mỏy tớnh.
Kỹ thuật biến đổi lă một cụng cụ hữu hiệu để phõn tớch hệ thống LTI. Biến đổi Z đối với tớn hiệu rời rạc cú vai trũ tương tự như biến đổi Laplace đối với tớn hiệu liờn tục, vă chỳng cú quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng chập của hai dóy trong miền thời gian sẽ biến thănh tớch của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z. Tớnh chất năy sẽ lăm đơn giản húa việc tớnh đỏp ứng của hệ thống với cỏc tớn hiệu văo khỏc nhau. Phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh hệ số hằng cũng được giải một cỏch dễ dăng hơn khi dựng cụng cụ biến đổi Z.
Như ta sẽ thấy trong cỏc chương sau, biến đổi Fourier giữa vai trũ chỡa khúa trong trong việc biểu diễn vă phõn tớch cỏc hệ thống rời rạc. Tuy nhiờn, trong một số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quỏt húa của biến đổi Fourier, đú lă biến đổi Z.
2.2 CÂC KHÂI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z.2.2.1. Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM): 2.2.1. Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM):
Biến đổi z của một dóy x(n) được định nghĩa như lă chuỗi lũy thừa:
∑∞ −∞ = − = n n Z n x Z X( ) ( ) (2.1) , với z lă một biến phức.
Ta cú thể coi biến đổi Z như lă một toỏn tử (operator) mă nú biến một dóy thănh một hăm, ký hiệu Z |.|, ta viết lại:
ZT [x(n) ] = X(z) (2.2) hay: x(n)----Z----> X(z) (2.3)
Biến đổi Z được định nghĩa bởi pt (2.1) được gọi lă biến đổi Z hai phớa (bilateral Z- transform) do biến n chạy từ -∞ đến ∞. Biến đổi Z một phớa (unilateral Z-transform) được định nghĩa như sau:
∑=∞ = − =n n n Z n x z X 0 ) ( ) ( (2.4)
trong trường hợp năy biến n chạy từ 0 đến ∞.
Ta thấy biến đổi Z hai phớa vă một phớa chỉ bằng nhau khi x(n) = 0 với mọi n ≤ 0 (x(n) lă dóy nhõn quả). Trong tăi liệu năy, khi núi đến biến đổi Z mă khụng xỏc định rừ lă một phớa hay hai phớa, thỡ ta ngầm hiểu rằng đú lă biến đổi Z hai phớa.