Tớn hiệu hỡnh sin vă tớn hiệu hăm mũ phức (điều hũa phức) đúng vai trũ quan trọng trong việc phõn tớch tớn hiệu vă hệ thống. Trong nhiều trường hợp, ta xử lý với một tập hợp cỏc tớn hiệu hăm mũ phức (hay tớn hiệu hỡnh sin) cú quan hệ hăi. Đú lă cỏc tập cỏc hăm mũ
phức tuần hoăn cú tần số lă bội số của cựng một tần số dương. Mặc dự ta đó khụng đề cập nhiều đến tớn hiệu hăm mũ phức, nhưng rừ răng chỳng thỏa món tất cả cỏc tớnh chất của tớn hiệu hỡnh sin. Ta sẽ xột tớn hiệu hăm mũ phức cú quan hệ hăi trong cả hai trường hợp liờn tục vă rời rạc theo thời gian.
1/. Tớn hiệu hăm mũ liờn tục
Cỏc tớn hiệu hăm mũ phức cú quan hệ hăi liờn tục theo thời gian cú dạng cơ bản lă:
Chỳ ý rằng, với mỗi giỏ trị của k, sk(t) lă một tớn hiệu tuần hoăn cú chu kỳ cơ bản lă 1/ (kF0) = Tp/k hay tần số cơ bản lă kF0. Vỡ một tớn hiệu tuần hoăn với chu kỳ Tp/k thỡ cũng tuần hoăn với chu kỳ k(Tp/k) = Tp , với k lă một số nguyờn dương bất kỳ, nờn tất cả cỏc tớn hiệu sk(t) đều cú một chu kỳ cơ bản chung Tp. Hơn nữa, với tớn hiệu tuần hoăn liờn tục, tần số F0 cú thể lấy giỏ trị bất kỳ vă tất cả cỏc thănh viờn trong tập sk(t) lă phõn biệt với nhau, nghĩa lă, nếu k1 ≠ k2 thỡ sk1(t)≠ sk2(t).
Từ cỏc tớn hiệu cơ bản ở pt(3.22), ta cú thể xõy đựng một tổ hợp tuyến tớnh cỏc hăm mũ phức cú quan hệ hăi dưới dạng:
xa (t)= ∑∞ ∑ Ω −∞ → = ik t k k k ks t c e c ( ) 0 (3.23) với ck lă một hằng số phức bất kỳ. Tớn hiệu sa(t) cũng lă một tớn hiệu tuần hoăn cú chu kỳ cơ bản lă Tp =1/F0 vă tổng trong pt(1.23) gọi lă chuỗi Fourier của xa(t). Cỏc hằng phức ck được gọi lă cỏc hệ số của chuỗi Fourier vă cỏc tớn hiệu sk(t) được gọi lă hăi thứ k của xa(t).
2/. Tớnh hiệu hăm mũ rời rạc
Vỡ tớn hiệu hăm mũ phức rời rạc lă tuần hoăn khi tần số f lă một số hữu tỉ, ta chọn f0
=1/N vă định nghĩa một tập cỏc hăm mũ phức cú quan hệ hăi như sau: Sk(n)=ej2πkfon, với k = 0,±1,±2,±3,....(3.24)
Ngược lại với tớn hiệu liờn tục theo thời gian, ta chỳ ý rằng: S (n) ej2 (k N)f N ej2 nSk(n) Sk(n)
N
k = + o = =
+ π π
Điều năy cú nghĩa lă chỉ cú N hăm mũ phức tuần hoăn phõn biệt trong tập cỏc hăm mũ phức được mụ tả bởi pt(3.24) Hơn nữa, tất cả cỏc thănh viờn trong tập nầy cú một chu kỳ chung lă N samples. Rừ răng, ta cú thể chọn N hăm mũ phức bất kỳ liờn tiếp nhau (nghĩa lă từ k = n0 đến k = n0 + N – 1) để thănh lập một tập cỏc quan hệ hăi với tần số cơ bản lă f0 = 1/N. Thụng thường, để thuận tiện, ta chọn tập năy tương ứng với n0 = 0, ta cú:
j knfN k n e
S ( )= 2π , với k= 0,±1, ±2, ±3,…… (3.25)
Như trong trường hợp tớn hiệu liờn tục, rừ răng, tổ hợp tuyến tớnh được thănh lập như sau: x(n) = ∑− ∑− = = 1 2 / 1 0 ) ( N i kn N k N k k ks n c e c π (3.26)
cũng lă một tớn hiệu tuần hoăn với chu kỳ cơ bản lă N. Như chỳng ta sẽ thấy trong cỏc chương sau, tổng trong pt(3.26) lă chuỗi Fourier của tớn hiệu rời rạc tuần hoăn theo thời gian với {ck} lă cỏc hệ số Fourier. Dóy sk(n) được gọi lă hăi thứ k của x(n).