Lý huyết
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm M x( M;y zM M ) và cú vecto phỏp tuyến nr =(A B C; ; ).
PTTQ của mp là A x x( − M) +B y y( − M) +C z z( − M) =0
Một số dấu hiệu:
- Mặt phẳng ( )P vuụng gúc với đường thẳng ABá hoặc đường thẳng ( )d . Khi đú vecto uuurAB
hoặc vecto chỉ phương uuurd
của ( )d là vecto phỏp tuyến của mp( )P .
- Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q , khi đú vecto phỏp tuyến
Q
n
uur
của mp( )Q cũng là vecto phỏp tuyến của mp( )P .
Vớ dụ 1: Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng ( )P đi qua điểm
(1;2; 3)
A − và :
a) vuụng gúc với đường thẳng ( ): 1 2
2 1 3
x y z
d − = = +
−
b) song song với mặt phẳng ( )Q x y: − −3z=0
c) vuụng gúc với đường thẳng AB với A(0;1;1), B(−1;2;0)
Lời giải:
a) Đ/thẳng ( )d cú vecto chỉ phương ur =(2; 1;3− ).
Mặt khỏc ( )P đi qua điểm A(1;2; 3− ) . • Vậy p/trỡnh tổng quỏt của ( )P :
( ) ( ) ( ) ( ( ))
2 x− + −1 1 y− +2 3 z− −3 =0
Hay 2x y− +3z+ =9 0
b) • ( ) ( )P || Q nờn vecto phỏp tuyến của ( )Q , nr = − −(1; 1; 3) cũng là vecto phỏp tuyến của ( )P .
• Mặt khỏc ( )P đi qua điểm A(1;2; 3− ) . • Vậy p/trỡnh tổng quỏt của ( )P :
( ) ( ) ( ( ))
1 x− −1 1 y− −2 3 z− −3 =0
Hay x y− − − =3z 8 0
c) ( )P ⊥ AB nờn ( )P nhận uuurAB= −( 1;1; 1− ) làm vecto phỏp tuyến Mặt khỏc ( )P đi qua điểm A(1;2; 3− ) .
• Vậy p/trỡnh tổng quỏt của ( )P :
( ) ( ) ( ( ))
1 x 1 1 y 2 1 z 3 0
− − + − − − − =
Hay − + − − =x y z 4 0 ⇔ − + + =x y z 4 0
Dạng 2: Mặt phẳng ( )P xỏc định bởi hai vecto ur , vr
khụng cựng phương và cú giỏ song song hoặc nằm trờn ( )P . {ễn thi ĐH-CĐ}
Cỏch giải:
Vectơ phỏp tuyến của ( )P là nr = u vr r, , tớch cú hướng của hai vectơ ur ,
v
r .
Một số dấu hiệu thường gặp:
- Mp( )P song song với hai đường thẳng ( ) ( )d1 , d2 khụng cựng phương. - Mp( )P vuụng gúc với hai mặt phẳng ( ) ( )α β, khụng song song.
Bài tập:
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giỏc ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1).
1) Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng BC.
2) Tỡm toạ độ điểm D sao cho tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành.
Cõu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giỏc ABC vuụng. Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao choMBuuur= −2MCuuuur. Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng BC.
Cõu 3 2 (Đề TN 2009, Ban KHTN): Trong khụng gian Oxyz, cho điểm
A(1; – 2; 3) và đường thẳng d cú pt : x 1 y 2 z 3
2 1 1
+ = - = +
-
1) Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng đi qua điểm A và vuụng gúc với đường thẳng d.
2) Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A, tiếp xỳc với d.