Hỡnh thức trong dạy học giải bài tập Toỏn ở trường Phổ thụng.
Trờn cơ sở lớ luận ở Chương I, trong Chương này chỳng tụi đề xuất cỏc hướng khai thỏc cặp phạm trự Nội dung – Hỡnh thức trong dạy học giải bài tập Toỏn ở trường phổ thụng.
2.1. Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toỏn.
Trong tự nhiờn và xó hội, cỏc sự vật cú mối quan hệ với nhau và trong những điều kiện nào đú chỳng cú thể chuyển hoỏ qua nhau. Trong lĩnh vực toỏn học cũng vậy, cú nhiều loại bài toỏn cú thể chuyển hoỏ lẫn nhau. Mối quan hệ giữa chỳng trong điều kiện nào đú cho phộp ta chuyển từ việc giải bài toỏn này qua giải bài toỏn khác thuận lợi cho việc huy động kiến thức trong quỏ trỡnh giải bài tập toỏn. Để gúp phần nõng cao hiệu quả dạy học giải bài tập toỏn ở trường phổ thụng giỏo viờn cần quan tõm bồi dưỡng cho học sinh khả năng thay đổi cỏch diễn đạt lại nội dung bài toỏn, thay đổi cỏch biểu thị cỏc mối liờn quan giữa cỏc dữ kiện của bài
toỏn. Đú cũng là một cỏch thay thế bài toỏn đó cho bằng một bài toỏn tương đương với nú, nhưng đơn giản hơn hoặc quen thuộc với học sinh hơn.
2.1.1. Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoỏ bài toỏn.
Trong Toỏn học cú nhiều loại toỏn liờn quan với nhau. Mối liờn hệ giữa chỳng trong những điều kiện nào đú cho phộp ta chuyển việc giải bài toỏn này sang giải bài toỏn khỏc (với nội dung khỏc) mà phương phỏp giải dễ xỏc định hơn. Chẳng hạn:
- Chuyển bài toỏn chứng minh bất đẳng thức thành bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất (GTLN), giỏ trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số và ngược lại;
- Chuyển bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số về bài toỏn tỡm miền giỏ trị của hàm số;
- Chuyển bài toỏn chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trỡnh, nghiờn cứu cỏc phương trỡnh về việc xỏc định tớnh chất của hàm số;
- Chuyển việc tớnh giỏ trị của một biểu thức lượng giỏc về việc lập phương trỡnh lượng giỏc;
- …
Vớ dụ 1: (Chuyển bài toỏn chứng minh bất đẳng thức thành bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của hàm số). Chứng minh bất đẳng thức sau đỳng với mọi x:
x5 + (1 − x)5≥ 161 (1)
Nhận xột: Bất đẳng thức (1) đỳng với mọi x nếu ta chứng minh được hàm số y = x5
+ (1 − x)5 cú giỏ trị nhỏ nhất là 1
16. Như vậy ta đó chuyển bài toỏn chứng minh bất đẳng thức thành bài toỏn tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số (chỳ ý rằng bài toỏn được thay thế là bài toỏn điều kiện đủ của bài toỏn đó cho). Ta sẽ dựng cụng cụ đạo hàm để giải bài toỏn thay thế như sau:
Ta cú: y’ = 5x4 − 5(1 − x)4 = 5(2x2 – 2x + 1)(2x − 1) nờn y’ = 0 ⇔ x = 1
2. Việc tỡm giỏ trị nhỏ nhất của y được thể hiện ở bảng sau đõy:
x −∞ 12 +∞
y’ − 0 + y
Căn cứ vào bảng ta được kết quả ymin = y 1
2 ữ = 1 16.
Vớ dụ 2 : (Chuyển bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số về bài toỏn chứng minh bất đẳng thức). Chứng minh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x, y) = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3 bằng 0.
P(x, y) là đa thức hai biến số. Bài toỏn cực trị của hàm hai biến số khỏ phức tạp và vượt ngoài chương trỡnh phổ thụng. Nhưng học sinh cú thể chuyển dổi từ bài toỏn giỏ trị lớn nhất giỏ trị nhỏ nhất thành một bài toỏn bất đẳng thức.
Theo yờu cầu bài toỏn ta cần chứng minh: P(x, y)min = 0
Từ định nghĩa giỏ trị lớn nhất - nhỏ nhất, yờu cầu bài toỏn đú cú thể phỏt biểu dưới dạng:
Chứng minh rằng với mọi x, y thỡ P(x,y) ≥ 0 và tồn tại cặp (xo; yo) để đẳng thức xảy ra.
Như vậy bài toỏn đó cho được chuyển: P(x, y) ≥ 0 ⇔ x2 + (y – 3)x + y2 – 3y + 3 ≥ 0. 3 2 2 3 2 ( ) ( ) 3 3 0 2 2 y y x − y − y ⇔ + + − − + ≥ 1 2 3 2 (2 3) ( 1) 0 4 x y 4 y ⇔ + − + − ≥ ra khi: 1 0 1 2 3 0 1 y y x y x − = = ⇔ + − = = đỳng
Dấu đẳng thức xảy ra.
1 16 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+∞
Khi giải một bài toỏn, nhất là cỏc bài toỏn cú tham số việc chuyển đổi bài toỏn về một hỡnh thức mới để nhằm đưa bài toỏn về một nội dung mới dễ dàng hơn. Do đú trong quỏ trỡnh giảng dạy giỏo viờn cần cú thúi quen bồi dưỡng cho học sinh cỏch biến đổi bài toỏn về một hỡnh thức mới gần với vựng nhận thức của học sinh.
Vớ dụ 3: (Chuyển việc chứng minh bất đẳng thức về việc xỏc định tớnh chất của hàm số). Chứng minh rằng nếu x là gúc nhọn thỡ bất đẳng thức sau đỳng:
2cos s inx 1 cos x x < x + (1) Hướng dẫn: Do x là gúc nhọn nờn x > 0, 1 + cosx > 0, do đú: (1) ⇔2x<t an(1 cos )+ x ⇔t anx sinx 2+ − x>0 2( ) Để chứng minh bất đẳng thức (2) đỳng với gúc x nhọn, ta đặt: y = sinx + tanx – 2x
Nhận xột: y(0) = 0. Khi đú để chứng minh: y(x) > 0 = y(0) với x nhọn, ta hóy xột tớnh chất biến thiờn của y. Ta cú thể thấy rằng nếu hàm y đồng biến với mọi
0 < x <
2
π
thỡ bài toỏn được giải quyết, vỡ khi đú: 0 = y(0) < y(x) Để xỏc định tớnh chất của hàm y, ta xột:
y’ = cosx + 12
os
c x − 2 . Bởi vỡ 12 1 cos 12 cos 1 2
cos cos
os x x os x x
c x > ⇒ +c x > + ≥nờn y’ > 0 với mọi x: 0 < x < nờn y’ > 0 với mọi x: 0 < x <
2
π
. Bài toỏn được giải quyết.
Vớ dụ 4: (Chuyển bài toỏn tớnh giỏ trị của biểu thức lượng giỏc về lập phương trỡnh lượng giỏc). Chứng minh rằng: tan37030’ – ( 6+ 3− 2) là số nguyờn.
Hướng dẫn: Ta thấy: 37030’ = 1.750
2 , 750 = 1.15002 2
Mà tan1500 = −tan300 = − 13.
Xuất phỏt từ cụng thức: tan2a = 2 t ana2