* Trong việc dạy học toán cũng nh dạy học bất cứ một khoa học nào ở nhà tr- ờng phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh một hệ thống các khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán của học sinh, là tiền đề quan
trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc và sáng tạo các kiến thức đã học, quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc phát triển trí tuệ của học sinh, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của khái niệm toán học)
Mỗi khái niệm toán học đều xuất phát từ việc khái quát hoá, trừu tợng hoá nhiều thực tiễn trong thế giới khách quan, cho nên để đi đến khái niệm toán học, cần nêu rõ những thí dụ trong thực tiễn (hoặc trong toán học). Chẳng hạn để đi đến hình thành khái niệm elíp, SGKHH10 nâng cao-2006 đã gợi động cơ xuất phát từ các tình huống thực tiễn nh: Bóng của
một đờng tròn in trên mặt đất bằng phẳng dới ánh sáng mặt trời thờng là một đờng elíp, mặt thoáng của chất lỏng (nớc) đổ trong một cốc thuỷ tinh hình trụ khi ta nghiêng cốc đi giới hạn bởi một đờng elíp; hay quỹ đạo của trái đất khi quay quanh mặt trời là một đờng elip, mỗi hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo là đờng elíp. Sau đó SGK tiếp tục trình bày một ví dụ trực quan - có thể xem là điểm tựa trực quan tốt cho việc hình thành khái niệm elíp: "Đóng lên mặt một bảng gỗ hai chiếc đinh tại hai điểm F1, F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2. Quàng sợi dây vào hai chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành một tam giác. Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút sẽ vạch một đờng mà gọi là đờng elíp".
Đồng thời sau khi đã có khái niệm trừu tợng của toán học rồi cần vận dụng vào nhiều tình huống cụ thể khác nhau, thờng gần gủi với sự hiểu biết của học sinh ở địa phơng.
* Việc dạy học các khái niệm toán học ở trờng THPT phải làm cho học sinh dần đạt đợc các yêu cầu sau:
F
1 F2
M
- Nắm vững các đặc điểm đặc trng cho một khái niệm - Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Nắm đợc mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong hệ thống các khái niệm.
* Trong dạy học, ngời ta phân biệt ba con đờng tiếp cận khái niệm: - Con đờng quy nạp.
- Con đờng suy diễn. - Con đờng kiến thiết.
Tuy nhiên, để đi đến hình thành một khái niệm mới, ngời ta thờng dẫn dắt học sinh đi theo hai con đờng, đó là con đờng quy nạp và con đờng suy diễn.
1.6.1.1. Con đờng quy nạp:
Theo con đờng này, xuất phát từ một số những đối tợng riêng rẽ nh vật chất, mô hình, hình vẽ (phơng tiện trực quan), thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tợng hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trng của một khái niệm thể hiện ở những trờng hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tờng minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chơng trình.
VD 1: Để đi đến khái niệm hình chữ nhật ở tiểu học, ngời ta bắt đầu dạy cho
học sinh quan sát, so sánh những điểm giống và khác nhau của các đối tợng nh: Tờ giấy, mặt bàn, bảng đen... Từ đó dẫn đến nhận xét rằng: Chúng đều là tứ giác có 4 góc vuông (dấu hiệu bản chất). Vậy đi đến định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông.
VD 2: Để hình thành khái niệm phơng trình bậc hai ta có thể lấy một số ví
dụ về phơng trình bậc hai: 3x2=0
7x2+2x = 0 5x2+3x+6 = 0 4x2+3 = 0
Từ các ví dụ nêu trên, em nào có thể đa ra khái niệm phơng trình bậc hai? - Nhận xét:
+ Bậc cao nhất đối với biến luôn bằng 2 + Hệ số của bậc cao nhất luôn khác 0
⇒ Từ nhận xét đó ta đi đến định nghĩa: "Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)"
Con đờng quy nạp có u điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đa ra định nghĩa.
1.6.1.2 Con đờng suy diễn.
Theo con đờng này ngời ta đi ngay vào định nghĩa khái niệm mới nh một tr- ờng hợp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh đã đợc học.
VD: Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông
Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
* Các hoạt động tơng thích với khái niệm là :định nghĩa và phân chia khái niệm.
* Quy trình dạy học khái niệm thờng là: nhận dạng, thể hiện, vận dụng và sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã có.
* Để củng cố và khắc sâu khái niệm, ngời ta thờng tổ chức cho học sinh tham gia luyện tập các hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm. - Hoạt động ngôn ngữ.
⇒ Một vài lu ý nhằm đề phòng và sửa chữa những sai lầm phổ biến cho học sinh khi định nghĩa khái niệm:
- Trớc hết đó là sai lầm khi "nói gọn" các khái niệm về quan hệ. Thí dụ học sinh thờng nói: "Ước số là số chia hết một số cho trớc"; "Tiếp tuyến là đờng thẳng chỉ có chung với đờng tròn một điểm"; "Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đờng tròn"... Các khái niệm trên đây đều là khái niệm về quan hệ, nói nh vậy là không chính xác (nhầm với khái niệm về đối tợng về sự vật) mà phải nói: "Ước số của một số"; "Tiếp tuyến của đờng tròn"; "Tứ giác nội tiếp đờng tròn". Đôi khi việc nói gọn có thể là cần thiết, nhng nói chung, phải yêu cầu học sinh phát biểu đầy đủ để hình thành vững chắc các khái niệm và gây thói quen chính xác trong ngôn ngữ.
- Trong các sai lầm của học sinh vi phạm các quy tắc của định nghĩa thì thờng gặp nhất là định nghĩa quá rộng do học sinh quên đi một dấu hiệu bản chất của khái niệm. Thí dụ: "Đờng kính của đờng tròn là đờng thẳng đi qua tâm của đờng tròn" Hoặc “Đờng kính của đờng tròn là đoạn thẳng nối hai điểm của đờng tròn”. Trong trờng hợp này, một biện pháp có hiệu quả là nêu lên các "phản biểu tợng", nhằm giúp học sinh tự mình sửa chữa sai lầm, tự mình rút ra kết luận đúng đắn. Sau đây là một ví dụ:
+ Học sinh: Đờng kính của đờng tròn là một đờng nối hai điểm của đờng tròn. + GV: Minh hoạ định nghĩa trên của học sinh
+ HS: sửa lại: Đờng kính của đờng tròn là đờng thẳng nối hai điểm của đờng tròn và đi qua tâm của đờng tròn.
+ GV: Minh hoạ.
+ HS: sửa lại: Đờng kính của đờng tròn là đoạn thẳng nối hai điểm của đờng tròn và
đi qua tâm của đờng tròn. + GV: minh hoạ:
Nh vậy, bằng cách im lặng nêu lên ba "phản biểu tợng", giáo viên đã giúp học sinh tự mình sửa chữa sai lầm.
- Cũng có hiện tợng học sinh phát biểu định nghĩa không ngắn gọn, trong định nghĩa có thể suy ra đợc từ các dấu hiệu khác. Thí dụ định nghĩa: "Hình bình hành là tứ giác có cạnh đối diện đôi một song song và bằng nhau". Có thể phân tích để học sinh thấy không cần thiết phải đa vào định nghĩa dấu hiệu: “các cạnh đối diện đôi một song song”
Tuy nhiên vì lý do s phạm, ngay trong sách giáo khoa cũng không hiếm những định nghĩa không gọn. Chẳng hạn trong định nghĩa về hai góc kề nhau (là hai góc có đỉnh và một cạnh chung mà các miền trong của chúng nằm ở hai bên cạnh chung ấy- hình học lớp 6, 1997) thì từ dấu hiệu: “Có 1 cạnh chung”có thể suy ra dấu hiệu: “có đỉnh chung” (theo định nghĩa về cạnh và góc) tuy nhiên vì khái niệm góc, cạnh của góc còn rất mới mẻ với học sinh
nên nhấn mạnh thêm dấu hiệu: "Có đỉnh chung" là rất cần thiết. Chẳng hạn có thể đa ra cho học sinh quan sát hình vẽ sau:
Khi đó học sinh có thể nói ngay đợc là hai góc 1 và 2 không kề nhau vì không có đỉnh chung
⇒ Chúng ta nhận thấy vai trò quan trọng của trực quan trong dạy học, khái niệm, từ chỗ hình thành
cho đến việc hiểu và nhớ khái niệm, từ đó biết phát biểu khái niệm một cách chính xác, biết vận dụng khái niệm vào trong thực tế và trong giải toán.