không gian.
Trong dạy học hình học phẳng, để giúp học sinh hiểu đợc nội dung khái niệm, định lý, cũng nh giải đợc một bài toán hình học có lẽ công việc đợc u tiên hàng đầu là vẽ hình biểu diễn minh hoạ. Lúc đó hình biểu diễn trở thành đối tợng trực tiếp để các em làm việc. Đặc biệt khi chuyển sang dạy hình học không gian, những khái niệm mới mẻ trở nên rất trừu tợng so với vốn biểu tợng đã có trớc đó của các em. Ngay cả với một học sinh khá, bớc chuyển tiếp này quả thực khó khăn. Vì thế nên khi giảng dạy các khái niệm của hình học không gian, để trực quan cho học sinh, ngoài vẽ hình biểu diễn, giáo viên cần triệt để khai thác các minh hoạ từ các đồ vật xung quanh, gần gủi với học sinh. Thậm chí giáo viên có thể cùng với học sinh tự làm các đồ dùng trực quan đơn giản hay khai thác các phần mềm dạy học nh: Cabri3D, Maple, Sketchpad... Qua đó góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, khơi dậy niềm tin, hứng thú học tập nơi các em.
VD1: Thể hiện các tiên đề của hệ tiên đề HHKG bằng hình vẽ.
- Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trớc.
Mô tả:
Hình 11
(Lấy 3 điểm không thẳng hàng trên mặt giấy hoặc bảng).
- Tiên đề 2: Nếu một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đờng thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Mô tả:
(Một sợi chỉ căng ngang nối hai chấm thuộc mặt phẳng bảng và giấy)
- Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có 1 điểm chung khác nữa.
Mô tả:
(gấp vuông góc hai nửa quyển vở để thấy chỗ gấp chính giữa của quyển vở, lấy hai điểm bất kỳ trên đó)
- Tiên đề 4: Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng Mô tả:
Hình 12
Hình 13
.D
(Chấm ba chấm lên mặt phẳng bảng hoặc giấy, sau đó lấy một điểm đầu ngòi bút hoặc viên phấn ở ngoài mặt phẳng giấy hoặc bảng đó)
VD2: Tìm mô hình thực tế của các khái niệm HHKG.
Chẳng hạn, ta có thể làm nh sau: - Tứ diện: Kim tự tháp.
- Tam diện vuông: Góc tờng.
- Hình hộp chữ nhật: bao diêm, quyển sách dày. - Hình lập phơng: Hộp đựng ti vi, hộp phấn.
VD3: Để hình thành khái niệm đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng
chéo nhau, ta có thể cho học sinh quan sát mô hình hình hộp chữ nhật và chỉ ra mối quan hệ của một số đờng nh:
AB ⊥ AD AB ⊥ BB1
AD và BB1 chéu nhau.
Suy ra AB vừa vuông góc với AD vừa vuông góc với BB1, mà AD và BB1
lại chéo nhau, nh vậy AB cùng vuông góc với hai đờng thẳng chéo nhau.
Yêu cầu học sinh chỉ ra một số trờng hợp tơng tự rồi đi đến định nghĩa: "Đờng vuông góc chung
của hai đờng thẳng chéo nhau là đờng thẳng vừa vuông góc vừa cắt cả hai đờng thẳng đó".
Đến đây một câu hỏi rất tự nhiên đợc đặt ra là: Với hai đờng thẳng chéo nhau bất kỳ trong không gian, có tồn tại hay không đờng vuông góc chung giữa chúng, và nếu có thì sẽ có bao nhiêu đờng nh thế?
Câu hỏi trên đã gợi nên cho học sinh một vấn đề mà họ cảm thấy có hứng thú và nhu cầu tìm hiểu lời giải đáp. Nh thế chúng ta đã dẫn dắt học sinh tiếp cận định lý về đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau. Trong lúc học sinh
đang còn hoài nghi về điều dự đoán của bản thân, giáo viên có thể lấy thêm một vài dẫn chứng thực tế (nh các mép tờng trong phòng học) và đa ra câu trả lời cũng chính là nội dung của định lý đờng vuông góc chung: "Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đờng thẳng ∆ cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng ấy. Đờng thẳng ∆... đó đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b". Sau đó hớng dẫn học sinh đi chứng minh tính đúng đắn của định lý này.
VD4: Để hình thành khái niệm "Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng". Giáo
viên làm mô hình bằng gỗ và kim loại nh sau: - mp (P) bằng gỗ.
- Các đờng thẳng h, a, a' bằng kim loại và đợc gắn cố định.
- Đờng thẳng d nằm trong mp (P) và quay đợc quanh A.
Sau đó đặt câu hỏi cho học sinh:
- Khi d quay quanh A thì góc tạo bởi d và a có thay đổi không?
Nhờ tri giác biểu tợng trực quan mà học sinh thấy rằng:
Độ lớn góc sẽ thay đổi khi d thay đổi và khi d=a' thì (a,d) bé nhất, với a' là hình chiếu của a trên mp (P)
- Có thể xác định đợc đại lợng nào đó đặc trng cho độ nghiêng của a trên mp (P) không?
Có nhiều khả năng học sinh sẽ dự đoán: Đó là độ lớn của góc( a,a' )
Nh vậy việc tích cực sử dụng phơng tiện trực quan trong dạy học hình không gian góp vai trò quan trọng đối với việc học sinh chiếm lĩnh tri thức. Tuy nhiên nh thế không có nghĩa là nó không còn bộc lộ những khó khăn, sai lầm. Điều đó thể hiện qua hai mâu thuẫn biện chứng thuộc phạm trù phơng pháp luận nhận thức sau đây: Thứ nhất đó là mâu thuẫn giữa một bên là các đối tợng hình học trừu tợng đ- ợc trừu xuất, lý tởng hoá tách khỏi hiện thực khách quan và một bên là khi dạy học
lại mô tả chúng bằng các hình ảnh hiện thực, hình biểu diễn. Chẳng hạn: "điểm", "đờng thẳng", "mặt phẳng" là những khái niệm cơ bản, trừu tợng chỉ hiểu qua các tiên đề trong khi đó lại biểu thị chúng bằng hình ảnh vật chất: Các dấu chấm bằng phấn, bút chì, bút mực, các nét phấn, bút chì, bút mực vẽ nhờ thớc, nét phấn vẽ hình bình hành biểu diễn một phần mặt phẳng ở trên bảng. Vì thế có nhiều học sinh bị ngộ nhận đồng nhất giữa cái trừu tợng với cái dùng để mô tả trực quan chúng. Bởi vậy chúng ta cần phải nhấn mạnh với học sinh đây chỉ là mô tả, các đối tợng này là sản phẩm cuả t duy không thể vẽ đợc. Trực quan chỉ là điểm tựa để nắm lấy cái trừu tợng. Trong dạy học ta sử dụng cái trực quan, song đích cuối cùng phải vơn tới cái trừu tợng. Thứ hai, khi chứng minh một bài toán hình học hoặc phải giải các dạng toán khác, trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trng cho các đối tợng hình học khác nhau; chúng ta vẽ một hình nào đó ứng với một trờng hợp trong nhiều trờng hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho chứng minh, cho giải toán, nhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trờng hợp xảy ra dẫn tới trong lập luận chứng minh bỏ sót các trờng hợp khác. Chẳng hạn, xét bài toán: "Cho hai đờng thẳng a, b chéo nhau và một điểm M. Dựng đờng thẳng d qua M cắt hai đờng thẳng a, b".
Khi giải bài toán này, học sinh chỉ xét một vị trí nào đó của điểm M đối với hai đờng thẳng chéo nhau a, b và tìm đợc đờng thẳng d cần dựng là giao của 2 mặt phẳng (P) qua a, M và (Q) đi qua b, M. Nhiều học sinh cho rằng bài toán luôn có nghiệm, do không biết phân hoạch các trờng hợp có thể xảy ra của điểm M.
Hình 17
Thật ra trong trờng hợp điểm M thuộc mặt phẳng chứa a song song với b hoặc thuộc mặt phẳng chứa b song song với a sẽ vô nghiệm - không có đờng thẳng d thoả mãn yêu cầu bài ra.
Ngoài hai khó khăn cơ bản nêu trên thì bớc chuyển hoá t tởng từ hình học phẳng lên hình học không gian (ngắt quãng trong t duy) cũng gây nên khó khăn cho học sinh, họ nhầm lẫn rồi dẫn đến ngộ nhận nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trong mặt phẳng. Chẳng hạn:
- Hình biểu diễn cua ∆ ABC vuông cân tại A trong không gian lẽ ra phải là: thì vẫn có học sinh biểu diễn:
* Cho OA, OB, OC bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một, hãy dựng chân đ-
ờng vuông góc H hạ từ O xuống (ABC) - Có học sinh biểu diễn:
Lúc này việc dựng chân đờng vuông góc H sẽ gặp khó khăn A C B Hình 18 Hình 19 Hình 20
- Lẽ ra nên biểu diễn:
thì sẽ dễ dàng nhìn ra vị trí của H.
Để khắc phục hiện tợng này, cần làm cho học sinh hiểu đợc các hình biểu diễn không gian đấy là hình chiếu cuả hình không gian lên mặt phẳng qua phép chiếu song song, giúp họ nắm đợc quy tắc biểu diễn hình. Có nh vậy họ mới có thể đa ra đợc hình biểu diễn trực quan, góp phần giải quyết nhanh nhiều bài toán.
Vậy để hình biểu diễn thực sự trở thành công cụ trực quan có ích đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nhất định mới có thể sử dụng và vận dụng đợc trong khi học HHKG.