Xét tập hợp L(E, F)gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ
E vào không gian F. Giả sử f, g ∈ L(E, F) là hai ánh xạ bất kì. Ta xác định các phép toán sau:
1. Cộng 2 ánh xạ tuyến tính: tổng của f và g là ánh xạ từ E vào F, kí hiệu
f +g :E →F
2. Nhân ánh xạ tuyến tính với một số: tích của f với một số α∈R là ánh xạ từ E vào F, kí hiệu αf :E →F
(αf)(u) =αf(u) với mọi u∈Ẹ
Ta sẽ chứng minhf +g, αf cũng là các ánh xạ tuyến tính từ không gianE vào không gian F.
Thật vậy với các số thực bất kìα, β ∈R và u,v∈E tùy ý
(f+g)(αu+βv) =f(αu+βv) +g(αu+βv) =f(αu) +f(βv) +g(αu) +g(βv) =αf(u) +βf(v) +αg(u) +βg(v) =α(f+g)(u) +β(f +g)(v).
Vậy f +g là ánh xạ tuyến tính: f +g ∈ L(E, F). Chứng minh t-ơng tự αf
cũng là ánh xạ tuyến tính: αf ∈L(E, F). Từ đó suy ra L(E, F)là không gian tuyến tính.
3. Cho hai ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E, F), g ∈ L(F, G). Hợp thành của f
vàg, kí hiệu g◦f từ E vàoG
g◦f(u) =g(f(u)) với mọi u∈E
đ-ợc gọi là tích hai ánh xạ tuyến tính g và f. Dễ dàng chứng minh g◦f
là ánh xạ tuyến tính: g◦f ∈L(E, G).
Từ định nghĩa các phép toán đối với ánh xạ tuyến tính nêu trên, bạn đọc có thể chứng minh tính chất: tích các ánh xạ tuyến tính có tính kết hợp, tính phân phối đối với phép cộng
• (αf)◦g =α(f ◦g) =f◦(αg) với ∀g ∈L(E, F), ∀f ∈L(F, G)và ∀α∈K. • f◦(g◦h) = (f ◦g)◦hvới ∀h∈L(V, E), ∀g ∈L(E, F) và ∀f ∈L(F, G). • f◦(g+g0) =f ◦g+f◦g0 với ∀g, g0∈L(E, F)và ∀f ∈L(F, G).
• (g+g0)◦h=g◦h+g0◦h với ∀h∈L(V, E)và ∀g, g0∈L(E, F).
Cũng nh- tích hai ma trận, tích hai ánh xạ tuyến tính nói chung không có tính giao hoán. Về ma trận của tổng, tích các ánh xạ tuyến tính, ta có định lí sau
Định lí 3.4.6 Giả sử {e1,e2, ...,en}, {f1,f2, ...,fm}và {u1,u2, ...,up}là các cơ sở của các không gian E, F, G t-ơng ứng, f, g ∈ L(E, F), h ∈ L(F, G) là các ánh xạ tuyến tính. Kí hiệu [f],[g],[h] là các ma trận của f, g, h trong các cơ sở đã chọ Khi đó
• [f] + [g] là ma trận của ánh xạ tuyến tính f+g :E →F.
• λ[f] là ma trận của ánh xạ tuyến tính λf (λ∈R).
• [h]ã[g]là ma trận của ánh xạ tích h◦g :E →G.
Chứng minh. Hai mệnh đề đầu dành cho bạn đọc tự chứng minh. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cuốị
Giả sử [h] = (hij)pìm là ma trận của ánh xạ h :F →G và [g] = (gij)mìn là ma trận của ánh xạ g : E → F. Để tìm ma trận của ánh xạ tích h◦g, ta tính tọa độ của ảnh (h◦g)(ei) trong G và các tọa độ đó đ-ợc viết vào cột thứ i của ma trận, i= 1,2, ..., n. (h◦g)(ei) =h(g(ei)) =h m X j=1 gjifj ! = m X j=1 gjih(fj) = = m X j=1 gji p X k=1 hkjuk = p X k=1 m X j=1 hkjgji ! uk. Vậy phần tử nằm ở hàng k, cột i của ma trận [h◦g] là Pm j=1hkjgji. Mặt khác đây chính là tích hàng thứ k của ma trận[h]với cột thứi của[g]. Điều này đúng với mọi k = 1,2, ..., n, i= 1,2, ..., p. Suy ra
[h◦g] = [h][g] đ.p.c.m.
Xét tr-ờng hợp riêng khi phép biến đổi tuyến tính f : E → E không suy biến. Khi đó theo định lí 3.4.4, f là song ánh và do vậy tồn tại ánh xạ ng-ợc
f−1 :E →E
f◦f−1 =f−1◦f =idE (ánh xạ đồng nhất trên E).
Định lí cũng khẳng định f−1 là phép biến đổi tuyến tính trên E. áp dụng định lí trên, tích 2 ma trận của 2 phép biến đổi f và f−1
[f][f−1] =I là ma trận đơn vị ⇒ [f−1] = [f]−1.
Vậy ma trận của ánh xạ ng-ợcf−1 bằng ma trận nghịch đảo của ma trận của f. Một hệ quả trực tiếp đ-ợc suy ra từ khẳng định này là: điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tuyến tính f :E →E không suy biến là det[f]6= 0.
Ví dụ 3.4.5
Ta đã biết phép quay tâm O trong mặt phẳngxOy với góc quay ϕlà phép biến đổi tuyến tính có ma trận trong cơ sở chính tắc
[T] =
cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
Tích của hai phép quay với góc quay ϕ, θ là phép biến đổi tuyến tính có ma trận cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ cosθ −sinθ sinθ cosθ = cos(ϕ+θ) −sin(ϕ+θ) sin(ϕ+θ) cos(ϕ+θ)
Đây cũng là phép quay với góc quayϕ+θ. Đặc biệt khi ϕ+θ = 0 hay θ =−ϕ
cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ cosθ −sinθ sinθ cosθ = 1 0 0 1 ,
các phép quay với góc quay bằng ϕvà−ϕlà các phép biến đổi tuyến tính ng-ợc của nhaụ