Định nghĩa 3.3.2 Cho A, B / V là hai không gian con của không gian vectơ V. Đặt
A+B ={z=x+y | x∈A,y∈B}
Khi đó, A+B đ-ợc gọi là tổng của hai không gian con A vàB.
Định lí 3.3.5 NếuA, B / V thì A+B / V, A∩B / V, nói cách khác tổng và giao của hai không gian con cũng là không gian con.
Chứng minh. Thật vậy, với t∈A+B, z∈A+B là 2 véctơ bất kì. Khi đó, tồn tại các vectơ x1,x2 ∈A, y1,y2∈B sao cho
t=x1+y1, z=x2+y2.
∀α, β ∈K, ta có
u=αt+βz=α(x1+y1) +β(x2+y2) = (αx1+βx2) + (αy1+βy2) DoA / V và B / V nên αx1+βx2 ∈A, αy1+βy2 ∈ B. Suy ra u ∈ A+B, vậy
A+B / V.
Nhận xét rằng định lí có thể mở rộng cho tổng và giao của hữu hạn các không gian con Vi/ V, i= 1, k: V1+V2 +ã ã ã+Vk ={x1+x2+ã ã ã+xk | xi∈ Vi ∀i= 1, k}và k \ i=1 Vi
là các không gian con của V.
Chú ý rằng hợp của hai không gian con nói chung không là không gian con. Ta có thể thấy điều khẳng định đó trong ví dụ saụ
Ví dụ 3.3.5
Xét 2 không gian con trong R2
A={(x,0) | x∈R} và B ={(0, y)| y∈R} Hiển nhiênA /R2, B /R2 và
A+B ={(x, y)| x, y∈R}=R2.
Tuy nhiên A∪B không là không gian con của R2 do phép cộng 2 véctơ không đóng trongA∪B. Chẳng hạn 2 véc tơ a= (1,0), b = (0,1) ∈A∪B
tuy nhiên a+b = (1,1)∈/ A∪B.
Định nghĩa 3.3.3 ChoAvàB là hai không gian con của không gian vectơV. Nếu A∩B ={0} thìA+B đ-ợc gọi là tổng trực tiếp của A và B, kí hiệuA⊕B.
Trong ví dụ 3.3.5 ở trên, với 2 không gian con củaR2
A={(x,0) | x∈R} và B ={(0, y)| y∈R} do A∩B ={(0,0)}, ta có
A⊕B =R2.
Định lí 3.3.6 Mọi véctơ trong tổng trực tiếp u∈A⊕B đ-ợc phân tích duy nhất
Chứng minh. Giả sử véctơ u∈A⊕B có hai cách phân tích
u=a1+b1 =a2+b2, a1,a2 ∈A, b1,b2 ∈B
Khi đóa1−a2 =b2−b1. Mặt khác a1−a2 ∈A và b1−b2 ∈B, suy ra
a1−a2 =b2−b1 ∈A∩B ={0}.
Vậya1−a2 =0 và b2−b1 =0 hay a1 =a2 và b1 =b2, đ.p.c.m.
Định lí 3.3.7 Nếu A, B / V là hai không gian con hữu hạn chiều của không gian véctơV thì
dim(A+B) = dimA+ dimB−dim(A∩B)
Đặc biệt,dim(A⊕B) = dimA+ dimB.
Chứng minh. Giả sử dim(A∩B) = k, dimA = n,dimB = m. Chọn một cơ sở bất kì củaA∩B
M ={c1,c2, . . . ,ck}
Theo định lí 3.2.4 ta sẽ bổ sung véctơ để mở rộngM thành các cơ sở củaA, cũng nh- cơ sở củaB. Bổ sung (n−k) vec tơ a1,a2, . . . ,an−k để hệ
A={a1,a2, . . . ,an−k,c1,c2, . . . ,ck} là cơ sở của Ạ
Bổ sung(m−k) vec tơ b1,b2, . . . ,bm−k để hệ
B={b1,b2, . . . ,bm−k,c1,c2, . . . ,ck} là cơ sở của B.
Ta sẽ chứng minh m+n−k vec tơ
C={a1,a2, . . . ,an−k,b1,b2, . . . ,bm−k,c1,c2, . . . ,ck} là một cơ sở của A+B.
Thật vậy, xét tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong hệ C
α1a1+α2a2+. . .+αn−kan−k +β1c1+β2c2+. . .+βkck+ +γ1b1+γ2b2+. . .+γm−kbm−k =0 hay a+b+c=0
trong đó a= α1a1+α2a2+. . .+αn−kan−k, b=γ1b1+γ2b2+. . .+γm−kbm−k
vàc=β1c1+β2c2+. . .+βkck. Doa =−b−c∈ B và a=X
khi a=0. Vậy b+c=−a=0.
T-ơng tự từ đẳng thức b+c=0 suy ra b=c=0.
Các véctơ a = b = c = 0 kéo theo các hệ số αi, βi, γi bằng 0. Điều đó chứng minh
C={a1,a2, . . . ,an−k,b1,b2, . . . ,bm−k,c1,c2, . . . ,ck} là cơ sở của A+B. Từ đây suy ra dim(A+B) =n+m−k hay
dim(A+B) = dimA+ dimB−dim(A∩B).
Ví dụ 3.3.6
1. Trong R3, xét hai không gian con
A={(x, y,0) | x, y∈R} và B ={(0,0, z) | z ∈R}
Rõ ràng A /R3, B /R3. Hơn nữa M = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0)} là cơ sở của A và N = {e3 = (0,0,1)} là cơ sở của B. Do A∩B = 0 nên
R3 =A⊕B.
2. Xét trong R3 hai không gian vectơ con (về mặt hình học là 2 mặt phẳng đi qua (0,0,0))
A={(x1, x2, x3) | x1+x2−x3 = 0}
B ={(y1, y2, y3) | y1−y2+y3 = 0}
Chọn các cơ sở của A và B lần l-ợt là M = {a1 = (1,0,1),a2 = (0,1,1)} và N = {b1 = (1,1,0),b2 = (0,1,1)}. Không gian A∩B (giao của 2 mặt phẳng) gồm các véctơ (x1, x2, x3)∈R3 thỏa mãn hệ ph-ơng trình
( x1+x2−x3 = 0 x1−x2+x3 = 0 hay x1 x2 x3 =C 0 1 1
trong đó C ∈R tùy ý, là không gian con một chiều vớib2 = (0,1,1) là cơ sở của A∩B. (Về mặt hình họcA∩B là đ-ờng thẳng đi qua(0,0,0) nhận
b2 = (0,1,1) làm véctơ chỉ ph-ơng).
3. Các nghiệm của hệ ph-ơng trình x−3y+z = 0 −x−2y+z = 0 4x+ 3y−2z = 0 có thể coi là giao của ba mặt phẳng đi qua (0,0,0) (ba không gian con) hoặc giao của hai không gian con d-ới đây củaR3
(d) :
(
x−3y+z = 0
−x−2y+z = 0 và (P) : 4x+ 3y−2z = 0.
Về mặt hình học(d)là đ-ờng thẳng nằm trong mặt phẳng(P), do đó giao của chúng bằng(d). Đó chính là không gian con sinh bởi véctơ (1,2,5). 4. Kí hiệu A và B là các không gian con củaR3
A={(x, y, z) |x−3y+z = 0}, B ={(x, y, z)| 4x+ 3y−2z = 0}.
Hiển nhiênA+B =R3, tuy nhiên đó không là tổng trực tiếp, doA và B
là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong R3, A∩B là đ-ờng thẳng giao của 2 mặt phẳng nênA∩B 6={0}.
Nhận xét rằng doB là không gian véc tơ trongR3 nên tập hợp {a−b |a∈
A,b∈B}, kí hiệuA−B cũng là tập hợp các véc tơ {a+b| a∈A,b∈B}. Do đó A−B =A+B =R3.
5. Nếu kí hiệu C là không gian con
(
x−3y+z = 0
−x−2y+z = 0 vàD là không gian con sinh bởi véctơ b = (3,−4,0), khi đó tổng trực tiếp C ⊕D chính là không gian conB ={(x, y, z) |4x+ 3y−2z = 0}
B =C⊕D.
Thật vậy về mặt hình họcC là đ-ờng thẳng đi qua gốc tọa độ nhận véc tơ
a= (1,2,5) làm véc tơ chỉ ph-ơng. Suy ra C =L(a) và D = L(b). Hai đ-ờng thẳng (không gian con)C và D có tổng trực tiếp là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ chứa 2 véc tơ avà b. Dễ dàng kiểm tra thấy a,b∈B, suy ra B =C⊕D.
Nhận xét rằng theo định lí 3.3.6, mọi véc tơ trongB phân tích duy nhất theo 2 véc tơa và b