Định nghĩa 3.4.1 Cho hai không gian véctơ thực U và V. ánh xạ f : U → V đ-ợc gọi là ánh xạ tuyến tính từ không gian U vào không gian V nếu
• f(x+y) =f(x) +f(y), với mọi x,y∈U
• f(αx) =αf(x), với mọi α∈R,x∈U
Tr-ờng hợpU trùng với V thì ánh xạ tuyến tínhf :U →U đ-ợc gọi làphép biến đổi tuyến tính trên U.
Tr-ờng hợp V =Rthì ánh xạ tuyến tính f :U →R đ-ợc gọi làdạng tuyến tính trên U.
Định lí 3.4.1 Điều kiện cần và đủ để f :U →V là ánh xạ tuyến tính là f(αx+βy) =αf(x) +βf(y), với mọi α, β ∈R, mọi x,y∈U Chứng minh. Điều kiện trên là cần vì theo định nghĩa ánh xạ tuyến tính
f(αx+βy) =f(αx) +f(βy) =αf(x) +βf(y).
Điều kiện đó cũng là đủ vì yêu cầu thứ nhất của định nghĩa đ-ợc thỏa mãn nếu chọn α=β = 1, yêu cầu thứ hai cũng đ-ợc thỏa mãn nếu chọnβ = 0.
Ví dụ 3.4.1 Các ví dụ về ánh xạ tuyến tính
1. ánh xạ f :U →V, f(x) =0V (véctơ 0trong V) với mọix∈U là ánh xạ tuyến tính (còn đ-ợc gọi là ánh xạ không).
2. ánh xạ đồng nhấtf :V →V, f(x) =xtừ không gian V lênV là ánh xạ tuyến tính, th-ờng đ-ợc kí hiệu I hoặc idV.
3. ánh xạ f :V →V đ-ợc xác định nh- sau
f(x) =αx, ∀x∈V
với α∈Rlà số thực cố định nào đó, là phép biến đổi tuyến tính, còn đ-ợc gọi là phép vị tự. f là phép vị tự phóng to nếu |α| > 1 và thu nhỏ nếu |α|<1.
4. ánh xạ f :R2 →R đ-ợc xác định nh- sau
f(x1, x2) =x1, ∀x1, x2 ∈R
là ánh xạ tuyến tính, còn đ-ợc gọi là phép chiếu R2 lênR.
5. Gọi h là một trong các phép biến đổi hình học: phép chiếu song song, vuông góc lên đ-ờng thẳng hoặc mặt phẳng cố định nào đó, phép lấy đối xứng qua tâm (hoặc qua đ-ờng thẳng, qua mặt phẳng nào đó), phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự (trong ch-ơng trình toán ở bậc phổ thông trung học, chúng ta đã làm quen với các phép biến đổi hình học này). Kí hiệu
A0, B0 là ảnh qua phép biến đổi h của các điểm A, B h(A) =A0, h(B) =B0
Gọi V là không gian các véctơ hình học V = {−→AB | A, B ∈ R3}. Ta biết rằng V là không gian tuyến tính thực. ánh xạ f :V → V đ-ợc xác định nh- sau
f(−→AB) =−−→A0B0, với mọi −→AB ∈V
là phép biến đổi tuyến tính. (Ta cũng đặt tên cho phép biến đổi tuyến tính
f các tên t-ơng ứng của h: phép chiếu, phép quaỵ..)
Thật vậy yêu cầu đầu tiên của ánh xạ tuyến tính là hiển nhiên
f(−→AB+−BC−→) =f(−→AC) =−−→A0C0=A−−→0B0+−−→B0C0=f(−→AB) +f(−BC−→) Yêu cầu thứ haif(α−→AB) =αf(−→AB) cũng thỏa mãn với các phép biến đổi hình học kể trên.
Khá nhiều phép biến đổi tuyến tính trong R2,R3 thuộc dạng nàỵ Chẳng hạn phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng xOy trong R3
f :R3 →R3, f(x, y, z) = (x, y,0),∀(x, y, z)∈R3,
phép đối xứng quaO(0,0,0)
d:R3 →R3, d(x, y, z) = (−x,−y,−z),∀(x, y, z)∈R3,
phép quay quanh gốc tọa độ một góc ϕtrong mặt phẳng xOy
T :R2 →R2, T(x, y) = (xcosϕ−ysinϕ, xsinϕ+ycosϕ),∀(x, y)∈R2,
6. Pn[x]là không gian các đa thức hệ số thực với bậc không v-ợt quá n.
ánh xạf :Pn[x]→Pn[x], f(p(x)) =p0(x)với ∀p(x)∈Pn[x], là phép biến đổi tuyến tính trên Pn[x].
7. Kí hiệu M2,M3 là các không gian tuyến tính gồm các ma trận cột
M2 = x1 x2 x1, x2 ∈R M3 = x1x2 x3 x1, x2, x3 ∈R ánh xạ A:M3→M2 đ-ợc xác định nh- sau A x1x2 x3 = 1 0 3 2 −1 2 x1x2 x3 = x1+x3 2x1−x2+ 2x3
Sử dụng tính chất phân phối của phép toán nhân ma trận dễ dàng chứng minh đ-ợc A là ánh xạ tuyến tính từ M3 vàoM2.
Nhận xét rằng một ánh xạ tuyến tính f : U → V hoàn toàn đ-ợc xác định, nếu ta biết các ảnh của các véc tơ trong một cơ sở nào đó của U. Thật vậy giả sử {a1,a2, ...,an} là một cơ sở của U và f(a1), f(a2), ..., f(an) là ảnh của chúng. Khi đó ảnh của véctơ bất kì x=
n X i=1 αiai trong U bằng f(x) = n X i=1 f(αiai) =α1f(a1) +α2f(a2) +ã ã ã+αnf(an).
Nhận xét này là cơ sở cho khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính đ-ợc xét tới trong mục saụ
Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tínhf :U →V.
1. ánh xạ tuyến tínhf chuyển véctơ không trongU thành véctơ không trong
V
f(0U) =0V.
2. Nếu hệ các véctơ B = {b1,b2, ...,bm} phụ thuộc tuyến tính trong U thì
f(B) = {f(b1), f(b2), ..., f(bm)} cũng phụ thuộc tuyến tính trong V. Thật vậy ∃α1, α2, ..., αm∈R không đồng thời bằng 0 sao cho
α1b1+α2b2+...+αmbm =0U.
Dof(α1b1+α2b2+...+αmbm) =α1f(b1) +α2f(b2) +...+αmf(bm)suy ra
α1f(b1) +α2f(b2) +...+αmf(bm) =f(0U) = 0V.
Nói cách khác ánh xạ tuyến tính chuyển hệ các véctơ phụ thuộc tuyến tính thành hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý rằng ảnh của các véctơ độc lập tuyến tính (qua ánh xạ tuyến tính) nói chung không độc lập tuyến tính.
3. ánh xạ tuyến tính chuyển một không gian con thành không gian con. Giả sửA là không gian véctơ con của U, A / U, thì tập ảnh của A
f(A) = {f(x) |x∈A} cũng là không gian con củaV.
Thật vậy xét 2 véctơ bất kì f(x), f(y)∈f(A)
αf(x) +βf(y) =f(αx+βy).
DoA là không gian véctơ con nên αx+βy∈A ∀α, β ∈R, suy ra
αf(x) +βf(y) =f(αx+βy)∈f(A).
4. T-ơng tự nh- tính chất 3, với ánh xạ tuyến tính,tập nghịch ảnh của không gian véctơ con cũng là không gian con. Giả sử B là không gian véctơ con củaV, xét 2 véctơ bất kì x,y∈f−1(B). Khi đó f(x), f(y)∈B và
f(αx+βy) =αf(x) +βf(y)∈B.
Do đó αx+βy∈ f−1(B) ∀α, β ∈ R. Theo định lí 3.1.1, f−1(B) là không gian con của V.
Định nghĩa 3.4.2 Cho ánh xạ tuyến tính f : U → V. Tập hợp f(U) (gồm các phần tử ảnh củaU qua ánh xạ f) đ-ợc gọi là không gian ảnh của f, kí hiệu Im(f)
Im(f) ={f(u) | u∈U}
Tập nghịch ảnhf−1(0V) đ-ợc gọi là nhân của f, kí hiệu Ker(f)
Từ tính chất 3 và 4 của ánh xạ tuyến tính suy ra Im(f) và Ker(f) là các không gian con của U và V t-ơng ứng.
L-u ý rằng Ker(f) là không gian con nên Ker(f) 6= ∅ và chứa ít nhất một véctơ 0 của không gian U. Ta có định lí sau
Định lí 3.4.2 Nếu f : U → V là ánh xạ tuyến tính thì f là đơn ánh khi và chỉ khi Ker(f) ={0}.
Chứng minh. Nếu f là đơn ánh thì nghịch ảnh f−1(0V) chỉ gồm duy nhất một phần tử 0U, hay Ker(f) ={0}.
Ng-ợc lại giả sử Ker(f) ={0}. Từ hệ thức f(a) =f(b), ta có
f(a)−f(b) =f(a−b) =0 ⇒ a−b∈Ker(f) ={0} ⇒ a=b.
Vậy f là đơn ánh.
Ví dụ 3.4.2
Cho ánh xạ f :R3 →R3
f(x, y, z) = (x+y+z, x−y+ 2z,2x+ 3z).
a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính trên R3. b) Xác định không gian ảnh Im(f)và tìm một cơ sở của nó.
c) Xác định không gian nhân Ker(f) và tìm một cơ sở của không gian đó. Ta sẽ lần l-ợt giải từng phần của ví dụ nàỵ
a) Tr-ớc hết ta chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính trên R3. Gọi
a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) là 2 véctơ tùy ý trong R3. Với α, β ∈ R
ta có αf(a) +βf(b) = (αx1+βx2) + (αy1+βy2) + (αz1+βz2), (αx1+βx2)−(αy1+βy2) + 2(αz1+βz2), 2(αx1 +βx2) + 3(αz1+βz2) =f(αa+βb).
b) Xác định không gian ảnh Im(f)tức là tìm các véctơ (t1, t2, t3)∈R3 sao cho hệ ph-ơng trình sau có nghiệm
x+y+z = t1 (1) x−y+ 2z = t2 (2) 2x+ 3z = t3 (3)
Nhân các ph-ơng trình (1), (2) với -1 rồi cộng vào (3) ta đ-ợc 0 =t3−t1−t2. (4)
Dễ dàng chứng minh (4) cũng là điều kiện đủ để hệ ph-ơng trình có nghiệm. Vậy không gian ảnh của f
Im(f) ={(t1, t2, t3)∈R3 | t3−t1−t2 = 0}.
Về mặt hình học không gian Im(f) chính là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
x+y−z = 0. Từ đó suy ra u = (1,0,1) và v= (0,1,1) là 2 véctơ cơ sở của Im(f).
c) Không gian nhân Ker(f) là tập hợp các véctơ (x, y, z)∈ R3 thỏa mãn hệ ph-ơng trình x+y+z = 0 x−y+ 2z = 0 2x+ 3z = 0 ⇔ ( x+y =−z x−y =−2z
Dễ dàng thấy nghiệm của hệ thuần nhất trên đây Ker(f) ={C(−3,1,2) | C ∈R}.
Nh- vậy dimKer(f) = 1, véctơ (−3,1,2) là cơ sở của Ker(f).
Định lí 3.4.3 U là không gian tuyến tính n chiều, f : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
Chứng minh. Giả sử dimKer(f) = k, gọi {e1,e2, ...,ek} là cơ sở nào đó của Ker(f)⊂U. Bổ sung thêm n−k véctơ để hệ các véctơ sau
{e1,e2, ...,ek,ek+1, ...,en}
trở thành cơ sở của không gian U. ảnh của các véctơ cơ sở này lập thành hệ sinh của không gian con Im(f). Song do e1,e2, ...,ek∈Ker(f) nên
f(e1) =f(e2) =ã ã ã=f(ek) =0
suy ra {f(ek+1), f(ek+2), ..., f(en)} là hệ sinh của không gian con Im(f). Ta sẽ chứng minh hệ các véctơ {f(ek+1), f(ek+2), ..., f(en)} là cơ sở của Im(f) bằng việc chứng minh hệ độc lập tuyến tính. Giả sử
αk+1f(ek+1) +αk+2f(ek+2) +ã ã ã+αnf(en) =0, suy ra
f(αk+1ek+1+αk+2ek+2+ã ã ã+αnen) =0,
hay αk+1ek+1+αk+2ek+2+ã ã ã+αnen∈Ker(f).Mặt khác mọi véctơ trong Ker(f) là một tổ hợp tuyến tính củae1,e2, ...,ek
αk+1ek+1+αk+2ek+2+ã ã ã+αnen=α1e1 +α2e2+ã ã ã+αkek
Do {e1,e2, ...,ek,ek+1, ...,en} là cơ sở của U nên chúng độc lập tuyến tính, suy ra
αk+1 =αk+2 =ã ã ã=αn= 0
điều đó chứng minh các véctơ f(ek+1), f(ek+2), ..., f(en)độc lập tuyến tính và là cơ sở của Im(f). Suy ra dimIm(f) =n−k. Nói cách khác
dimKer(f) + dimIm(f) =k+ (n−k) =n.
Định nghĩa 3.4.3 Số chiều của không gian ảnh Im(f)đ-ợc gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f : U → V, kí hiệu r(f). Số chiều của không gian nhân Ker(f)
đ-ợc gọi là số khuyết của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu d(f).
Phép biến đổi tuyến tính f :V →V trên không gianV đ-ợc gọi là không suy biến nếu hạng của f bằngdimV, ng-ợc lạif đ-ợc gọi là suy biến.
Định lí trên còn đ-ợc viết d-ới dạng
r(f) +d(f) =n (số chiều của không gian nguồn)
Từ định lí trên dễ dàng chứng minh đ-ợc phép biến đổi tuyến tính f : V → V
không suy biến khi và chỉ khi
Định lí 3.4.4 Nếu ánh xạ tuyến tính f : U → V có ánh xạ ng-ợc thì ánh xạ ng-ợc f−1 :V →U cũng là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. Với y1,y2 ∈ V, ∃ x1,x2 ∈U sao cho y1 = f(x1),y2 = f(x2) hay
x1=f−1(y1),x2=f−1(y2). Ta có
f−1(α1y1+α2y2) =f−1 α1f(x1) +α2f(x2)) =f−1(f(α1x1+α2x2)
=α1x1+α2x2=α1f−1(y1) +α2f−1(y2).
Vậyf−1 là ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa 3.4.4 Hai không gian tuyến tính U vàV đ-ợc gọi là đẳng cấu tuyến tính (nói tắt là đẳng cấu) nếu tồn tại một song ánh tuyến tính từ U lên V.
Định lí 3.4.5 Điều kiện cần và đủ để hai không gian véctơ U và V đẳng cấu là
dimU = dimV.
Chứng minh. Giả sử f là song ánh tuyến tính từ U lênV. Theo định lí 3.4.3 dimKer(f) + dimIm(f) = dimỤ
Dof là song ánh nên dimKer(f) = 0,dimIm(f) = dimV. Từ hệ thức trên suy ra dimU = dimV.
Ng-ợc lại, nếu hai không gian véctơU vàV có số chiều bằng nhau, ánh xạ tuyến tính chuyển lần l-ợt các véctơ cơ sở của U vào các véctơ cơ sở của V là song ánh. Suy ra U và V đẳng cấụ
Chú ý rằng một song ánh tuyến tính từ U lên V chuyển một hệ sinh củaU
thành hệ sinh củaV, chuyển hệ các véctơ độc lập tuyến tính trong U thành hệ các véctơ độc lập tuyến tính trong V và do đó cũng chuyển một cơ sở của U
Ví dụ 3.4.3
Cho hai không gian véctơ U = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y+z = 0} và V = {(x, y,0) ∈ R3 | x, y ∈ R2}. (Về ph-ơng diện hình học, xét trong không gian có hệ trục tọa độ Đề các Oxyz, U là mặt phẳng đi qua O(0,0,0) và
V là mặt phẳng xOy). Dễ dàng chỉ ra dimU = dimV = 2, hai không gian véc tơ U và V đẳng cấụ Giữa hai không gian U và V tồn tại vô số song ánh tuyến tính, chẳng hạn phép chiếu vuông góc mọi điểm của mặt phẳng
U lên mặt phẳng xOy là song ánh tuyến tính
f :U →V, f(x, y, z) = (x, y,0).