III. thực hành dạy học giải một số dạng bài toán hình học không gian.
1 ;M thuộc đờng thẳng AB; N thuộc đờng thẳng
3.3. Các bài toán về quan hệ vuông góc.
3.3.1. Chứng minh tính vuông góc của các đờng thẳng và các mặt phẳng.
Ta có thể sử dụng một trong các cách sau để chứng minh đờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P).
- Chứng minh đờng thẳng a vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau nằm trong (P).
- Chứng minh đờng thẳng a song song với đờng thẳng b vuông góc với (P).
- Sử dụng định lý: "Nếu a chứa trong mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P)".
Ta có thể sử dụng một trong các cách sau để chứng minh 2 đờng thẳng vuông góc với nhau:
- Chứng minh 2 đờng thẳng đó cắt nhau và sử dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng.
- Chứng minh đờng thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đờng thẳng kia.
- Sử dụng định lý "3 đờng vuông góc".
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể:
- Chứng minh mặt phẳng này chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng đó có số đo bằng 90o.
Ví dụ 3.1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD; AC = BD; AD = BC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh IJ ⊥ AB; IJ ⊥ CD.
Giải:
Ta có: ∆ACD = ∆BCD (c.c.c)
và AJ, BJ là hai trung tuyến tơng ứng. Suy ra AJ = BJ. Hay ∆AJB cân tại J. Vì IJ là đờng trung tuyến, nên:
IJ ⊥ AB
Tơng tự, ta cũng có: IJ ⊥ CD.
Ví dụ 3.2: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1. Gọi P là trung điểm của AB; Q là giao điểm của BC1 và B1C. Chứng minh rằng D1Q ⊥ mp(PB1C).
Giải:
Ta có ∆D1B1C đều; Q là trung điểm của B1C nên D1Q ⊥ B1C (1).
Ta cần chứng minh: D1Q ⊥ PB1. Thật vậy, gọi R, S lần lợt là trung điểm của CD và CC1. Khi đó RC1 // PB1, QS ⊥ mp(CDD1C1) Suy ra: QS ⊥ RC1. Mặt khác: D1S ⊥ RC1, nên RC1⊥ (QSD1) Do đó: RC1⊥ QD1 ⇒ D1Q ⊥ PB1 (2). Từ (1) và (2) suy ra: D1Q ⊥ (PB1C).
Ví dụ 3.3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ mp(BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đờng cao BE và DF (cắt nhau tại O). Trong mặt phẳng (ADC) vẽ DK ⊥
AC tại K. Chứng minh mp(ADC) ⊥ mp(ABE) và mp(ADC) ⊥ mp(DFK). Giải: I B A D C J B B1 A1 D1 C1 C S Q D A P R B1
