III. thực hành dạy học giải một số dạng bài toán hình học không gian.
DF mp(ABC) AB
3.5. Các bài toán về tính góc.
+ Góc giữa hai đờng thẳng a, b đợc xác định: - Qua 1 điểm O bất kỳ dựng a'// a, b'// b. - Khi đó: (a, b) = (a', b').
+ Góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) đợc xác định:
- Tìm giao điểm A = a ∩ (P).
- Chọn điểm M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H. Khi đó: MAH = (a, (P)).
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) (góc phẳng nhị diện) đợc xác định: - Xác định cạnh c của nhị diện
(giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)).
- Dựng đoạn AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với một mặt của nhị diện.
- Xác định hình chiếu vuông góc H của A (hoặc B) trên c. Khi đó ((P), (Q)) = AHB. 75 A P a H M A P c H B D S A α γ β
Việc tính góc dựa vào việc sử dụng các hệ thức lợng trong tam giác.
Ví dụ 5.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = a, AD = a 3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính:
a. Góc giữa đờng thẳng SB và CD. b. Góc giữa đờng thẳng SD và mp(SAB). c. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Giải: a. Ta có: CD // AB, từ đó (SB, CD) = (SB, AB) = SBA = α
Vì tam giác SAB vuông cân tại đỉnh A nên α = 45o. Vậy (SB, CD) = 45o.
b. Ta có:
AD ⊥ SA AD ⊥ AB
Từ đó, SA là hình chiếu của SD lên mp(SAB). Do đó: (SD, (SAB)) = (SD, SA) = DSA = β
tgβ = 3 60o a 3 a SA AD = = ⇒ β= . Vậy (SD, (SAB)) = 60o. c. Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD CD ⊥ AD CD ⊥ SA
Dẫn đến góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) chính là SDA = γ
tgγ = 30o 3 3 3 a a AD SA = = ⇒ γ = .
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 30o. nên AD ⊥ (SAB)
Bài tập ôn luyện:
5.1. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a. Tính góc giữa cạnh bên và cạnh đáy.
b. Tính tang của góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
5.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 2. Cạnh SC = 1 và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. D, E lần lợt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính góc giữa 2 đờng thẳng CD và SE.
5.3. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 60o. Đờng thẳng SO vuông góc với mp(ABCD) và đoạn SO =
4a a 3
. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mp(SBC). Tính góc giữa (α) và mp(ABCD).
5.4. Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mp(P). Gọi β
và γ là góc hợp bởi 2 đờng thẳng AB, AC và mp(P). Gọi α là góc hợp bởi hai mặt phẳng (ABC) và (P). Chứng minh rằng: sin2α = sin2β + sin2γ
5.5. Cho tứ diện vuông OABC (vuông tại O). OA = a, OB = b, OC = c. Gọi α, β, γ lần lợt là góc hợp bởi các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) với mp(ABC). Chứng minh rằng: cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
IV. Kết luận.
Trong chơng này, chúng tôi đã đa ra 4 biện pháp dạy học nhằm rèn luyện một số năng lực t duy độc lập cho học sinh dựa trên định hớng chỉ đạo của 5 nguyên tắc dạy học đã đợc trình bày ở I.
Biện pháp 1: Khi dạy học các khái niệm, các định lý, chú trọng quan tâm tới việc xây dựng hệ thống các bài toán gốc nhằm định hớng tìm tòi lời giải các dạng toán khác nhau, tạo cơ sở để họ tự vơn tới giải các bài toán nâng cao ở mức độ khó khăn và các bài toán khó.
Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh thiết lập mối liên hệ giữa bài toán không gian và bài toán phẳng.
Biện pháp 3: Chuẩn bị kiến thức về mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng, trên cơ sở nắm vững các trờng hợp riêng để học sinh tự khám phá, tự đặt ra bài toán tổng quát và độc lập giải quyết.
Biện pháp 4: Khai thác các phơng pháp khác nhau khi giải các bài toán thông qua việc rèn luyện năng lực chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ hoặc trong nội tại ngôn ngữ hình học tổng hợp.
Ch
ơng III:
Thực nghiệm s phạm