7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
2.2.2. Biện phỏp 2: Kỹ năng khỏi quỏt húa bài toỏn từ đú phỏt hiện
và giải quyết vấn đề
Khỏi quỏt húa là việc chuyển từ việc nghiờn cứu một tập hợp đối tượng đó cho đến việc nghiờn cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, chỳng ta khỏi quỏt húa khi chuyển từ việc nghiờn cứu những tam giỏc sang việc nghiờn cứu những đa giỏc với số cạnh tựy ý. Chỳng ta cũng khỏi quỏt húa khi chuyển từ việc nghiờn cứu những hàm số lượng giỏc của gúc nhọn sang việc nghiờn cứu những hàm lượng giỏc của một gúc tựy ý.
Chỳng ta thường khỏi quỏt húa bằng cỏch chuyển từ chỗ chỉ xột một đối tượng sang việc xột toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đú. Tổng quỏt húa một bài toỏn thụng thường là mở rộng bài toỏn đú, nhưng khụng phải tất cả đều như vậy.
Nhiều khi, phỏt biểu lại bài toỏn dưới dạng tổng quỏt sẽ giỳp ta dễ hiểu hơn và cú khả năng tỡm được hướng giải dễ dàng hơn; bởi vỡ, lỳc đú ta sẽ chỳ trọng đến cỏc yếu tố bản chất của bài toỏn và bỏ qua những yếu tố khụng bản chất.
Vớ dụ: Giải phương trỡnh
(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 8 (*)
Nếu để dạng như trờn, thỡ đõy là tỡnh huống cú vấn đề, nhiều học sinh sẽ khụng biết giải bài toỏn như thế nào, cú nờn khai triển vế trỏi ra khụng? nếu khai triển sẽ xuất hiện phương trỡnh bậc 4 thỡ cú giải được khụng? hay nhúm cỏc đa thức, và nhúm như thế nào. Nhưng nếu ta tổng quỏt Bài toỏn trờn, đưa về Bài toỏn: "Giải phương trỡnh: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a, b, c, d, e thuộc R; a + d = b + c" thỡ bản chất của Bài toỏn (*) được bộc lộ rừ ràng hơn. Nhu cầu sử dụng giả thiết a + d = b + c sẽ gợi cho học sinh rằng, nờn nhúm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c). "Khỏi quỏt húa cú mối liờn hệ
mật thiết với trừu tượng húa. Trừu tượng húa là sự nờu bật và tỏch những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm khụng bản chất. Trừu tượng húa là điều kiện ắt cú nhưng chưa đủ để khỏi quỏt húa" (Nguyễn Bỏ Kim, Vương Dương
Minh, Tụn Thõn 1999, tr. 10).
Theo tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim: “Khỏi quỏt hoỏ là chuyển từ một tập hợp
đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cỏch nờu bật một số đặc điểm chung của cỏc phần tử trong tập hợp xuất phỏt”.
Cú thể núi trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lỳc đều cần đến phương phỏp tư duy khỏi quỏt. Đỳng như Đại văn hào Nga - Lep Tụnxtụi đó
núi: “Chỉ khi trớ tuệ của con người tự khỏi quỏt hoặc đó kiểm tra sự khỏi quỏt thỡ con người mới cú thể hiểu được nú”. Khụng cú khỏi quỏt thỡ khụng cú khoa học; khụng biết khỏi quỏt là khụng biết cỏch học. Khả năng khỏi quỏt là khả năng học tập vụ cựng quan trọng, khả năng khỏi quỏt Toỏn học là một khả năng đặc biệt” .
Trong số cỏc năng lực trớ tuệ thỡ năng lực khỏi quỏt hoỏ tài liệu Toỏn học là thành phần cơ bản nhất của năng lực toỏn học; điều này đó được cỏc nhà Sư phạm, nhà Toỏn học như: V. A. Krutecxki, A. I. Marcusờvich, Pellery, Tổ chức quốc tế UNESCO, ... khẳng định trong sơ đồ cấu trỳc năng lực toỏn học của mỡnh.
Trong mụn Toỏn THCS, núi riờng cú nhiều tỡnh huống liờn quan đến hoạt động khỏi quỏt hoỏ.
Vớ dụ:
- Khỏi quỏt hoỏ để hỡnh thành khỏi niệm; - Khỏi quỏt hoỏ để hỡnh thành định lý; - Khỏi quỏt hoỏ cỏc bài toỏn Toỏn học;
- Khỏi quỏt hoỏ để hỡnh thành phương phỏp giải lớp cỏc bài toỏn; - Khỏi quỏt hoỏ hướng suy nghĩ giải bài tập toỏn.
Mối quan hệ hữu cơ giữa khỏi quỏt hoỏ với những hoạt động trớ tuệ khỏc, cú thể khẳng định rằng, những hoạt động sau đõy cần được chỳ ý trong khi tập luyện hoạt động khỏi quỏt hoỏ: Phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, tương tự, trừu tượng hoỏ, đặc biệt hoỏ và hệ thống hoỏ, trong đú phõn tớch và tổng hợp đúng vai trũ nền tảng. Vỡ vậy, cần tạo điều kiện cho HS tập luyện hoạt động khỏi quỏt hoỏ trong mối quan hệ hữu cơ với những hoạt động trớ tuệ khỏc trờn cơ sở phõn tớch và tổng hợp. Sau đõy sẽ trỡnh bày mối quan hệ khỏi quỏt hoỏ với cỏc hoạt động trớ tuệ trờn:
So sỏnh bao gồm hai thành phần: phỏt hiện những đặc điểm chung và phỏt hiện những đặc điểm khỏc nhau ở một số đối tượng. Thành phần thứ nhất thường diễn ra trong quỏ trỡnh khỏi quỏt hoỏ. Thật vậy, nhiều khi người ta hay xuất phỏt từ việc phỏt hiện những đặc điểm chung của một số đối tượng để đi đến nhận thức cỏi tổng quỏt. Ta cần khai thỏc mối liờn hệ này giỳp HS tập luyện khỏi quỏt hoỏ trờn cơ sở so sỏnh những đối tượng, hiện tượng riờng lẻ.
Vớ dụ: Chứng minh phương trỡnh vụ nghiệm x2 - 2x + 2 = 0.
Thật là dễ dàng viết vế trỏi của phương trỡnh f(x) = (x - 1)2 + 1 nờn f(x) ≥ 1>0 với mọi x . Do đú phương trỡnh đó cho vụ nghiệm
Điều cốt lừi ở cỏch viết trờn là từ biểu thức x2 - 2x, ta biết phải thờm 1 đơn vị để cú (x - 1)2. Tại sao biết được điều đú ? Tại vỡ ta nhỡn x2 là bỡnh phương số thứ nhất, 2x là hai lần tớch số thứ nhất với số thứ hai nờn số thứ hai chớnh là 1, vậy phải thờm bỡnh phương số thứ hai tức là thờm 1. Điều đú chứng tỏ một số đối tượng học sinh đó biết so sỏnh với hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 đó được học.
Đõy là một kĩ năng mà cỏc bạn cần thành thạo để giải quyết nhiều bài toỏn.
Vớ dụ: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh ( dành cho học sinh khỏ giỏi)
3 3 2 ) 3 ( − − − + = x x y Thật vậy: y= (x−3)−2 x−3+3= (x−3)−2 x−3+1+2= ( x−3+1)2+2
Do đú y≥ 2 với mọi x ≥ 3. Đẳng thức xóy ra khi và chỉ khi x=3=1⇔x=4
+) Khỏi quỏt hoỏ và phộp tương tự
Phộp tương tự là phộp suy luận đi từ một số thuộc tớnh giống nhau của hai đối tượng để rỳt ra kết luận về những thuộc tớnh giống nhau khỏc của hai đối tượng đú. Kết luận của phộp tương tự cú thể đỳng, cú thể sai, nú cú tớnh chất dự đoỏn
i)Đối tượng A cú cỏc thuộc tớnh a1, a2, a3; ii) Đối tượng B cú cỏc thuộc tớnh a1, a2, a3, a4; Kết luận đối tượng A cú thuộc tớnh a4.
Núi về vai trũ của phộp tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toỏn học nổi tiếng người Mỹ G. Pụlya cú nhận xột: “Trong Toỏn học sơ cấp cũng như trong Toỏn học cao cấp, phộp tương tự cú lẽ cú mặt trong mọi phỏt
minh. Trong một số phỏt minh, phộp tương tự đúng vai trũ quan trọng hơn
cả”; cũn đối với nhà Thiờn văn học tài ba Kepler (người Đức), người đó phỏt minh ra ba định luật nổi tiếng trong Thiờn văn học thỡ: “Tụi vụ cựng biết ơn cỏc phộp tương tự, những người thầy đỏng tin cậy nhất của tụi, cỏc phộp tương tự đó giỳp tụi khỏm phỏ ra cỏc bớ mật của tự nhiờn, đó giỳp tụi vượt qua mọi trở ngại”
Ở đõy, chỳng ta chỉ xột những phộp tương tự theo nghĩa là chuyển từ một trường hợp riờng này sang một trường hợp riờng khỏc của cựng một cỏi tổng quỏt.
Như vậy, ta đó tập cho HS thực hiện phộp tương tự. Tuy nhiờn, khụng dừng lại ở đú mà cũn đi xa hơn, yờu cầu phỏt biểu bài toỏn tổng quỏt. Tức là yờu cầu họ từ những phộp tương tự tiến lờn khỏi quỏt hoỏ.
+) Khỏi quỏt hoỏ và trừu tượng hoỏ
Trừu tượng hoỏ là sự nờu bật và tỏch những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm khụng bản chất. Khỏi quỏt hoỏ cú mối liờn hệ mật thiết với trừu tượng hoỏ, trừu tượng hoỏ chớnh là để khỏi quỏt hoỏ, sẽ khụng khỏi quỏt hoỏ được theo những phương hướng đỳng đắn nếu khụng nắm được phương phỏp trừu tượng hoỏ, trừu tượng hoỏ là điều kiện ắt cú nhưng chưa đủ để khỏi
quỏt hoỏ. Khai thỏc mối liờn hệ này cú thể tạo điều kiện cho HS tập luyện trừu tượng hoỏ cựng với khỏi quỏt hoỏ. Trong khi đũi hỏi HS khỏi quỏt hoỏ
tượng hoỏ bằng cỏch bố trớ những trường hợp riờng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật nhưng khụng cần thiết cho việc dự đoỏn quy luật tổng quỏt.
Tỏc giả P.I.pitcatxixtur và B.I.Cosơtiaiev “phự hợp với dự đoỏn chỉ là
những thụng tin khoa học vào phản ỏnh cỏc mỗi liờn hệ và quan hệ; giữa cỏc hiện tượng và quỏ trỡnh, cỏc cỏch thức và thủ phỏp phỏt hiện ra chỳng và cú thể sắp đặt trờn cơ sở tuõn thủ một logớc nhất định”
Vớ dụ: Từ việc giải cỏc phương trỡnh: a. x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b. x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0
Hướng dẫn học sinh tự đưa ra dạng toỏn tổng quỏt và xõy dựng cỏch giải cho dạng toỏn này .
Khi đó xõy dựng được tường minh cỏch giải cho loại toỏn này thỡ vịờc ỏp
dụng giải cỏc bài toỏn cụ thể là khụng khú khăn. Tuy nhiờn là giỏo viờn chỳng ta khụng dừng lại ở đú mà tiếp tục khai thỏc, mở rộng dạng toỏn.
Chẳng hạn giải phương trỡnh : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0. Rừ ràng phương trỡnh khụng thuộc dạng phương trỡnh loại 1 hay loại 2 (hay phương trỡnh hồi quy hoặc phương trỡnh phản hồi quy) nhưng cú thể bắt chước cỏch giải hai loại phương trỡnh này.
Thật vậy: Vỡ x = 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh đó cho nờn chia cả
hai vế cho x2 ta được : (16x2 + 2
1 x ) - 8(4x - 1 x) + 8 = 0 Đặt t = 4x - 1 x, khi đú phương trỡnh trở thành: t2 - 8t + 16 = 0 ⇔ t = 4 Trở về giải x ta được : 1 2 x 2 ± =
Khỏi quỏt hoỏ dạng toỏn? Cú thể nờu ra cỏch giải cho dạng toỏn này được khụng?
Căn cứ vào mối quan hệ giữa cỏc hệ số của phương trỡnh cụ thể trờn 1 16= 2 8 ( ) 32
− , cú thể tổng quỏt hoỏ bài toỏn :
Giải phương trỡnh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (abe ≠0) với giả thiết
2
e d ( ) a = b
. Yờu cầu học sinh nờu cỏch giải ? (Đưa về phương trỡnh bậc hai bằng
cỏch đặt d t x ) bx = + .
Lớp cỏc bài toỏn cú thể tổng quỏt hoỏ từ bài toỏn cụ thể, từ đú xõy dựng cỏch giải tương ứng cho dạng toỏn đú là đa dạng và phong phỳ. Giỏo viờn cần khớch lệ học sinh tự tỡm tũi, khỏm phỏ, giỳp họ lĩnh hội kiến thức một cỏch chủ động, sỏng tạo.
Vớ dụ: Giải phương trỡnh
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = 0
Ta nhận thấy : Cỏc số ±1, ±3 khụng phải là nghiệm của đa thức, đa thức khụng cú nghiệm nguyờn, cũng như nghiệm hữu tỉ.
Để giải bài toỏn này đối với cỏc em học sinh THCS là một vấn đề. Nhưng nếu cỏc em cú kiến thức chắc chắn về phõn tớch đa thức thành nhõn tử, và kỹ năng sử dụng hệ số bất định thỡ bài toỏn này khụng cũn là vấn đề.
Như vậy nếu đa thức phõn tớch được thành nhõn tử thỡ phải cú dạng : (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hai đa thức ta cú: = − = + = + + − = + 3 14 12 6 bd bc ad d b ac c a a = -2, c = -4 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Lỳc này bài toỏn đó trở thành quen thuộc.