7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
2.2.Một số biện phỏp nhằm rốn luyện một số kỹ năng phỏt hiện và giả
2.2.1. Biện phỏp 1: Kỹ năng dựng dự đoỏn để phỏt hiện và giải quyết vấn đề
Trờn thực tế chưa cú một định nghĩa chớnh thức nào được cụng bố, nhưng theo Đào Văn Trung mụ tả: “Dự đoỏn là một phương phỏp tư tưởng
được ứng dụng rộng rói trong nghiờn cứu khoa học. Đú là căn cứ vào cỏc nguyờn lý và sự thật đó biết để nờu lờn những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay, dự đoỏn là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” (Đào Văn Trung
2001, tr. 242).
Khụng chỉ trong khoa học mà trong cuộc sống, dự đoỏn cũng được ứng dụng rất rộng rói: Đú là cỏc kết luận quy nạp của cỏc nhà Vật lý, những kết luận giỏn tiếp của Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của cỏc nhà Sử học, cỏc kết luận thống kờ của cỏc nhà Kinh tế (cổ phiếu, … dự đoỏn để đầu tư). Núi chung, "để trở thành nhà Toỏn học giỏi hay người đỏnh bài cừ, hoặc một chuyờn gia xuất sắc trong mọi lĩnh vực, bạn cần biết dự đoỏn" (G. Polia 1995, tr. 150).
Dự đoỏn cú vai trũ quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu cú cỏch nào học được dự đoỏn hay khụng? Theo G. Polia thỡ trừ những người được trời phỳ cho năng khiếu tự nhiờn, cũn lại chỳng ta cần phải học tập để cú được năng khiếu dự đoỏn đú. Quỏ trỡnh dự đoỏn cú kết quả khi phỏn đoỏn mà chỳng ta đưa ra gần với chõn lý nhất, để làm được điều đú "Cỏc bạn cần nghiờn cứu dự đoỏn của mỡnh, so sỏnh chỳng với cỏc sự kiện,
đổi dạng chỳng đi nếu cần, và như vậy sẽ cú kinh nghiệm phong phỳ (và sõu sắc) về cỏc dự đoỏn sai và cỏc dự đoỏn đỳng. Với kinh nghiệm đú trong tiềm thức, cỏc bạn sẽ cú thể phỏn đoỏn một cỏch cú cơ sở hơn, xem dự đoỏn nào đỳng và dự đoỏn nào sai" (G. Polia 1995, tr. 150,151).
Cũng theo Polya đỏnh giỏ, trong số những hoạt động trớ tuệ trong giải toỏn, dự đoỏn chiếm một vị trớ trung tõm. Chắc chắn chỳng ta phải đọc kỹ đề bài toỏn, từ đú cố gắng dự đoỏn phạm vi đi tỡm lời giải, phạm vi này cú thể cũn mơ hồ, thậm chớ cú thể cũn phần nào khụng đỳng. Trờn cơ sở của sự dự đoỏn ấy ta cú được sơ đồ, cỏi toàn thể ban đầu, cỏi tổng hợp,… nhằm giải quyết bài toỏn.
Theo Hoàng Chỳng: “phải dạy cho học sinh biết cỏc suy luận cú lý để
cú thể tự tỡm tũi, dự đoỏn cỏc quy luật của thế giới khỏch quan, tự mỡnh phỏt hiện và phỏt biểu vấn đề. Nhằm mục đớch ấy, cần tập cho học sinh biết thu thập cỏc số liệu, đỳc kết, lập bảng, đoỏn nghiệm… quan sỏt cỏc kết quả, rỳt ra cỏc kết luận khỏi quỏt cú tớnh chất dự đoỏn…”.
Những hỡnh thức dự đoỏn tương đối phổ biến trong mụn toỏn là: - Dự đoỏn bằng đặc biệt húa.
- Dự đoỏn bằng tương tự húa. - Dự đoỏn bằng tổng quỏt húa.
- Dự đoỏn bằng nhận xột trực quan và thực nghiệm.
Dự đoỏn được hiểu theo một nghĩa rất rộng mà trong đú rất quan trọng đú là đoỏn ra phương hướng giải quyết bài toỏn. Chẳng hạn như quan sỏt hỡnh thức bài toỏn ta thấy cỏc con số, cỏc ký hiệu hơi phức tạp thỡ nhiều khi nếu đoỏn được rằng bài toỏn ấy sẽ được giải theo con đường khụng mẫu mực, tỡm cỏch đỏnh giỏ chứ khụng phải là biến đổi theo cỏch thụng thường; việc dự đoỏn đụi khi lại đúng vai trũ then chốt trong quỏ trỡnh tỡm kiếm lời giải. Chẳng hạn, xột bài toỏn sau:
Vớ dụ 1 :Tỡm nghiệm của phương trỡnh sau:
y x xy y
x2 + 2 +1= + + .
Đối với học sinh THCS bài toỏn trờn là cú vấn đề, vượt qua khả năng của cỏc em và khụng thẻ giải phương trỡnh theo cỏch thụng thường được. Vỡ vậy:
Chỳng ta tiến hành phõn tớch đối tượng, ta nhận thấy đối tượng tư duy liờn quan là một tam thức bậc hai ẩn x( y là tham số), cũng cú thể đối tượng liờn
quan đến bỡnh phương của một tổng ( hằng đẳng thức đỏng nhớ - chủ thể đa quỏ quen thuộc. Đú là vấn đề của dự đoỏn. Chắc chắn chủ thể phải chọn ra cho mỡnh con đường mũ mẫm, biến đổi … để tỡm tũi cỏch giải. Tuy nhiờn,con
đường mà chủ thể chọn cú thể dẫn đến sai lầm, => chủ thể lại chọn con đường khỏc…Từ đú nhận thấy cỏch diễn đạt nào phự hợp với đối tượng, để cú thể tiến hành hoạt động giải toỏn. Điều này khụng phải mọi chủ thể đều cú thể thực hiện được. Nhưng đú là những con đường hỡnh thành tư duy và kỹ năng giải toỏn.
Để giải bài toỏn này, trước hết ta chuyển cỏc đối tượng từ vế phải sang vế trỏi của phương trỡnh.
0 1 2 2 + + − − − = ⇔x y xy x y 0 ) 1 ( 2 2 + 2 + − − − = ⇔ x y xy x y (nhõn hai vế với 2) 0 2 2 2 2 2 2 2 + 2 + − − − = ⇔ x y xy x y 0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( 2 − + 2 + 2 − + + 2 − + = ⇔ x xy y x x y y 0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( − 2 + − 2 + − 2 = ⇔ x y x y 1 0 1 0 1 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) ( 2 2 2 = = ⇔ = − = − = − ⇔ ≥ − ≥ − ≥ − ⇔ x y y x y x y x y x
Để cú năng lực dự đoỏn, học sinh cần được rốn luyện cỏc kỹ năng xem xột cỏc đối tượng toỏn học, cỏc quan hệ toỏn học trong mối quan hệ giữa cỏi chung và cỏi riờng, trong mối quan hệ nhõn quả; phỏt hiện những bước chuyển húa về lượng sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất; Xem xột đối tượng toỏn học trong sự mõu thuẫn và thống nhất giữa cỏc mặt đối lập; xem xột một đối tượng toỏn học đồng thời xem xột phủ định của đối tượng đú; kỹ năng thực
hiện cỏc thao tỏc tư duy phõn tớch- tổng hợp; đặc biệt húa – khỏi quỏt húa; năng lực liờn tưởng cỏc đối tượng.
Thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều giỏo viờn vỡ sợ thiếu thời gian nờn thường ỏp đặt cho học sinh trước những thao tỏc như: Biến đổi thờm, bớt biểu thức; phõn chia trường hợp riờng;... mà bỏ qua giai đoạn tỡm tũi dự đoỏn. Thực ra, cho học sinh mũ mẫm, tỡm tũi dự đoỏn đỳng là cú tốn thời gian gian thật, nhưng " sẽ được đền bự nhanh chúng khi tư duy độc lập của học sinh đó được phỏt triển".
Trong quỏ trỡnh học sinh dự đoỏn, dự rằng học sinh thành cụng hay thất bại, thỡ học sinh cũng đó tự giỏc nỗ lực tư duy và giỏo viờn cần phải trõn trọng điều đú. Rất cú thể học sinh đưa ra cõu trả lời về một vấn đề nào đú là khụng đỳng. Khi đú, giỏo viờn khụng nờn bỏc bỏ một cỏch độc đoỏn, khụng nờn đưa ra những lời bỏc bỏ như "Em đó đoỏn sai!", mà thay vào đú, giỏo viờn hóy đưa ra những phản vớ dụ để giỳp học sinh điều chỉnh lại hướng dự đoỏn của bản thõn họ. "Chỉ cú những hoạt động được giỏo viờn thường xuyờn khớch lệ, nhưng vẫn luụn luụn tự do trong việc mũ mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới cú thể đưa đến sự độc lập về mặt trớ tuệ". Nhưng mặt khỏc, nếu thầy giỏo biết rằng học sinh đó dự đoỏn đỳng, thỡ cũng khụng nờn núi ngay là "Em đó dự đoỏn đỳng!" thay vào đú, thầy cú thể núi: "Em cú thể kiểm tra lại dự đoỏn của mỡnh thờm một lần nữa khụng? bằng việc tiếp tục thử thờm một trường hợp nữa chẳng hạn!"
Trong quỏ trỡnh khỏm phỏ, khụng phải lỳc nào chỳng ta cũng đi đỳng hướng, cũng đưa ra được những phỏn đoỏn đỳng. Tớnh đỳng, sai của cỏc phỏn đoỏn cũn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định được. Nhưng dự thế nào đi nữa thỡ dự đoỏn cũng cú vai trũ thỳc đẩy sự phỏt triển của Toỏn học. Trong quỏ trỡnh phỏt triển mấy ngàn năm của Toỏn học, cỏc nhà Toỏn học đó khụng ngừng đưa ra những phỏn đoỏn và minh chứng.
Cú những phỏn đoỏn cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳng hạn như Định lý Fermat lớn, … nhưng sự cố gắng để đi đến chõn lý của cỏc nhà khoa học đó làm nảy sinh ra nhiều cỏi mới trong phương phỏp, trong lĩnh vực lý thuyết.
Một nhà toỏn học và sư phạm nổi tiếng đó núi: “Toỏn học được xem là một khoa học chứng minh. Nhưng đú chỉ là một khớa cạnh. Toỏn học, trỡnh bày dưới hỡnh thức hoàn chỉnh, gồm toàn những chứng minh (đú là cỏch trỡnh bày trong cỏc sỏch giỏo khoa). Nhưng toỏn học trong quỏ trỡnh sỏng tạo cũng giống như những khoa học khỏc trong quỏ trỡnh sỏng tạo. Cần phải dự đoỏn về một định lớ toỏn học trước khi chứng minh nú; cần phải dự đoỏn về đường lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh; cần phải sử dụng quan sỏt và tương tự, phải mũ mẫm! Kết quả của cụng trỡnh sỏng tạo của nhà toỏn học lf chứng minh một điều gỡ đú. Nhưng chứng minh đú được phỏt hiện bằng những suy luận cú lớ, bằng những dự đoỏn… Chớnh vỡ vậy chỳng ta phải luụn rốn luyện kỹ năng dự đoỏn, quan sỏt, mũ mẫm…, tức là tập dượt làm những việc mà một người nghiờn cứu toỏn học,…, phải làm.
Vớ dụ 2: ( dành cho học sinh khỏ giỏi lớp 9) Giả sử u là số nguyờn dương lẻ cho trước. Hóy tỡm xem phương trỡnh sau đõy: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4u = x2 + y2 + z2 + w2 cú bao nhiờu nghiệm nguyờn dương lẻ (một nghiệm nguyờn dương lẻ của phương trỡnh trờn là một bộ cỏc giỏ trị nguyờn dương lẻ của x, y, z, w thỏa món phương trỡnh đú).
Thớ dụ khi u = 1 thỡ phương trỡnh cú dạng: 4 = x2 + y2 + z2 + w2 và chỉ cú một nghiệm nguyờn dương lẻ là x = y = z = w =1 ( x = 2, z = y = w = 0 khụng phải nghiệm nguyờn dương lẻ của phương trỡnh).
Để giải bài toỏn này, trước hết ta phải là gỡ?
Bài toỏn chưa cho biết số phải tỡm là bao nhiờu, nú phụ thuộc vào u như thế nào. Vỡ vậy, trước tiờn ta phải tỡm cỏch dự đoỏn điều đú. Phương phỏp và
kỹ năng thường dựng là giải bài toỏn trong một số trường hợp đặc biệt, phõn tớch, so sỏnh cỏc trường hợp đặc biệt này để dự đoỏn quy luật tổng quỏt.
Ở trờn ta đó xột trường hợp u = 1;
Trường hợp 2: Cho u = 3 thỡ phương trỡnh cú dạng
12 = x2 + y2 + z2 + w2 số chớnh phương dưới 12 chỉ là 1 và 9 do đú ta cú: 12 = 9 + 1 + 1 + 1 ( x = 3, y = z = w = 1)
= 1 + 9 + 1 + 1 ( y = 3, x = z = w = 1) = 1+ 1 + 9 + 1 ( z = 3, x = y = w = 1) = 1+ 1 + 1 + 9 (w = 3, x = y = z = 1)
Như vậy, khi u = 3 phương trỡnh cú bốn nghiệm nguyờn dương lẻ Xột tiếp trường hợp 3: u = 5 thỡ phương trỡnh cú dạng
20 = x2 + y2 + z2 + w2 số chớnh phương dưới 20 chỉ là 1 và 9 do đú ta cú: 20 = 9 + 9 + 1 + 1 ( x = y = 3, z = w = 1) = 9 + 1 + 9 + 1 ( x = z = 3, y = w = 1) = 1 + 9 + 1 + 9 ( y = w = 3, x = z = 1) = 1+ 9 + 9 + 1 ( y = z = 3, x = w = 1) = 9 + 9 + 1 + 1 ( x = y = 3, z = w = 1) = 1 + 1 + 9 + 9 ( x = y = 1, z = w = 3)
Phương trỡnh trờn cú 6 nghiệm nguyờn dương lẻ.
Gọi S(u) số nghiệm nguyờn dương lẻ của phương trỡnh đó cho, ta cú:
u 1 3 5
S(u) 1 4 6
Như vậy ta cú thể dư đoỏn S(u) = 1 khi u = 1, cũn S(u) = u + 1 khi u >1 chăng? Ta phải lại dự đoỏn này, bằng cỏch xột thờm một số trường hợp đặc biệt khỏc. Cho u = 7, ta cú phương trỡnh 28 = x2 + y2 + z2 + w2 số chớnh phương dưới 28 chỉ là 1, 9 và 25 do đú ta cú:
= 9 + 9 + 9 + 1 ( từ đõy ta cú 4 nghiệm)
Và như vậy, ta cú tất cả là 8 nghiệm, nghĩa là với u = 7 thỡ cũng cú S(u) = u +1 =8, và dự đoỏn là đỳng. Ta tiếp tục thờm.
Cho u = 9, ta cú phương trỡnh 36 = x2 + y2 + z2 + w2 số chớnh phương dưới 28 chỉ là 1, 9 và 25 do đú ta cú:
36 = 9 + 9 + 9 + 9 (cú 1 nghiệm)
= 25 + 9 + 9 + 1 ( từ đõy ta cú 12 nghiệm)
Và như vậy với u = 9 ta cú tất cả là 13 nghiệm tức là S(u) > u +1 dự đoỏn trờn đõy của ta là sai. Vạy quy luật phụ thuộc của S(u) vào u là gỡ?
Chỳng ta kiờn nhẫn xột thờm một số trường hợp đặc biệt nữa. với u = 11, 12, 13 dự đoỏn của ta lại đỳng. Nhưng với u = 15 thỡ khỏc. Ta ghi cỏc kết quả vào bảng sau:
u 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
S(u) 1 4 6 8 13 12 14 24 18 20 32 24 31
Quy luật ở đõy là gỡ? Ta thấy với u là số nguyờn tố thi dự đoỏn của ta là đỳng, ta chỳ ý trong bảng ta vừa lập với u là số chớnh phương, hợp số thỡ qu luật nú như thế nào?
Như vậy ta thấy rằng:
1Nếu u là số nguyờn tố p thỡ S(u) = p +1
Nếu u là tớch của hai số nguyờn tố p.q thỡ S(u) = (p + 1)(q + 1) Nếu u là số chớnh phương a2 thỡ S(u) = a2 + a + 1
Phải chăng chõn lớ đó hộ mở, vấn đề được giải quyết. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Túm lại: Dự đoỏn, suy luận cú lý đúng vai trũ quan trọng trong khoa học Toỏn học. Nú khụng những đi đến phỏt hiện và sỏng tạo mà cũn dẫn đến thành cụng. Vậy phải làm thế nào để học được dự đoỏn suy luận cú lý?
"Ai cũng biết rằng Toỏn học cú khả năng tuyệt diệu dạy ta cỏch suy luận chứng minh, nhưng tụi cũng khẳng định rằng, trong cỏc chương trỡnh học
tập thụng thường của cỏc trường học, khụng cú mụn học nào cú khả năng như vậy để dạy chỳng ta cỏch suy luận cú lý".
Cũng theo G. Polia thỡ khụng cú một phương phỏp bảo đảm tuyệt đối việc học thụng thạo cỏch dự đoỏn. Cho nờn "ỏp dụng một cỏch cú hiệu quả
cỏc suy luận cú lý là một kỹ năng thực hành, và kỹ năng đú cũng như mọi kỹ năng thực hành khỏc đều học được bằng con đường bắt chước và thực hành".
Vỡ khụng nờu thành phương phỏp ỏp dụng cho đại đa số cỏc bài toỏn, nờn trong quỏ trỡnh dạy học, giỏo viờn rốn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoỏn, suy luận cú lý thụng qua thực hành giải toỏn.
Tất nhiờn, đõy cũng chỉ là dự đoỏn. Dự đoỏn ấy được khẳng định hay bỏc bỏ tựy thuộc vào người giải toỏn cú đi tiếp được đến "đớch" hay khụng.
Đến đõy hướng giải quyết bài toỏn đó được mở ra. Vấn đề cũn lại là trỡnh bày lời giải. Và tất nhiờn, những dự đoỏn ấy khụng nhất thiết phải trỡnh bày trong bài giải, nhưng nếu thiếu những thao tỏc tư duy ấy, liệu chỳng ta cú tỡm ra được lời giải Bài toỏn hay khụng?
Giỏo viờn cần phải giải thớch rừ, khụng thể lấy những điều dự đoỏn thay thế cho chứng minh toỏn học được. Tớnh chớnh xỏc là một trong những đặc điểm cơ bản của mụn Toỏn. Để khẳng định một điều gỡ đú, cỏc em phải sử dụng suy luận chứng minh.
2.2.2. Biện phỏp 2: Kỹ năng khỏi quỏt húa bài toỏn từ đú phỏt hiệnvà giải quyết vấn đề và giải quyết vấn đề
Khỏi quỏt húa là việc chuyển từ việc nghiờn cứu một tập hợp đối tượng đó cho đến việc nghiờn cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, chỳng ta khỏi quỏt húa khi chuyển từ việc nghiờn cứu những tam giỏc sang việc nghiờn cứu những đa giỏc với số cạnh tựy ý. Chỳng ta cũng khỏi quỏt húa khi chuyển từ việc nghiờn cứu những hàm số lượng giỏc của gúc nhọn sang việc nghiờn cứu những hàm lượng giỏc của một gúc tựy ý.
Chỳng ta thường khỏi quỏt húa bằng cỏch chuyển từ chỗ chỉ xột một đối tượng sang việc xột toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đú. Tổng quỏt húa một bài toỏn thụng thường là mở rộng bài toỏn đú, nhưng khụng phải tất cả đều như vậy.
Nhiều khi, phỏt biểu lại bài toỏn dưới dạng tổng quỏt sẽ giỳp ta dễ hiểu hơn và cú khả năng tỡm được hướng giải dễ dàng hơn; bởi vỡ, lỳc đú ta sẽ chỳ trọng đến cỏc yếu tố bản chất của bài toỏn và bỏ qua những yếu