Khi xˆay du..ng l´y thuˆe´t h`am chı’nh h`ınh ta c´o thˆe’ xuˆa´t ph´at t`u. c´ac di.nh ngh˜ıa tu.o.ng du.o.ng nhau vˆ` h`am chı’nh h`ınh trong miˆee `nD. Diˆ`u d´o du..a trˆen co. so.’e l`a l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D c´o thˆe’du.o..c d˘a.c tru.ng bo.’ i nh˜u.ng
t´ınh chˆa´t d˘a. c biˆe.t kh´ac nhau nhu.ng tu.o.ng du.o.ng nhau. Do vˆa.y hˆe. thˆo´ng tr`ınh b`ay l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c phu. thuˆo.c nhiˆe`u v`ao viˆe.c cho.n t´ınh chˆa´t n`ao trong sˆo´ d´o l`am di.nh ngh˜ıa xuˆa´t ph´at.
Sau dˆay l`a nh˜u.ng t´ınh chˆa´t quan tro.ng nhˆa´t d˘a.c tru.ng cho t´ınh chı’nh h`ınh cu’a h`am f(z) trong miˆ`ne D. O’ dˆay ta gia’ thiˆe´t. D l`a miˆ`n do.n liˆen v`ae ta k´y hiˆe.u f(z) =u(x, y) +iv(x, y),z =x+iy.
T´ınh chˆa´t C. H`am f(z) c´o da.o h`amf0(z) ta.i mo.i diˆe’m cu’a miˆe`n D.
T´ınh chˆa´tR. Trong miˆ`ne D phˆ` n thu..ca u(x, y) v`a phˆ` n a’oa v(x, y) c´o c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 liˆen tu.c v`a tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n Cauchy - Riemann
∂u ∂x = ∂v ∂y; ∂u ∂y =− ∂v ∂x·
T´ınh chˆa´t J. Gia’ thiˆe´t h`am f(z) liˆen tu.c trong miˆe`n D. T´ınh chˆa´t J
du.o..c ph´at biˆe’u bo.’i mˆo.t trong hai da.ng tu.o.ng du.o.ng sau. (J1) V´o.i hai diˆe’m a v`a bthuˆo.cD bˆa´t k`y, t´ıch phˆan
Z
L(a,b)
f(z)dz lˆa´y theo
du.`o.ng cong do du.o..c L(a, b) di t`u. diˆe’m a dˆe´n diˆe’m bl`a khˆong phu. thuˆo.c v`ao du.`o.ng lˆa´y t´ıch phˆan L(a, b) m`a chı’ phu. thuˆo.c v`ao h`amf(z), diˆe’m dˆ` ua a v`a diˆe’m cuˆo´i bcu’a L.
(J2) V´o.i du.`o.ng cong d´ong do du.o..c bˆa´t k`yLn˘a`m trong miˆe`nD t´ıch phˆan
Z
L
f(z)dz lˆa´y theo du.`o.ng cong d´o l`a b˘a`ng khˆong.
T´ınh chˆa´tW. V´o.i mo.i diˆe’ma∈D h`am f(z) khai triˆe’n du.o..c th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a v´o.i tˆam ta.ia, t´u.c l`a: ∀a∈D, ∃(An), An=An(a) sao cho chuˆo˜i
X
n>0
An(z−a)n
hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on{z :|z−a|< R}n`ao d´o (b´an k´ınh hˆo.i tu.R phu. thuˆo.c v`ao a) v`a c´o tˆo’ng b˘a`ng f(z)).
Ta c´o
D- i.nh l´y 4.1.11. C´ac t´ınh chˆa´tC, R, J v`a W l`a tu.o.ng du.o.ng v´o.i nhau. Ch´u.ng minh. Ta cˆ` n ch´a u.ng minh lu.o..c dˆo` sau dˆay
C =⇒ R ~ w w w w W ⇐=J
1+ Diˆ`u kh˘a’ng di.nhe C =⇒ Rdu.o..c ch´u.ng minh trong di.nh l´y 6.3 (vˆe` diˆe`u kiˆe.n cˆa` n dˆe’ h`am f(z) l`aC - kha’ vi) v`a di.nh l´y 11.14 vˆe` su.. tˆo` n ta.i da.o h`am mo.i cˆa´p cu’a h`am chı’nh h`ınh.
2+ Diˆ`u kh˘a’ng di.nhe R =⇒J du.o..c ch´u.ng minh bo.’i di.nh l´y 10.3.
3+ Diˆ`u kh˘a’ng di.nhe J =⇒ W du.o..c ch´u.ng minh bo.’i di.nh l´y Cauchy - Taylor.
4+ Sau c`ung, diˆ`u kh˘a’ng di.nhe W =⇒ C du.o..c ch´u.ng minh trong di.nh l´y 6.9 vˆ` t´ınh chı’nh h`ınh cu’a chuˆo˜i l˜e uy th`u.a trong h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a n´o.
Xuˆa´t ph´at t`u. c´ac quan diˆe’m kh´ac nhau nhu. vˆa.y nˆen c´ac thuˆa.t ng˜u. du.o..c d`ung c˜ung kh´ac nhau. T`u. di.nh l´y 4.1.11 c´ac thuˆa.t ng˜u. sau dˆay du.o..c xem l`a dˆ` ng ngh˜ıao
“h`am chı’nh h`ınh” ≡ “h`am gia’i t´ıch” ≡ ≡ “h`am dˆ`ue ” ≡ “h`am ch´ınh quy”
ho˘a.c c`on d`ung thuˆa.t ng˜u. “h`am nguyˆen trong miˆ`ne D”. O’ dˆay, thuˆa.t ng˜u.. h`am chı’nh h`ınh du.o..c d`ung dˆa` u tiˆen bo.’ i c´ac ho.c tr`o cu’a Cauchy. Thuˆa.t ng˜u. “h`am gia’i t´ıch” du.o..c d`ung dˆa` u tiˆen bo.’ i Lagrange v`a sau d´o bo.’ i Weierstrass. Trˆen thu..c tˆe´ O. Cauchy (1784 - 1857) d˜a di.nh ngh˜ıa h`am chı’nh h`ınh bo.’i t´ınh chˆa´tC (du..a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t kha’ vi cu’a h`am) m˘a.c d`u khi ch´u.ng minh di.nh l´y t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´u.c t´ıch phˆan co. ba’n I) ˆong d˜a thˆem gia’ thiˆe´t c´o t´ınh chˆa´t k˜y thuˆa.t l`a da.o h`am f0(z) pha’i liˆen tu.c trong D. Nhu.ng diˆ`u d´o d˜a du.o..c kh˘a´c phu.c bo.’i Goursat v`a Pringsheim vˆe` sau.e
C`ung th`o.i v´o.i Cauchy, nh`a to´an ho.c D´u.c B. Riemann (1826 - 1866) d˜a xuˆa´t ph´at t`u. t´ınh chˆa´t R. Phu.o.ng ph´ap n`ay du.a dˆe´n su.. kha’o s´at dˆo` ng th`o.i c˘a.p h`am diˆe`u h`oa liˆen ho..puv`avtrong miˆ`ne D liˆen hˆe. v´o.i nhau bo.’i diˆe`u kiˆe.n Cauchy - Riemann v`a x´ac di.nh h`am chı’nh h`ınh du.´o.i da.ngf(z) =u(z)+iv(z). Ngu.`o.i tiˆe´p theo x´ac lˆa.p co. so.’ l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c theo mˆo.t c´ach kh´ac l`a K. Weierstrass (1815 - 1897). Weierstrass d˜a su.’ du.ng t´ınh khai triˆe’n du.o..c cu’a h`am th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a (t´u.c l`a t´ınh chˆa´tW) dˆe’ l`am di.nh ngh˜ıa. Sau c`ung, dˆe’ thu du.o..c c´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh v`a d˘a.c biˆe.t l`a thu du.o..c nhanh cˆong th´u.c t´ıch phˆan Cauchy ngu.`o.i ta d˜a su.’ du.ng t´ınh chˆa´tJ. Ngu.`o.i dˆ` u tiˆen kha’o s´at c´ac t´ınh chˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh du..aa trˆen quan diˆe’m n`ay l`a Osgood: H`am liˆen tu.c f(z) trong miˆ`n do.n liˆene D
du.o..c go.i l`a h`am chı’nh h`ınh trong miˆe`n d´o nˆe´u v´o.i du.`o.ng cong d´ong do du.o..c
Lbˆa´t k`y thuˆo.c miˆe`nD th`ı t´ıch phˆan
Z
L
f(z) lˆa´y theo du.`o.ng cong d´o l`a b˘a`ng
0.
b˘a`ng nh˜u.ng phu.o.ng ph´ap kh´ac nhau du..a trˆen c´ac di.nh ngh˜ıa xuˆa´t ph´at d˜a nˆeu.
1. Tˆo’ng cu’a hai h`am chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D l`a h`am chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D.
Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ f1, f2 ∈ H(D).
(C). Nˆe´uf1 v`af2 kha’ vi ta.i diˆe’m z ∈D t`uy ´y th`ıf1+f2 c˜ung kha’ vi ta.i d´o v`a ta.i d´o n´o c´o da.o h`am mo.i cˆa´p.
(R). D˘a.t f1(z) =u1(x, u) +iv1(x, y); f2(z) = u2(x, y) +iv2(x, y). Khi d´o
f1(z) +f2(z) = [u1(x, y) +u2(x, y)] +i[v1(x, y) +v2(x, y)].
V`ı mo.i da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 cu’a h`am u1, u2, v1, v2 tˆ` n ta.i v`a liˆen tu.c nˆeno c´ac h`am u1+u2 v`av1+v2 c˜ung c´o t´ınh chˆa´t d´o. Ngo`ai ra t`u. c´ac diˆ`u kiˆe.ne
∂u1 ∂y = ∂v1 ∂y ∂u1 ∂y =− ∂v1 ∂x v`a ∂u2 ∂x = ∂v2 ∂y ∂u2 ∂y =− ∂v2 ∂x suy ra ∂(u1+u2) ∂x = ∂(v1+v2) ∂y , ∂(u1+u2) ∂y =− ∂(v1+v2) ∂x ,
t´u.c l`a f1(z) +f2(z) chı’nh h`ınh theo di.nh ngh˜ıa R.
(J). Dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong d´ong do du.o..c Γ bˆa´t k`y trong miˆe`nD ta c´o
Z Γ f1(z)dz = 0 Z Γ f2(z)dz = 0 =⇒ Z Γ [f1(z) +f2(z)]dt= 0
t´u.c l`a h`am f1+f2 chı’nh h`ınh theo di.nh ngh˜ıa J. (W). Nˆe´u c´ac chuˆo˜i l˜uy th`u.a
f1(z) =X
n>0
v`a
f2(z) =X
n>
a00n(z−a)n
hˆo.i tu. trong lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m a t`uy ´y n`ao d´o cu’a miˆ`ne D th`ı chuˆo˜i
f1(z) +f2(z) =X
n>0
(a0n+a00n)(z−a)n
c˜ung hˆo.i tu. trong lˆan cˆa.n d´o v`a h`amf1(z) +f2(z) chı’nh h`ınh theo di.nh ngh˜ıa (W).
2. Nˆe´u f1, f2 ∈ H(D) th`ıf1f2 ∈ H(D), f1
f2
∈ H(D), f2 6= 0 trong miˆ`ne
D.
Ch´u.ng minh. 1+ Viˆe.c ch´u.ng minh f1f2 ∈ H(D) theo di.nh ngh˜ıa C l`a khˆong c´o g`ı kh´o kh˘an. Ph´ep ch´u.ng minh theo di.nh ngh˜ıaW (ph´ep nhˆan chuˆo˜i) hay di.nh ngh˜ıa R tuy ph´u.c ta.p nhu.ng dˆe`u dˆa˜n dˆe´n kˆe´t qua’ mong muˆo´n. Viˆe.c ch´u.ng minh t´ınh chı’nh h`ınh cu’a f1·f2 b˘a`ng di.nh ngh˜ıa J to’ ra khˆong th´ıch ho..p.
2+ Dˆe’ ch´u.ng minh f1
f2
∈ H(D) do.n gia’n ho.n ca’ l`a d`ung di.nh ngh˜ıa C. Ph´ep ch´u.ng minh du..a v`ao di.nh ngh˜ıaW rˆa´t ph´u.c ta.p: d´o l`a ph´ep chia chuˆo˜i cho chuˆo˜i theo phu.o.ng ph´ap hˆe. sˆo´ bˆa´t di.nh (di.nh l´y 4.1.10).
3. Nˆe´u h`am W =ϕ(z) chı’nh h`ınh ta. i diˆe’m z0, c`on h`am f(w) chı’nh h`ınh ta. i w0 =ϕ(z0) th`ı h`am f(ϕ(z))chı’nh h`ınh ta. i diˆe’m z0.
Ch´u.ng minh. Ph´ep ch´u.ng minh du..a v`ao di.nh ngh˜ıa C l`a hiˆe’n nhiˆen v`ı n´o thu du.o..c t`u. quy t˘a´c da.o h`am cu’a h`am ho..p. Nˆe´u ´ap du.ng di.nh ngh˜ıa (W) th`ı ph´ep ch´u.ng minh ph´u.c ta.p ho.n do ph´ep thˆe´ chuˆo˜i v`ao chuˆo˜i (di.nh l´y 4.1.9).