Mˆo.t hiˆe.n tu.o..ng rˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a l´o.p h`am m`a ta d˜a t´ach ra t`u. tˆa.p ho..p c´ac h`am biˆe´n ph´u.c tˆo’ng qu´at b˘a`ng diˆe`u kiˆe.n C-kha’ vi t´u.c l`a l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh H(D) mang mˆo.t t´ınh chˆa´t nˆo.i ta.i rˆa´t ch˘a.t ch˜e. T´ınh chˆa´t nˆo.i ta.i d´o cho ph´ep ta du.a ra mˆo.t kˆe´t luˆa.n x´ac di.nh vˆe` d´ang diˆe.u cu’a h`am ˆa´y trong miˆ`n con du’ b´e thuˆo.c miˆe`ne D. Ta c´o di.nh l´y sau dˆay mˆo ta’ t´ınh chˆa´t d´o go.i l`adi.nh l´y duy nhˆa´t.
D- i.nh l´y 4.2.2. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D v`a triˆe.t tiˆeu trˆen tˆa. p ho..p vˆo ha.n E ⊂D n`ao d´o c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t diˆe’m tu. n˘a`m trong D th`ı
f(z) = 0 ∀z ∈D.
Ch´u.ng minh. I. Dˆ` u tiˆen ta x´et tru.`o.ng ho..p tˆa.p ho..pa E c´o diˆe’m tu. h˜u.u ha.n
a∈D. Ph´ep ch´u.ng minh du.o..c chia th`anh c´ac bu.´o.c sau. 1+ H`am f c´o khai triˆe’n Taylor
Thˆa.t vˆa.y, v`ı h`am f liˆen tu.c ta.i diˆe’m a nˆen f(a) = 0. Tiˆe´p d´o, v`ıf chı’nh h`ınh ta.i diˆe’ma nˆen n´o khai triˆe’n du.o..c th`anh chuˆo˜i Taylor ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m
a v`a do f(a) = 0 nˆen ta c´o (4.24).
2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng ak = 0 ∀k = 1,2, . . .. Gia’ su.’ ngu.o..c la.i: tˆo` n ta.i nh˜u.ng hˆe. sˆo´ kh´ac 0. Gia’ su’.am l`a hˆe. sˆo´ kh´ac 0 v´o.i sˆo´ hiˆe.u nho’ nhˆa´t, t´u.c l`a
a1 =a2 =· · ·=am−1 = 0, am 6= 0. Khi d´o
f(z) = (z−a)m[am+am+1(z−a) +. . .], am6= 0. (4.25)
T`u. (4.25) suy r˘a`ng trong lˆan cˆa.n thu’ng du’ b´e cu’a diˆe’m z = a ca’ hai th`u.a sˆo´ cu’a vˆe´ pha’i (4.25) dˆ`u kh´ac 0. Nhu.ng diˆee `u d´o la.i mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t r˘a`ng z =a l`a diˆe’m tu. cu’a 0-diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınh f. Nhu. vˆa.y gia’ thiˆe´t cu’a ta l`a sai v`aak = 0 ∀k >1. Nhu.ng khi d´o f(z)≡0 trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’ma v´o.i b´an k´ınh b˘a`ng khoa’ng c´ach t`u. diˆe’m a dˆe´n biˆen cu’a miˆ`ne D. 3+ Bˆay gi`o. ta ch´u.ng minh r˘a`ng f(z) ≡ 0 trong to`an miˆ`ne D. Gia’ su.’ ngu.o..c la.i: ta.i diˆe’mz =bh˜u.u ha.n n`ao d´o f(b)6= 0, b∈D. Ta nˆo´i diˆe’mav´o.i diˆe’m bbo.’ i du.`o.ng cong `=`(a, b)⊂D v`a k´y hiˆe.u δ= dist(`, ∂D) l`a khoa’ng c´ach t`u. du.`o.ng cong ` dˆe´n biˆen ∂D, δ > 0. Ta phu’ du.`o.ng cong ` bo.’ i c´ac h`ınh tr`on b´an k´ınhδ sao cho h`ınh tr`on th´u. nhˆa´t c´o tˆam ta.i a, h`ınh tr`on tiˆe´p theo c´o tˆam ta.i giao diˆe’m cu’a du.`o.ng tr`on th´u. nhˆa´t v´o.i du.`o.ng cong `, . . .
Theo ch´u.ng minh trong 2+ ta c´o f(z)≡0 trong h`ınh tr`on th´u. nhˆa´t v`a tˆam cu’a h`ınh tr`on th´u. hai l`a diˆe’m tu. cu’a c´ac khˆong-diˆe’m cu’a h`am f(z). Do vˆa.y
f(z)≡0 trong h`ınh tr`on th´u. hai. Lˆa.p luˆa.n tu.o.ng tu.. ta thu du.o..c f(z) ≡0 trong mo.i h`ınh tr`on v`a d˘a.c biˆe.t l`a f(b) = 0. Tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t. Nhu. vˆa.y
f(z) ≡ 0 ta.i mo.i diˆe’m h˜u.u ha.n cu’a miˆe`n D. Nˆe´u h`am f chı’nh h`ınh ta.i ∞
th`ı theo t´ınh liˆen tu.c ta c´o f(∞) = 0, t´u.c l`a f(z)≡0 trong D.
II. Tru.`o.ng ho..p tˆa.p E c´o diˆe’m tu. duy nhˆa´t ta.i ∞. Ta x´et h`am f(w) =
f1
w
. H`am n`ay chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D∗ l`a a’nh cu’a miˆ`ne D qua ´anh xa.
w= 1
z. Tˆa.p ho..p E c´o a’nh qua ´anh xa.w= 1
z l`a tˆa.p ho..p E∗ n`ao d´o c´o diˆe’m tu.w= 0 thuˆo.c miˆe`nD∗. Lˆa.p luˆa.n nhu. trˆen ta c´o: F(w) = 0 trong D∗. Do d´o f(z)≡0 trong D. Di.nh l´y du.o..c ch´u.ng minh ho`an to`an.
Hˆe. qua’ 4.2.1. (nguyˆen l´y cˆo lˆa.p cu’a 0-diˆe’m h`am chı’nh h`ınh)
Mo. i 0-diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınh khˆong dˆ` ng nhˆo a´t b˘a`ng 0 dˆe`u cˆo lˆa. p, t´u.c l`a dˆo´i v´o.i mˆo˜i 0-diˆe’m n˘a`m trong D cu’a h`am f 6≡ 0 dˆ`u tˆe ` n ta.i lˆan cˆa.n m`ao trong d´o h`am f khˆong c´o mˆo. t 0-diˆe’m n`ao kh´ac ngo`ai 0-diˆe’m d´o.
Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ tˆ` n ta.i 0-diˆe’mo z =a cu’a h`am f 6≡0 m`a trong lˆan cˆa.n bˆa´t k`y cu’a n´o c`on tˆ` n ta.i c´ac 0-diˆe’m kh´ac cu’ao f. Khi d´o sˆo´ 0-diˆe’m d´o l`a vˆo sˆo´ v`a dˆo´i v´o.i ch´ung diˆe’m z = a l`a diˆe’m tu.. T`u. d´o theo di.nh l´y duy nhˆa´t
f(z) ≡ 0 trong D. Diˆ`u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t r˘a`nge f(z) 6≡ 0 trong
D.
Hˆe. qua’ 4.2.2. Nˆe´u h`amf chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D v`a ta. i diˆe’m a ∈D n`ao d´o h`am f v`a mo. i da. o h`am cu’a n´o dˆ`u triˆe.t tiˆeu th`ıe f(z)≡0 trong D. Ch´u.ng minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’ma ∈D nˆen trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m a n´o khai triˆe’n du.o..c th`anh chuˆo˜i Taylor. Theo diˆe`u kiˆe.n cu’a hˆe. qua’ ta c´o f(n)(a) = 0 ∀n>0 nˆen
an = f
(n)(a)
n! = 0 ∀n≥0.
Diˆ`u d´o c˜e ung c´o ngh˜ıa l`a f(z) ≡ 0 trong lˆan cˆa.n d´o. Lˆa´y lˆan cˆa.n n`ay l`am tˆa.p ho..p E v`a ´ap du.ng di.nh l´y duy nhˆa´t ta c´o f(z)≡0 trong D.
Hˆe. qua’ 4.2.3. Nˆe´u f1, f2 ∈ H(D) v`a f1(z) =f2(z) trˆen tˆa. p ho..p E n`ao d´o n˘a`m trong D v`a c´o diˆe’m tu. thuˆo. c D th`ıf1(z)≡f2(z) trong D.
Ch´u.ng minh. Hˆe. qua’ 4.2.3 thu du.o..c b˘a`ng c´ach ´ap du.ng di.nh l´y duy nhˆa´t cho h`am f(z) =f1(z)−f2(z).
Nhˆa. n x´et 4.2.1. Bˆen ca.nh di.nh l´y duy nhˆa´t d˜a du.o..c ch´u.ng minh (c`on go.i l`a
di.nh l´y duy nhˆa´t trong) trong l´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh c`on c´o c´ac di.nh l´y duy nhˆa´t biˆen, trong d´o tˆo’ng qu´at nhˆa´t v`a sˆau s˘a´c nhˆa´t l`a c´ac di.nh l´y cu’a N. Luzin v`a I. Privalov m`a do pha.m vi gi´ao tr`ınh ta s˜e khˆong tr`ınh b`ay o.’ dˆay.
Nhˆa. n x´et 4.2.2. T`u. di.nh l´y v`u.a ch´u.ng minh ta c˜ung suy ra r˘a`ng mˆo˜i khˆong- diˆe’m cu’a h`am f(6≡0) dˆ`u c´o cˆa´p h˜e u.u ha.n. Thˆa.t vˆa.y, t`u. di.nh l´y 4.1.1 v`a khai triˆe’n Taylor (4.24) suy r˘a`ng nˆe´u khˆong diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınh c´o “cˆa´p vˆo ha.n” th`ı lim z→a f(z) (z−a)n = 0, n= 0,1,2, . . . v`a do d´o f ≡0 trong D.
Nhˆa. n x´et 4.2.3. Tˆa.p ho..p con comp˘a´c K ⊂ D bˆa´t k`y chı’ ch´u.a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac khˆong- diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınhf.
Nhˆa. n x´et 4.2.4. Nˆe´u tˆa.p ho..p mo.i khˆong-diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınhf (f 6≡0), trong miˆ`n chı’nh h`ınhe D cu’a n´o khˆong h˜u.u ha.n th`ı tˆa.p ho..p d´o chı’ c´o thˆe’ l`a tˆa.p dˆe´m du.o..c. Thˆa.t vˆa.y, ta k´y hiˆe.u D0n l`a hˆe. c´ac miˆe`n d´ong thuˆo.c D tho’a m˜an c´ac diˆ`u kiˆe.n:e
a) D0n+1 ⊂D0n;
b) dist(∂D, ∂D0n) = 1
n.
Trong mˆo˜i miˆe`n d´ong D0n h`am f chı’ c´o mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n khˆong-diˆe’m v`ı trong tru.`o.ng ho..p ngu.o..c la.i, tˆo`n ta.i gi´o.i ha.n cu’a c´ac khˆong diˆe’m ˆa´y v`a diˆe’m gi´o.i ha.n n`ay thuˆo.c D. Do d´o f(z)≡ 0 trong D theo di.nh l´y duy nhˆa´t. T`u. nhˆa.n x´et d´o, dˆe˜ d`ang suy ra r˘a`ng tˆa.p ho..p c´ac khˆong diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınh l`a dˆe´m du.o..c.
Nhˆa. n x´et 4.2.5. Trong nhiˆ`u tru.`o.ng ho..p, thay v`ı c´ac khˆong-diˆe’m cu’a h`ame chı’nh h`ınh ta s˜e x´etA-diˆe’m. Ta go.iz0 l`aA-diˆe’m cu’a h`am f chı’nh h`ınh trong miˆ`ne D nˆe´u f(z0) =A, A∈C. Trong tru.`o.ng ho..p d˘a.c biˆe.t khiA= 0 th`ız0
l`a khˆong-diˆe’m cu’a h`am f. Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng v´o.i mo.i A 6= ∞, mo.i A-diˆe’m cu’a h`am f dˆ`u l`a khˆong-diˆe’m cu’a h`ame f(z)−A. Do d´o mo.i quy luˆa.t tˆo’ng qu´at d˜a du.o..c x´ac lˆa.p dˆo´i v´o.i khˆong-diˆe’m cu’a h`am chı’nh h`ınh dˆe`u d´ung v´o.i
