Khái quát hoá: Theo G. Pôlia khái quát hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý. Chúng ta cũng khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số l- ợng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lợng giác của một góc tùy ý.
Có thể nhận thấy rằng trong hai Ví dụ trên, sự khái quát hóa đã đợc thể
hiện theo hai hớng có tính chất khác nhau. ở Ví dụ đầu, trong việc chuyển từ
tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta đã thay hằng bởi biến; ở Ví dụ hai, khi chuyển từ góc nhọn sang góc tuỳ ý α, ta đã vứt bỏ điều hạn chế 0o < α < 90o. Chúng ta thờng khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó. ([20], tr. 21, 22).
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” ([16]).
Theo Đào Văn Trung: “đó là từ trong những sự vật khác nhau tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phơng pháp t duy này gọi là khái quát” ([35], tr. 169).
Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học là thành phần cơ bản nhất của năng lực Toán học; điều này đã đợc các nhà S phạm, nhà Toán học nh: V. A. Kruchetxki, A. I. Marcusêvich, Pellery, Tổ chức quốc tế UNESCO, ... khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực Toán học của mình.
Về vai trò của khái quát hoá đợc Đào Văn Trung đề cập đến trong cuốn làm thế nào để học tốt Toán phổ thông: “Trong cuộc sống và học tập, khắp nơi
và mọi lúc đều cần đến phơng pháp t duy khái quát này. Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con ngời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con ngời mới có thể hiểu đợc nó”. Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng. Khả năng khái quát Toán học là một khả năng khái quát đặc biệt” ([35], tr. 170).
Trong quá trình làm Toán, chúng ta thấy rất nhiều Bài toán dễ giải hơn trong trờng hợp tổng quát. Vì vậy, có những lúc đứng trớc một bài toán mà ta cha tìm ra cách giải ta thử tìm ra bài toán tổng quát và giải nó đôi khi sẽ cho ta những điều thú vị. Ví dụ sau sẽ minh chứng cho điều này.
Ví dụ 2. 10: Giải thích tại sao phơng trình x+ 3+ x =3 chỉ có một nghiệm. Đối với bài toán này ta để ý rằng, nếu bình phơng hai vế của phơng trình đã cho dới
dạng sau: ( )2 0 3 3 3 3 3 (*) x x x x x ≤ ≤ + = − ⇔ + = − Ta hãy xét phơng trình (*) ⇔ ( )2 3
x = −x −x nếu ta lại tiếp tục bình ph-
ơng 2 vế của phơng trình này thì sẽ dẫn tới một phơng trình bậc bốn rất khó giải. Vì vậy ta xét phơng trình (*) dới dạng tổng quát với tham số m sau đây:
( )2
m+ x = m x−
Bằng phơng pháp tráo ẩn ta viết phơng trình này dới dạng bậc hai đối với m ta đợc: m2 −m x(2 + +1) (x2 − x) =0
mà nghiệm là: m1 = +x x +1 và m2 = −x x, tức là phơng trình đối với m
này cho ta hai phơng trình: 1
1 0
x+ x + −m = và x− x m− 2 =0
Thay m = 3 ta phải giải hai phơng trình bậc hai đối với ẩn x: 1 3 0
Sau khi giải và đối chiếu các nghiệm tìm đợc với điều kiện 0≤ ≤x 3 ta thấy rằng phơng trình đã cho chỉ có nghiệm x = 1 là thích hợp. Bài toán đợc giải quyết.
Nh vậy ta thấy rằng, bài toán sau tuy tổng quát hơn bài toán đầu, nhng lại dễ hơn nhiều và giúp cho ta có thể tìm ra kết quả của bài toán ban đầu. Điều đó tởng chừng nh mâu thuẫn. Nhng Ví dụ trên chứng tỏ rằng quả đúng là nh vậy! Bằng cách nghĩ ra bài toán tổng quát, ta đã vợt qua đợc khó khăn chủ yếu của bài toán đặc biệt. Sau việc sáng tạo đó, công việc còn lại chỉ là phụ. Nh vậy, trong trờng hợp này việc giải bài toán tổng quát chỉ là một phần, phần phụ của việc giải bài toán đặc biệt.
Nhiều khi chúng ta xuất phát từ việc phát hiện những đặc điểm chung của một số đối tợng rồi dùng khái quát hoá để đoán ra những giả thuyết tổng quát. Tức là, khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối tợng đang xét. Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy đợc những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt trên cơ sở phân tích chỉ một hiện tợng trong hàng loạt các hịên tợng giống nhau.
Ví dụ 2. 11: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số: y = ln (2x + 1) (ĐH GTVT 1996).
Thực tế dạy học cho thấy, nếu yêu cầu HS tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 thì hầu hết các em ở học lực trung bình khá đều có thể giải quyết đợc. Nhng nếu yêu cầu các em tính đến đạo hàm cấp n thì không ít HS gặp khó khăn. Vì vậy, giáo viên có thể yêu cầu các em hãy tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3,… của hàm số trớc khi tìm đạo hàm cấp n. Ta có: ' 2 2x + 1 y = " 2.( 1).(2x+1) .2-2 4 2 (2x+1) y = - = - "' 2.1.2.(2x+1) .2-3 2 8 3 (2x+1) y = =
(4) 2.1.2.( 3).(2x+1) .2-4 3 72 2 (2x+1)
y = - = -
Ta hy vọng là tìm ra một công thức ngắn gọn để tính đợc đạo hàm cấp n, công thức đó giúp ta tính nhanh, gọn hơn là phải thực hiện lần lợt phép tính đạo hàm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ những trờng hợp cụ thể đã tính ra ở trên, giáo viên có thể hỏi tiếp: “Em
có thể dự đoán về đạo hàm cấp n của hàm số đợc không?”
Mục đích của ta là yêu cầu HS tìm ra đợc quy luật chung để tính y( )n . Tìm
ra quy luật của một bài toán phụ thuộc vào nhiều yếu tố: sự khéo léo trong quan sát, sự nhạy cảm dự đoán và kiểm tra của ngời làm Toán; từ các kinh nghiệm đã trải qua trong tính toán các bài toán tơng tự, từ khả năng liên hệ bài toán tơng tự với điều kiện mới…
Từ kinh nghiệm giảng dạy cho thấy, HS trong quá trình đi tìm đạo hàm cấp n từ các trờng hợp cụ thể các em thờng rút gọn những kết quả tìm đợc (nh trên). Làm nh vậy các em sẽ khó lòng mà dự đoán ra đợc công thức tổng quát cho đạo hàm cấp n. Bằng việc để các kết quả trong các trờng hợp riêng dới dạng khai triển nh trên ta dễ thấy quy luật:
- Về dấu ta thấy cấp của đạo hàm là chẵn thì kết quả đạo hàm là âm, ngợc lại cấp của đạo hàm là lẻ thì kết quả đạo hàm là dơng.
- Với các thừa số là hằng số thì tất cả các kết quả đạo hàm đều chứa số 2, ngoài ra còn chứa các luỹ thừa của 2 có bậc của các luỹ thừa đó nhỏ hơn một bậc so với bậc của đạo hàm tơng ứng. Các số tiếp đó với y’ là 1, y’’ là 1, y’’’ là 1.2, y’’’’ là 1.2.3… từ đó ta thấy một quy luật: 1=0!, 1=1!, 1.2=2!, 1.2.3=3!, ta dự đoán với y( )n sẽ là (n-1)!
-Với thừa số (2x+1) có mũ giảm dần đều từ -1, -2, -3…và rút ra trị tuyệt đối của số mũ bằng cấp của đạo hàm tơng ứng.
Từ tất cả các nhận xét trên, ta đa ra giả thuyết thích hợp với quy luật vừa tìm đợc: y( )n =(-1)n−1.2.(n-1)!(2x+1)−n.2n−1
Vì kết quả trên đợc rút ra từ một số trờng hợp cụ thể sau đó đợc khái quát
hoá lên cho trờng hợp tổng quát nên nó chỉ có tính dự đoán. Nên giáo viên cần
ý thức ở học sinh phải chứng minh kết quả bằng suy diễn (cụ thể ở bài này là sử dụng quy nạp Toán học).
Qua Ví dụ này ta thấy trong quá trình khái quát hoá thì HS cần phải có
năng lực phân tích và tổng hợp. Vì vậy, khi tập luyện cho HS khái quát hoá và
những hoạt động trí tuệ có liên quan, cần phải rèn luyện cho họ khả năng phân
tích và tổng hợp coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạt động trí tuệ. Nếu HS gặp
khó khăn khi tiến hành một hoạt động nào đó thì cần quay lại cơ sở của hoạt
động đó là phân tích và tổng hợp. Chẳng hạn, khi hớng dẫn HS khái quát hoá
một số ví dụ cụ thể để tìm ra quy luật, nếu HS gặp khó khăn trong việc phát
hiện ra đặc điểm chung thì yêu cầu họ trớc hết hãy mô tả đặc điểm của từng tr-
ờng hợp cụ thể (phân tích) rồi đối chiếu với nhau để tìm ra các đặc điểm chung
(tổng hợp). Nếu HS gặp khó khăn trong việc phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chất, có thể gợi cho họ liên hệ những đặc điểm chung vừa
phát hiện với mục đích hành động (tổng hợp). Đặc điểm nào ảnh hởng tới sự
kiện sẽ là đặc điểm bản chất, đặc điểm nào không ảnh hởng tới sự kiện là đặc điểm không bản chất.
Mặt khác, nhiều ngời cho rằng khái quát hoá chỉ là khái quát hoá các Bài toán, bởi vì họ đã hiểu khái quát hoá theo nghĩa tổng quát hoá (nghĩa hẹp) mà họ đã quên rằng còn có các dạng khái quát hoá nh: Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải Toán, khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải Toán ...Vì vậy, trong khi tập luyện cho HS khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trờng hợp riêng cũng nh trên cơ sở phân tích chỉ một hiện tợng trong hàng loạt các hiện tợng giống nhau để tổng hợp lại phát hiện ra các đặc điểm chung, giáo viên cần lu ý cho HS thấy cần phải vận dụng biện pháp khái quát hoá này để khái quát quá trình suy nghĩ Bài toán, khái quát hoá để hình thành nên phơng pháp giải một dạng Toán nào đó. Bởi khi giải bài tập thì không chỉ giải một vấn đề cụ thể mà là giải bài toán đó trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó, hớng suy nghĩ và phơng pháp giải bài
tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đợc hớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì, thì có thể dùng nó
để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nh Đềcác đã nói: “Mỗi vấn
đề mà tôi giải quyết đều trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề
khác” (Dẫn theo [34], tr. 175). Do đó, sau khi giải một bài toán nên chú ý khái
quát hớng suy nghĩ và cách giải của các bài toán cùng loại. Có nh vậy, tri thức mà HS thu đợc mới ở dạng cô đọng, hệ thống và tổng quát. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ, khi dạy cho HS dạng Toán ở Ví dụ 2. 11, có thể cho HS làm quen với một số Ví dụ tơng tự rồi giáo viên gợi mở để HS có thể khái quát hoá thành
phơng pháp giải toán tìm đạo hàm cấp n của một hàm số nh sau:
* Để tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta thực hiện theo các bớc sau:
- Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, ... của hàm số (nên để các kết quả dới dạng khai triển) ;
- Phân tích các đạo hàm trên từ đó phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra công thức tổng quát;
- Dự đoán công thức đạo hàm cấp n và chứng minh bằng phơng pháp quy nạp Toán học.
* Đối với bài toán tìm đạo hàm cấp n của hàm số hữu tỉ, ta phân tích thành
tổng (hiệu) các hàm hữu tỉ mà tử là hằng số còn mẫu có dạng (ax + b)m rồi tính
đạo hàm cấp n của các hàm số này.
Hoặc là, ở dạng toán tìm GTLN, GTNN mà không sử dụng đến công cụ
đạo hàm nh các Ví dụ 1. 6, Ví dụ 1. 7: “Cho a≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = a + 12 a ” (Ví dụ 1. 6) và: Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + ≤ Tìm GTNN của S = 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + + + + (Ví dụ 1. 7)
HS không những gặp khó khăn khi tìm ra phơng pháp giải mà còn thờng xuyên gặp phải những sai lầm đó là có thể kết quả của các GTLN, GTNN nhng những kết quả mà các em tìm ra đó lại không thoả mãn các điều kiện ban đầu của bài Toán. Vì thế, nên sau một số ví dụ tơng tự, giáo viên có thể hoặc cho HS tự khái quát hoặc giáo viên khái quát lại quá trình suy nghĩ nh sau: Trớc khi giải bài toán thuộc dạng này trớc tiên chúng ta phải mò mẫm để đa ra dự đoán GTLN, GTNN là bao nhiêu? và đạt đợc tại giá trị nào của biến? (giá trị đó đợc
gọi là điểm rơi). Chẳng hạn, ở Ví dụ 1. 6 ta tìm ra điểm rơi bằng cách bắt đầu từ
một số giá trị cụ thể của a để dự đoán giá trị nhỏ nhất của S. Hoặc ở Ví dụ 1. 7, ta tìm ra điểm rơi từ nhận xét S là một biểu thức đối xứng đối với các số a, b, c. Sau khi dự đoán đợc điểm rơi, ta cần phải lựa chọn công cụ để giải nh sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacôpski, … từ đó căn cứ vào điều kiện
dấu “=” xảy ra để hình thành “lợc đồ điểm rơi” từ đó có căn cứ thêm, bớt biểu
thức đã cho dẫn đến việc tìm GTLN, GTNN thoả mãn tất cả các yêu cầu của bài toán.
Nếu sử dụng Bất đẳng thức Cauchy thì dấu bằng xảy ra tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau. Chẳng hạn, ở Ví dụ 1. 6 sau khi dự đoán điểm rơi là a = 2, kết hợp với điều kiện dấu “=” xảy ra trong BĐT Cauchy khi các số bằng nhau ta có sơ đồ điểm rơi nh sau:
a=2 2 2 1 2 8 4 1 1 4 a a α α α α = ⇒ ⇒ = ⇒ = = .
Dựa vào kết quả này ta phân tích S= 12 6
8 8 8 + + + ữ a a a a . Đến đây chìa
khoá của bài toán đã hoàn toàn đợc mở ra.
Hoàn toàn tơng tự khi ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với điều kiện dấu “=” xảy ra tơng ứng thì ta cũng có thể hình thành đợc lợc đồ điểm rơi mở ra hớng giải quyết cho bài toán.