II, Bài tập và hớng dẫn:
CHUYÊN ẹỀ 5: HAỉM SỐ y= ax2 (a khaực 0),
khaực 0) ,
1) Vụựi k = 1 thỡ PT (d) laứ x = 1 , (d) khõng // y = 3x .Vụựi k ≠1 . ẹửa PT (d) về dáng :
y = 2 . 2 (**) ; (d) // y = 3 -2k 3 3(2 3)
1 1 k-1
k x x k
k k
− + ⇔ = ⇒ = −
− − khi ủoự (d) táo vụựi tia Ox moọt
goực α = 600 vỡ tg α = 3
2)+ Vụựi k = 1 thỡ khoaỷng caựch tửứ 0 ủeỏn (d) laứ 2 .
+Vụựi k ≠0 vaứ k ≠1 , gói giao ủieồm cuỷa (d) vụựi Ox , Oy laứ A,B . Thay y = 0 vaứo (**) ta coự : xA = 1/k ⇒
OA = / 1/k / . Thay x = 0 vaứo (**) coự
yB = 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Roừ raứng (d) khõng ủi qua goỏc toá ủoọ O vụựi k ≠ 0 vaứ 1
∆AOB vuõng coự : 1/ OH2 = 1/ OA2+ 1/ OB2 . Tửứ ủoự OH = 2 2 ; 5k −2k+1
Ta coự : 5k2 -2k +1 = 5 ( k – 1/5 )2 +4/5 ≥ 4/5 , mói k vỡ vaọy OH ≥ 5 & OH = 5 khi k = 1/5 . Toựm lái vụựi k = 1/5 thỡ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn (d) laứ lụựn nhaỏt
Baứi toaựn 2. Cho baỏt PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m laứ tham soỏ ) .
1) Giaỷi baỏt PT vụựi m = 1 -2 2 ; 2) Tỡm m ủeồ baỏt PT nhaọn mói giaự trũ x > 1 laứ nghieọm .
Giaỷi : 1) Vụựi m = 1 - 2 2 , BPT ủaừ cho coự dáng - (6 2 1) 1 4 2 x <4 2 1. 6 2 1
x −
+ > − ⇔
+
2) BPT ủaừ cho vieỏt dửụựi dáng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)
Xeựt haứm soỏ f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . ẹồ thũ haứm soỏ naứy laứ moọt ủửụứng thaỳng nẽn ủeồ BPT (1) ủuựng vụựi mói x > 1 thỡ 3fm(1)− >4 0m 3 0⇔ ≥m 3.
= − ≥
Toá ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự) cuỷa ủửụứng thaỳng (D) y = mx+n vaứ parabol (P) y = ax2 laứ nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh : =y mx ny ax= 2+ . Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm :ax2 –mx – n = 0 (*) .
Bieọn luaọn soỏ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) laứ bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (*) +Phửụng trỡnh (*) võ nghieọm ⇔(D) vaứ (P) khõng coự ủieồm chung .
+ Phửụng trỡnh (*) coự nghieọm keựp ⇔ (D) tieỏp xuực (P) .
+ Phửụng trỡnh (*) coự 2 nghieọm phãn bieọt ⇔ (D) caột (P) tái 2 ủieồm phãn bieọt .
Baứi 1. Giaự trũ naứo cuỷa m thỡ ủửụứng thaỳng ( D) y = m(1-x) tieỏp xuực vụựi (P) y = -ẵ x2 .Trong trửụứng hụùp (D) tieỏp xuực (P) . Tỡm toá ủoọ tieỏp ủieồm .
Giaỷi : Toá ủoọ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) (neỏu coự) laứ nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh
22 2 (1 ) x y y m x = − = −
PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm : ẵ x2 +m(1-x) = 0 hay x2 -2mx +2m = 0 (*)
H y = x y = x d y x 1 3 0
∆’ = m2 – 2m
+ (D) tieỏp xuực vụựi (P) ⇔ PT(*) coự nghieọm keựp ⇔m2 -2m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 2 + PT caực ủửụứng thaỳng tieỏp xuực vụựi (P) : (D1) y = 0 tieỏp xuực (P) tái 0 (0;0)
+PT hoaứnh ủoọ tieỏp ủieồm cuỷa (D2) vaứ (P) : x2 -4x +4 = 0 ⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x = 2 . Tung ủoọ tieỏp ủieồm y = -ẵ . 22= -2
Vaọy (D2) tieỏp xuực vụựi (P) tái (2 ; -2)
Baứi 2. Chửựng minh raống ủửụứng thaỳng (D) y = 8mx – 8m2 ( m laứ tham soỏ ) luõn tieỏ`p xuực vụựi parabol (P) y = 2x2
Hửụựng daĩn : Chửựng minh PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm 2x2 – 8mx +8m2 = 0 hay x2- 4mx +4m2 = 0 coự nghieọm keựp .
Baứi 3) Trong maởt phaỳng toá ủoọ Oxy cho ủửụứng thaỳng (d) : 2x – y – a2 = 0 vaứ parabol (p) y = ax2 ( a laứ tham soỏ dửụng ) .
1) Tỡm a ủeồ (d) caột (P ) tái hai ủieồm phãn bieọt A , B . Chửựng ming raống khi ủoự A,B naốm bẽn phaỷi trúc tung .
2) Gói u , v theo thửự tửù laứ hoaứnh ủoọ cuỷa A,B . Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực T = u v uv4 + 1 +
Giaỷi : 1) PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng (D) vaứ parabol (P) coự dáng ax2 – 2x +a2 = 0 (1)
ẹửụứng thaỳng (D) caột (P) tái hai ủieồm phãn bieọt A,B khi vaứ chổ khi ∆ =a > 0 ' 1-a3 >0⇔ <0 a < 1 . Luực ủoự
neỏu gói u , v lần lửụùt laứ hoaứnh ủoọ cuỷa A vaứ B thỡ theo ủũnh lớ Vi-eựt cho PT (1) ta coự u+v = ẵ a > 0 vaứ u.v = a > 0 , suy ra A,B naốm về bẽn phaỷi trúc tung (ủpcm) .
2) Tửứ keỏt quaỷ 1) ta coự T = 2a + 1 2 (2 )a 1 ,hay T 2 2
a ≥ a ≥ ủát ủửụùc khi vaứ chổ khi a = 2 .2
Baứi 4. Trong maởt phaỳng toá ủoọ Oxy , cho parabol (P) : y = - x2 vaứ ủửụứng thaỳng (d) ủi qua ủieồm I( 0 ; -1 ) coự heọ soỏ goực k .
1) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) . Chửựng minh vụựi mói giaự trũ cuỷa k , (d) luõn caột (P) tái hai ủieồm phãn bieọt A vaứ B .
2) Gói hoaứnh ủoọ cuứa A vaứ B laứ x1 vaứ x2 , chửựng minh x1 −x2 ≥ 2 .
Giaỷi : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (d) laứ : x2 + kx -1 = 0 . PT naứy coự ∆ > 0 ⇒ ủpcm . 2) x1.x2 = -1 , tửứ ủoự
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 ; x & 1 cung dau nen x 1 1 2
x x x x
x x x x
− = + + = + ≥ ;
Baứi 5. Cho haứm soỏ y = -ẳ x2 . 1) Veừ ủồ thũ (P) cuỷahaứm soỏ trẽn .
2) Gói I laứ ủieồm thuoọc ủửụứng thaỳng y = 1 vaứ coự hoaứnh ủoọ m ( m laứ tham soỏ ) . Chửựng minh raống tửứ I ta coự theồ veừ ủửụùc hai ủửụứng thaỳng tieỏp xuực vụựi (P) .
Hửụựng daĩn :
1) Veừ (P)
2) I(m;1) ∈ (D) ⇔ 1 = am +b ⇔ b = 1- am . Luực ủoự (D) y = ax + (1 – am )
PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) : x2 +4ax +4 – 4am = 0
∆’ = 4a2 + 4ma – 4
Do 4 vaứ -4 traựi daỏu nẽn PT (1) luõn luõn coự hai nghieọm phãn bieọt vụựi mói m ∈ R , ủiều naứy chửựng toỷ coự
hai ủửụứng thaỳng veừ tửứ I tieỏp xuực vụựi (P) , ủoự laứ : (D1) y = a1x + (1 – a1m )
(D2) y = a2x + ( 1 – a2m ) , ( Trong ủoự a1 , a2 laứ nghieọm phửụng trỡnh (1) )
Baứi 6. Cho haứm soỏ y = x2 a) Veừ ủồ thũ (P)
b) Trẽn (P) laỏy hai ủieồm A vaứ B coự hoaứnh ủoọ laứ – 1 vaứ 2 . Vieỏt PT ủửụứng thaỳng AB . c) Trẽn cung AB cuỷa (P) tỡm ủieồm C sao cho dieọn tớch tam giaực ABC lụựn nhaỏt .
Hửụựng daĩn :
a) HS thửùc hieọn ( Hỡnh veừ bẽn dửụựi ) b) Tỡm toá ủoọ caực ủieồm A,B
A(-1 ; 1) B(2;4)
Phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng AB laứ (D) y = x +2 .
c) Tỡm ủieồm C( x0 ; y0 ) ∈ (P) tái ủoự ủửụứng thaỳng (D’) tieỏp xuực vụựi (P) vaứ song song vụựi (D) .
+ẹửụứng thaỳng (D’) song song vụựi (D) coự dáng : y = x + b
+PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự ) giửừa (D’) vaứ (P) : x2 – x – b = 0 , vỡ (D’) tieỏp xuực vụựi (P) nẽn PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm trẽn coự nghieọm keựp , tửực laứ :
∆ = 1 + 4b = 0 ⇔ b = -ẳ
+ Luực ủoự hoaứnh ủoọ giao ủieồm laứ x = ẵ vaứ tung ủoọ giao ủieồm laứ y = ẳ + Vaọy ủieồm C( ẵ ; ẳ ) vaứ (D’) y = x – ẳ song song vụựi (D) vaứ tieỏp xuực (P) . +Ta coự dieọn tớch tam giaực MAB
S = ẵ MH’.AB ( MH’ laứ khoaỷng caựch tửứ M ∈ cung AB ủeỏn (D) )
Do AB khõng ủoồi nẽn S lụựn nhaỏt ⇔ MH’ lụựn nhaỏt .
Ta coự MH’ ≤ CH ( vỡ M naốm giửừa hai ủửụứng thaỳng song song (D) vaứ (D’) ) nẽn khoaỷng caựch tửứ
-5 5 2 -2 -4 y x I 0 B A f x( ) = -x 2 4
M ủeỏn ủửụứng thaỳng (D) nhoỷ hụn khoaỷng caựch giửừa hai ủửụứng thaỳng song song naứy . Daỏu “ = “ xaỷy ra ⇔ M truứng C
Vaọy C ( ẵ ; ẳ ) laứ ủieồm thuoọc cung AB sao cho dieọn tớch tam giaực ABC lụựn nhaỏt .
Bài tập:
Bài 1: a) Trên hệ trục tọa độ 0xy ,vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2 4 1
x
b) Xác định hàm số y = a.x + b .Biết đồ thị của nĩ qua điểm M( 2; 1) và tiếp xúc với (P) Bài 2: Cho pa ra bol (P) : y = - 2x2
a) Vẽ P trên hệ trục tọa độ
b) Tìm trên P các điểm sao cho khoảng cách từ đĩ đến gốc tọa độ O bằng 3 c) Gọi A và B là hai điểm thuộc P cĩ hồnh độ lần lợc là - 2 và
2 3
.Tính S AOB theo đơn vị hệ trục Oxy Bài 3: Cho hàm số y = a x2 cĩ đồ thị là (P)
a) Xác định a biết đồ thị (P) qua điểm A(-2;-1) và vẽ (P)
b) Gọi B là điểm trên (P) cĩ hồnh độ bằng 4 .Viết phơng trình đờng thẳng (D) Tiếp xúc (P) và song song với đờng thẳng AB
Bài 4. Cho (P): y = -2x2 và (d) y = x -3 c) Tìm giao điểm của (P) và (d)
d) Gọi giao điểm của (P) và (d) ở câu a là A và B trong đĩ A là điểm cĩ hồnh độ nhỏ hơn; C, D lần lợt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B trên Ox. Tính diện tích và chu vi tứ giác ABCD.
My y x (D') (D) (p) H' H O C B A
Bài 5: Cho hai đờng thẳng cĩ phơng trình:
y = mx - 2 (d1) và 3x + my = 5 (d2)
a/ Khi m = 2, xác định hệ số gĩc và tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng b/ Khi d1 và d2 cắt nhau tại M(x0;y0), tìm m để .
3m m m 1 y x 2 2 0 0 + = − +
c/ Tìm m để giao điểm của d1 và d2 cĩ haịnh độ dơng và tung độ âm Bài 6: Cho hàm số : y = 2
2 1
x
1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) cĩ hệ số gĩc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên . Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số 2 2 x y=
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 ) 2) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .
Bài 8: Cho parabol (P): y = 2
4
x
− và đờng thẳng (d): y = 1 2
− x + n a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với (P) nếu n = 1