PHƯƠNG TRèNH TRẠNG THÁI * Đặt vấn đề:
4.3.2- Ổn định của hệ thống cú cỏc trị riờng phõn biệt.
- Phương trỡnh (4-5) của hệ thống cấp n cú thể được viết dưới dạng cỏc trị riờng và vectơ riờng của hệ thống:
x(t) = C1 eλ1t v1 + C2 eλ2t v2 + ... + Cn eλnt vn (4-12) Ở đõy: Ci , i = 1, 2, ..., n ; cỏc hằng số;
λi , i = 1, 2, ..., n ; cỏc trị riờng của A;
vi , i = 1, 2, ..., vn; cỏc vectơ riờng của ma trận A.
- Theo (4-12) thấy rằng toàn bộ cỏc trị riờng là số thực phõn biệt λi < 0
∀i khi đú x(t) → 0 khi t →∞ và hệ thống cú xu hướng ổn định. Nếu λi≤ 0 ∀i hệ thống ổn định. Chỉ cần cú một giỏ trị λi dương hệ thống khụng ổn định.
- Đối với trường hợp cỏc trị riờng cú giỏ trị phức. Ci e(αi±jβi)t . vi = Ci t i eα . e±jβit . vi (4-13) Nờn nhớ rằng: etjβit = 1 nếu: Re {λi} = αi < 0 thỡ x(t) → 0 khi t → ∞ hệ thống cú xu hướng ổn định, nếu Re(λi) = αi > 0 với một vài i thỡ (x(t) → ∞ hệ thống khụng ổn định.
Re{λi} ≤ 0 → hệ thống ổn định.
Định lý 4.1: Hệ thống tuyến tớnh liờn tục, tiền định cú cỏc trị riờng phõn biệt là ở trong vựng ổn định nếu Re {λi} = αi < 0 ∀i . là ổn định nếu Re(λi) = αi ≤ 0 , ∀i và khụng ổn định nếu cú một trị riờng λi nào đú để Re(λi) = αi > 0.
+ Phõn tớch tương tự đối với hệ thống giỏn đoạn:
x(k+1) = Ax(k) ; x(ko) = xo (4-14) Cú nghiệm: x(k) = Ak.ko xn , với k - ko≥ 0 (4-15) Giới hạn: a ≤ 1; nếu a < 1 khi đú x(k) → 0 khi k →∞.
Vỡ hệ thống ở trong vựng ổn định, ngược lại nếu cú một vài |λi| > 1 hệ thống khụng ổn định.
Định lý 4.2: Đối với hệ thống giỏn đoạn tiền định cú cỏc trị riờng phõn biệt là ở trong vựng ổn định nếu |λi| < 1 , ∀i .là ổn định nếu |λi| ≤ 1, ∀i và khụng ổn định nếu cú một vài λi mà |λj| > 1.