Câu 4: Cho A là một Iđêan của vành các số nguyên Z. Chứng minh rằngAlà một Iđêan nguyên tố khi và chỉ khiAcó dạngA=pZtrong đó hoặcp= 0hoặcplà một số nguyên tố
Câu 5: ChoR=Z2[x, y]là vành đa thức hai biến có hệ số trongZ2và
S ={fn, n= 1,2...}
là một họ vô hạn các đa thức củaRtrong đó fn =xn+yn. GọiI là Iđêan củaR
sinh bởiS. Chứng minh rằngIlà một Iđêan chính.
A= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ã ã ã ã ã ã 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Câu 2: Ký hiệuRlà tập hợp các số thực. Xét không gian véc tơR3và không gian vectơ cnV ={(x, y, z)∈R3
|x=y
a) Hãy xác định cụ thể một không gian conW ⊂R3sao choR3=V ⊕W.
b) Chou= (a, b, c)là một vectơ tuỳ ý củaR3. Hãy phân tíchuthành tổng của haivectơv∈V;w∈W. vectơv∈V;w∈W.
c) Không gian vectơW có xác định duy nhất không? Tại saỏ
Câu 3: Chứng minh rằng mọi nhóm có 6 phần tử đều đẳng cấu hoặc với nhóm xyclicZ/6Z hoặc với nhóm đối xứngS3
Câu 4: Ký hiệu Q là tập các số hữu tỷ. Chứng minh rằng tập tất cả các biểu thức dạnga+b√
2,(a, b∈Q)lập thành một trườngCâu 5: Câu 5:
a) Chof, glà hai đa thức một biến với hệ số thực,g 6= 0. Chứng minh rằng tồn tạiduy nhất một cặp đa thứch, rvới hệ số thực sao chof =gh+rvới bậcr <bậcg duy nhất một cặp đa thứch, rvới hệ số thực sao chof =gh+rvới bậcr <bậcg
b) Điều trên có đúng không nếu ta chỉ xét các đa thứcf, g, h, rvới hệ số hữu tỷ? Tạisaỏ saỏ
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003 Môn thi: Đại số
Câu 1: Ký hiệu Qlà trường các số hữu tỷ. Cho alà một nghiệm của đa thức
x4
+ 9. Chứng minh rằng tập các số phức dạngf(a)với mọi đa thứcf(x)∈Q[x]lập nên một không gian véc tơ trênQ. Hãy tính số chiều của không gian vectơ nàỵ
Câu 2:Hãy tìm tất cả các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận :
3 1 0 −4 −1 0 0 1 −1
Câu 3: ChoS là một nhóm tuỳ ý.Glà tập tất cả các tự đẳng cấu của S. Chứng minh rằngGlà một nhóm với phép hợp thành.
Câu 4: Cho I là một Iđêan của vànhZ. Chứng minh rằng vành thương củaZtrên