. Kết quả này suy ra ( l a, ) ( l 3 a f )
2.5. Quá trình GARCH kết hợp (IGARCH)
Trong trường hợp đa thức của biểu diộn GARCH trong mục 2.4 có nghiệm đơn vị thì ta thu được m ô hình IGARCH. Do đó, các m ô hình IGARCH là các m ô hình GARCH có nghiêm đơn vị. Chẳng hạn một quá trình IGARCHQ; 1) có thể được viết
bởi: st = ut.ơt; vói { ut} ~IID(0,1)
a2
t = a0 +p,ơf_! +(l-p,)ef_, ;trong đó 0<P,<1
Phương pháp ước lượng tham số sử dụng cấc phương pháp của quá trình ARIMA. Các thuật toán nhận dạng m ô hình GARCH, IGARCH ta xây dựng tương tự như m ô hình ARCH.
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
C H Ư Ơ N G 3. Dự B Á O BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG K H O Á N V À Á P DỤNG
V À O THỊ TRƯỜNG CHỨNG K H O Á N VIỆT NAM
Nội dung của chương 3 của để tài, ứng dụng các mô hình chuỗi thời gian ARCH/
GARCH vào bài toán dự báo biến động giá chứng khoán và áp dụng vào thị trường chứng khoán Việt Nam. Chương này chủ yếu nghiên cứu 2 vấn đề:
- Xây dựng công thức dự báo cho các quá trình dừng, đặc biệt là quá trình ARCH/ GARCH. Sử dụng các kết quả của việc nhận dớng m ô hình và kiểm định sự phù hợp của m ô hình để xây dựng các dự báo điểm cho chuỗi thời gian. Từ việc xây dựng các dự báo điểm đối với quá trình ARCH/ GARCH, ta sẽ chỉ ra được trong
trường hợp, phương sai có điểu kiện của nhiễu { Et Ị khác hằng số thì ảnh hưởng như
thế nào đến độ chính xác của dự báo.
- Á p dụng các kết quả lý thuyết đối với các chuỗi số liệu cụ thể thuộc 2 lĩnh vực: +) Một số bộ số liệu về chỉ số chứng khoán của thị trường chứng khoán thế giới +) Một số bộ số liệu về chỉ số chứng khoán của thị trường chứng khoán Việt Nam.
3.1. Dự báo tuyến tính theo các mô hình chuỗi thời gian
Các thuật toán dùng để tính toán giá trị dự báo của quá trình ngẫu nhiên dừng {Xt Ị như thuật toán Durbin - Lewinson, thuật toán Burg, thuật toán đổi mới [17] cho phép tính toán trực tiếp giá trị dự báo Xn + h của Xn + h trên cơ sở Vũ = Ịxt; t =
l,n} có thể tham khảo tới nhiều tài liệu [Ì, 17] và cũng được cài đặt trong nhiều
phầnmềm thống kê như Evievvs hoặc Pest.
Các phương pháp tính toán giá trị dự báo của chuỗi thòi gian dừng (hoặc trong
trường hợp tổng quát là quá trình có môment cấp 2 hữu hớn) sử dụng trong đề tài
đều áp dụng các kết quả nhận dớng m ô hình A R M A có hiệu ứng ARCH, m ô hình ARCH/ GARCH sau khi đã kiểm tra sự phù hợp của m ô hình chuỗi thòi gian.
3.1.1. Dự báo tuyến tính theo mô hình ARMA vói hiệu ứng ARCH
Trong phương pháp dự báo sử dụng m ô hình ARCH/ GARCH giới thiệu ở
chương 2 luôn giả thiết { st} ~ WN(0, ơ2
) hoặc {et} ~ IID(0, ơ2
Để tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
điều kiện của { st} đối với tập thông tin Ft_ Ì là hằng số ( ở đây, F, là ơ - trường chứa X,, st, X(_!, 8I,....). Trong trường hợp st không là ồn trắng, m à s, tuân theo m ô hình ARCH(Q) thì tập thông tin F, sẽ ảnh hưởng tới độ chính xác của dự báo. Trong phần này ta sẽ nghiên cứu ảnh hưởng đó tới sai số dự báo của m ô hình ARMA.
Giả sạ từ chuỗi quan sát ca; = |xt; t = Ì, n}, nhận dạng m ô hình ARMA(p, q):
a(B)Xt = b(B)et (3.1) S,~ARCH(Q)
Hay Bt| ~IID(0,ht) <=> Et =UtA/ĩĩí";ut~nD(0, 1) (3.2)
h t=a o+Ềa iE ?-i (3 -3 ) i=i Q
Với điều kiện Q > 0; a0> 0 ; a i > 0, i = l , Q ; ^ d ; < 1
i=l
Hiệu ứng ARCH xuất hiện khi có sự tồn tại của mòmen cấp cao của E\ nên dự báo điểm fn h theo m ô hình (3.1) cũng chính là dự báo điểm theo m ô hình (3.1). Trong khi đó, phương sai sai số dự báo
Var(en,h| ) = £ c p ? E e2
n + hJ (3.4)
h - Ị
ế
i=0
Khi xuất hiện hiệu ứng ARCH, E(eẩ+ h_i ) sẽ phụ thuộc vào các phần tạ của Fn
l Fn
và do đó sẽ phụ thuộc vào n. Trong trường hợp ngược lại, { st} ~ WN(0, ơ2) hoặc {st} ~ IID(0, a2
) , tức là m ô hình có phương sai có điều kiện hằng số thì E( 8 ^+ h_i ) = ơ2
nên phương sai của sai số dự báo
h-1
V a r(en , h | p )="2Z(Pl?
(3-5)
i=0
Trong trường hợp này, phương sai của sai số dự báo chỉ phụ thuộc vào h (độ dài của thời kỳ dự báo) chứ không phụ thuộc vào tập thông tin F„. Sạ dụng (3.4) để xây
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
dưng khoảng dư báo cần phải tính E(E^+h_i| ). Điều này có thể làm được bằng
cách biểu diễn ARCH như là một quá trình AR(Q).
z\ =a0 + a1e?_1+... + aQs?_Q+<;t (3.6)
ởđây, qt =Sj -htthoảmãntínhchấtE((;t) = OvàE(qtgs) = 0; t *s.
Từ (3.6), ta có
Q
en+h= a 0 + Xal8n + h - i +? n + h
i = l
Lấy kỳ vọng có điều kiện 2 vế ta được:
E(s2N+HL ) = ot0 + Ề^ECE^I ) + E(qn+h|Fn) (3.7) N+HL ) = ot0 + Ề^ECE^I ) + E(qn+h|Fn) (3.7) 1=1 F » Ở đây, ta có i) E (8 n+h-iL ) = £ n+h-i nếui ^ hỉ
li) E(8^+h_i ) với i < h, tính đê quy theo (3.7);
iii) E ( qn + h ) = 0. 1 n Để định ý, xét quá trình AR(1) xt =ộ1xt_1 +et;|ộ1|<l st~ARCH(l) o |et=u rA [h, = ot0 + a ^ i
Dử báo điểm bước h xác định bởi công thức:
f
n,h =<hf„,h-i; h = 1,2,3,...
Phương sai sai số dử báo bước h:
var(e„,h|F )= E^EÍe^l ); h =1,2, 3,... (3.8)
F" i=0 IF»
Sử dụng biểu diễn AR(1) cho ARCH(l):
2 2
en+h = a0 + alsn + h - l + ?n+h
Nên E(£2
n + h ) = a0 + aIE ( 8 Ỉ+ h_1 ) (3.9)
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: Á T2 0 0 7 - 02
vói E(EỈ+ h_i L ) = eẩ+h-i nếu i > h. (3.10)
K h i đó, phương sai của sai số dự báo (3.8) tính toán sử dụng (3.9) và (3.10).
Từ đây, thu được thuật toán dự báo theo m ô hình A R M A có hiệu ứng ARCH.
3.1.2. Dự báo tuyến tính theo mô hình ARCH
Giả sử quá trình ngẫu nhiên s ị ~ ARCH(Q), tức là
•IID(0,ht) o s , = vt.Jĩĩ~t ,vôi ut ~IID(0,1)
(3.11)
ởđ â y Q> 0 ; a0> 0 ; CX; > 0, i = l,Q; Xa
i < !
i = l
Tập thông tin Ft là ơ - trường sinh bởi I E „ 6,_Ị,....
Như đã chứng minh ở 2.3.2, Var(e,/Ft_!) = ht = ot0 +Zaist-i •
1=1
Phương sai có điều kiện ht đo mức đớ phân tán hay đớ biến đớng của s ị quanh
giá trị trang bình. Nếu chúng ta dự đoán được sự thay đổi của h, trên cơ sở tập thông
tin Ft _! là có ý nghĩa rất lớn trong thực tế. Đặc biệt trong lĩnh vực tài chính, nếu ta
biết được sự biến đớng lên xuống của giá của Ì cổ phiếu nào đó vào ngày mai thì sẽ
có lợi nhiều trong việc quyết định mớt phương án đầu tư không những mang lại hiệu
quả kinh tế cao m à còn tránh được các rủi ro. Do đó, ta đặt vấn đề tính giá trị ht tại
thời điểm n + k trên cơ sở tập quan sát ce= { st; t = l , n } .
Dự báo theo m ô hình ARCH(Q) cũng có thể xây dựng tương tự như dự báo
theo m ò hình AR(Q).
Thật vậy, gọi fn > 1 là dự báo bước Ì của hn +! trên cơ sở Fn. Khi đó, ta có f„,,=E(hn+1| ) = E 1 n a o + Èa iE 2 n + l - i = a o + Za iE í£ ạ • n + l -
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
= a0+ ỉaist - i
i = l
Tương tự, dự báo k bước của h„ + ị trên cơ sở F„ là
ị Q A
f„,k = E ( hn + k| ) = E a0+ X a i e n + k - i
= a0+£aifn > k_i
i=l
ở đây. fn , k - i =en + k - i nếu k - i < 0.
Từ đây, thu được thuật toán dự báo theo m ô hình ARCH.
3.1.3. D ự báo tuyến tính theo m ô hình G A R C H
Để đơn giản, ta xét m ô hình GARCH(1; 1) với
=<x0 + < x1s t1 +piơ?_1,0<cc1 >p1 < Ì, (oe, +P,) < Ì (3.12) Từ (3.12) cần xây dựng công thức dự báo k bước vói gốc thời gian h
* Dự báo bước Ì: aị (1) = aj;+ 1 = a0 + a,£^ + Pjơỉ
* Để xác định dự báo bước k: viết lại phương trình biến động
ơt 2 +1 = a0 +(a, +Ẹ,l)G2 t+alG2 t(e2 t -1)
Khi t = h + Ì, ta có ơf+ 2 = ot0 + (a, + P;)ơ^+i + a^l^(eị+l -1). Suy ra dự báo
bước 2 là dị (2) = oc0 + (dị + p, )aị (1)
Tằng quát, ta có công thức dự báo bước h là:
ơỉ (k) = cc0 + (a, + P X (k -1); k > Ì (3.13)
Đây cũng tương tự như công thức dự báo cho m ò hình ARMA(1; 1) với đa thức tự hồi quy Ì - (aj + P[ )B. Bằng cách l ặ p lại công thức (3.13) sau k lần ta thu được
ơỉ(k) = a0[ l - ( a1+ p1) k-1] , Jt_j 2 L" ' - - J +(0., ' ơ i Do đó a ^ ( k ) ^ l- ( a , + p , ) (1) l - a , - P i khi k —> co.
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02