1. Khi đó, nói X có kỳ vọng có điều kiện đối vói ơ trường F và gọi E(X/ F) = E(X7 F) E(X7 F) là kỳ vọng có điều kiện của X đ ối với F.
1.6.3.3 Định lý chiếu trong không gian Hilbert
Định lý 1.5 [7] Cho M là Ì không gian con đóng của không gian Hilbert H và X 6 Hthì
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
||x - x i = inf ||x - y||
yeM
(li) X 6 M và ||x - x|| = i n f ||x - y[| khi và chỉ khi X e M
yeM
và (x - X) 6 M1
Trong đó M1 là không gian con trực giao với M
Khi đó X được gọi là chiếu trực giao của X lên M và ký hiệu X = PM X. Chứng minh các kết quả này có thể tham khảo ở [7] •
Định nghĩa 1.2 Toán tử PM : H -> M xác định bởi X = PM X, V X e H gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M.
Từ định lý và định nghĩa phép chiếu trực giao, dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau [7]:
(1) PM( a x + ạ3y) = a PMx + pPMy; VX, y € H và a , p e R. Điều này suy ra toán tử PM là Ì toán tử tuyến tính.
(2) V X E H thì |x|| = ||PMx||2
+ | ( I - PM) x f2
vói ì là toán tử đồng nhất trên H. Tính chất này suy ra PM là toán tử tuyến tính liên tục.
(3) V X s H thì X viết dược dưới dạng duy nhất:
X = PMX + (ì - PM)x với PM X <E M và (ì - PM)x 6 M1 . (4) PMxn -> PMX <=> ||xn - x|| -> 0 khi n -» 00 (5) X 6 M <=> PMX = X (6)x e M1 cs> PMx = 0 (7)Nếu M1 £ M2 thì PM ] ( PM ỉ X) = PM [ X; V X s H. Đặc biệt PM 2 = PM
Chú ý 1.3 đặt Q = ì - PM thì Q chính là phép chiếu trực giao của H lên M1. 1.6.3.4. Kỳ vọng có điều kiện như phép chiếu trong không gian Hilbert L2
Giả sử F là ơ - trường con của C7Í, gọi Lp2 là không gian con các phần tử F - đo được của L2. Khi đó Lp2 = { X e L2: ơ (X) £ F}. Xác định toán tử
PFX = E(X/F)với v x s V
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02
(1) PF là toán tử tuyến tính trên L2
; (2) PF
2
= PF. Vì vậy, PF chính là phép chiếu trực giao từ L2 vào LF 2; (3) ì - Pp là trực giao vói Lị; (4) V Y e L2 , z e LF: <PpY, z > = < Y, PpZ >; (5) ||PFX||<||X|| và ||PF|| = 1 nếudim(Lp) >1. |p Y|| ở đây, ||PF li = súp IP .. . {YeL2 :Y*0 Ị |Y|
Chứng minh các kết quả này có thể tham khảo ở [35] •
Chú ý 1.4 Từ định lý trên, ta có E(X/ F) chính là phép chiếu trực giao của L2 vào
Lp2
nên theo định lý hình chiếu E(X/F) chính là ước lượng tốt nhất của X theo nghĩa E [ X - E ( X / F ) ]2
= i n f ỊE[X - Y ]2 : Y 6 L2
p} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1.6.3. 5. Phương trình dự đoán
Cho không gian Hilbert L2
, tập con đóng M c L2
và X e Ư, định lý hình chiếu
trong ư khẳng định tọn tại duy nhất X e M sao cho
l i - ||2
X - X là nhỏ nhất <=><X-X,Y>=0VYe M (1.18)
Phương trình (1.18) được gọi là phương trình dự đoán và phần tử X = PMX gọi là
dự đoán tốt nhất của X trong M. Nói cách khác, dự đoán tốt nhất của X trong M
chính là chiếu trực giao của X lên M. Từ định nghĩa phép chiếu trong L2
ta có ||x - x f = infj|x - z f = i n f E|x - z|2
(1.19) li li ZS=M" 11
ZsM 1 1
Điều này có nghĩa rằng X là dự báo trung bình bình phương tốt nhất của X trong M và đó chính là PM X và theo (1.19) cũng chính là E(X/M).
Dự báo tuyến tính tốt nhất
Nếu M = span|xk, XK e L2
,k e ì; ì c N} thì X = PMX được gọi là dự đoán tuyến tính tốt nhất của X theo các thành phần của |xk, Xk € ứ, k s ì}.
Đề tài NCKH cấp trường Mã số: NT 2007 - 02