II. TÔ MÀU ĐỒ THỊ 1 Sắc số đồ thị
2.Tô màu đồ thị phẳng
2.1 Đồ thị phẳng
Xét đồ thị G = <X,U> được gọi là phẳng nếu có thể biểu diễn được trên mặt phẳng sao cho bất kỳ hai cạnh nào cũng không cắt nhau ngoài đỉnh (nếu có)
Ví dụ: Xét đồ thị như hình 2.2.a1 là đồ thị phẳng vì nó được biểu diễn cách khác ở dạng mặt phẳng không có cạnh cắt nhau như hình 2.2.a2 Tương tự đồ thị ở hình 2.2.b1 là đồ thị phẳng vì nó có thể biểu diễn ở dạng mặt phẳng như hình 2.2.b2
a1) a2)
b1) b2)
Hình 2.2
* Các cạnh của đồ thị phẳng chia mặt phẳng thành nhiều miền, mỗi miền gọi là một mặt của G. Những cạnh nằm bên trong mặt f nào đó hoặc là cạnh giới hạn của mặt f với một mặt khác gọi là cạnh biên của mặt f.
2.2 Định lý 5 màu (Kempe - Heawood)
Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5.
Chứng minh: Xét một đồ thị G có n đỉnh. Dùng phép chứng minh quy nạp trên n ta có:
Trường hợp G có một đỉnh hiển nhiên đúng.
Giả sử mọi đồ thị phẳng có n đỉnh (n ³ 1) đều có thể tô bằng 5 màu. Coi một đồ thị phẳng có n + 1 đỉnh. Có thể giả sử G là đơn đồ thị. Vì G phẳng nên có một đỉnh bậc Ê 5. Loại bỏ đỉnh x này khỏi G, ta nhận được một đồ thị phẳng mới có
a b c d a b c d g a b f d c e h g a b f d c e h
n đỉnh. Tô màu cho đồ thị mới này bằng năm màu, do giả thiết qui nạp trên điều này thực hiện được. Bây giờ đưa đỉnh x vào lại đồ thị.
Nếu các đỉnh kề với x được tô bằng ít hơn 5 màu thì tô màu x bằng một trong 5 năm khác màu các đỉnh kề với x là xong : đồ thị G đã được tô bằng 5 màu.
Vậy chỉ xét trường hợp m(x) = 5 và 5 đỉnh kề với x được tô bằng 5 màu như hình 2.3 sau:
Hình 2.3
Xét tất cả các đường trong G bắt đầu từ a và gồm các đỉnh chỉ tô bằng màu 1 và màu 3, trong các đường này nếu không có đường nào đi qua đỉnh c thì ta có thể thày đổi màu các đỉnh trên, tất cả các đường nói trên theo cách đổi màu 1 thành màu 3 và có thể tô đỉnh x màu 1. Nếu có một đường từ a đên c gồm toàn các đỉnh chỉ tô bằng màu 1 và màu 3 thì đường này cộng thêm hai cạnh e1 = (x, a) và e2 = (c, x) sẽ tạo thành một chu trình. Hai đỉnh b, d không thể nằm cùng bên trong hoặc cùng bên ngoài chu trình này được. Suy ra không có đường nào từ b đến d gồm các đỉnh chỉ tô màu 2 và màu 4 theo cách đổi màu 2 thành màu 4 và ngược lại. Lúc này, b và d có cùng màu 4 và ta có thể tô đỉnh x bằng màu 2.
2.3 Bài toán 4 màu (Appel - Haken)
Phát biểu: Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4.
Bài toán 4 màu được phát biểu như trên được chứng minh bằng phép thử trên máy tính trong nỗ lực nhằm thay thế cho định lý 5 màu.