1.Định nghĩa Cho đồ thị G = <X, U>, G được gọi là một cây nếu G liên thông và không có chu trình, ở đây n = ữ Xữ > 1.
Khi đó sáu tính chất sau là tương đương
1) G là đồ thị liên thông và không có chu trình 2) G không có chu trình và có n - 1 cạnh 3) G liên thông và có n - 1 cạnh
4) G không có chu trình và nếu thêm vào một cạnh nối 2 đỉnh không kề nhau thì G xuất hiện duy nhất một chu trình.
5) G liên thông và nếu bỏ đi một cạnh tuỳ ý thì đồ thị nhận được sẽ không liên thông.
6) Mỗi cặp đỉnh trong G được nối với nhau bằng một đường duy nhất.
Chứng minh: Ta chứng minh theo trình tự sau:
1) ị 2) ị 3) ị 4) ị 5) ị 6) ị 1). Ta sử dụng đẳng thức v(G) = m - n + p là số chu trình độc lập của đồ thị G = <X, U>, ở đây ữ Xữ = n, ữ Uữ = m và p là số thành phần liên thông của G.
1) ị 2): Vì G không có chu trình nên v(G) = m - n + p = 0. Do G liên thông nên p =1 khi đó m - n + 1 = 0 hay số cạnh m = n - 1.
2) ị 3): Giả sử G không có chu trình và n - 1 cạnh ta chứng minh 3)
Thật vậy, giả sử ngược lại G không liên thông, khi đó p ³ 2 . Từ 2) ta có v(G) = m - n + p = 0 và m = n -1, kết hợp ta có (n - 1) - n + p = 0 hay p = 1, trái với giả thiết p ³ 2. Vậy G liên thông và số cạnh là n -1.
3) ị 4): Giả sử G là liên thông và có n - 1 cạnh, ta chứng minh 4).
Thật vậy vì G liên thông nên p = 1, mặt khác m = n - 1 nên v(G) = m - n + 1 = 0 hay G không có chu trình . Nếu thêm vào G một cạnh thì ta được đồ thị G' với số cạnh là n, hay v(G') = n - n + 1 = 1 hay G' có một chu trình.
4) ị 5): Giả sử ngược lại G không liên thông, tức là tồn tại cặp đỉnh x, y trong G mà không có đường nào nối x với y. Khi đó nối x và y bởi 1 cạnh, đồ thị nhận được vẫn không có chu trình điều này mâu thuẫn với 4). Hay G là liên thông.
Nếu bỏ đi 1 cạnh trong G mà đồ thị vẫn liên thông thì nếu khôi phục lại cạnh này đồ thị sẽ có chu trình. Điều này mâu thuẫn với 4). Vậy ta có 5).
5) ị 6): Giả sử ngược lại, nếu trong G có tồn tại cặp đỉnh x, y không nối với nhau bằng đường nào cả, chứng tỏ G không liên thông mâu thuẫn với 5). Vậy mỗi cặp đỉnh đều có đường đi nối với nhau, đường đó là duy nhất vì nếu có nhiều hơn thì sau khi bỏ đi 1 đường đồ thị vẫn liên thông, trái với 5).
6) ị 1) Với mỗi cặp đỉnh nối với nhau bởi một đường thì G là liên thông. Giả sử G có chu trình thì xét cặp đỉnh x, y trên chu trình đó. Khi đó x, y có 2 cặp đường nối với nhau, mâu thuẫn với 6).
2. Một số khái niệm cơ bản
- Gốc: Đối với một cây T bất kỳ có thể chọn 1 đỉnh nào đó làm gốc, một cây đã được chọn 1 đỉnh làm gốc thì được gọi là cây có gốc. Vậy một cây có thể tạo thành nhiều cây có gốc khác nhau.
- Quan hệ cha con: Giả sử a là gốc nếu có b, c kề với a thì b, c được gọi là con
của a (hoặc gọi a là cha của b, c) tương tự nếu có d, e kề với b thì b là cha của chúng còn d, e là con của b (Xem cây T' hình 1.1).
- Trong một cây tất cả các đỉnh là cha được gọi là các đỉnh trong. Các đỉnh không phải là đỉnh trong được gọi là lá (hay lá là đỉnh con không có con), trong cây chỉ có gốc là đỉnh duy nhất không phải là con.
- Bậc của đỉnh là số các con của nó, bậc của cây là bậc lớn nhất của đỉnh.
- Mức của cây: Mỗi 1 đỉnh đều được gán bằng một mức, mức của gốc là 0, con của gốc có mức là 1. Nếu mức của cha là i thì mức của con là i + 1. Một đỉnh x nào đó có mức bằng độ dài đường đi từ gốc đến x, mức cao nhất trong số các đỉnh được gọi là chiều cao của cây.
Khi cây chưa có gốc, chưa phân chia thành các các mỗi quan hệ cha con, bậc, mức... thì cây là cây tự do còn khi được phân chia gọi là cây phân cấp.
T T' Hình 1.1 a b d i j e h k c g f h a d i j b e k g c f
Ví dụ như hình 1.1 cây T là một cây tự do, nếu chọn a làm gốc thì nó trở thành cây phân cấp T' có gốc. Với cây T' gốc a có bậc 2 và mức 0, đỉnh c có bậc là 3 và mức 1 ... Mức cao nhất là 3 ở các đỉnh là lá như i, j, k nên chiều cao của cây h(T') = 3.
3. Cây m - phân
- Định nghĩa: Xét cây phân cấp T nếu mỗi đỉnh trong của nó có không quá m con thì T được gọi là cây m phân. Đặc biệt nếu m = 2 thì cây được gọi là cây nhị phân, cây nhị phân rất quan trọng và có nhiều ứng dụng rộng rãi.