A X− = B− X = B−
1.2NHÂN VÀ ẢNH CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Cho E và F là hai không gian véc tơ trên một trường K , f là một ánh xạ tuyến tắnh từ E vào F.
định nghĩa 1. Ta gọi nhân của ánh xạ f là tập hợp các véc tơ v của E
sao cho f v( )= 0. Ta ký hiệu nhân của f là kerf .
Như vậy: kerf ={v v, ∈E : ( )f v = 0}
Tập hợp kerf là một không gian con của E. Thật vậy, tập kerf không rỗng vì ắt nhất nó cũng chứa phần tử không f(0)= 0; hơn nữa nếu u v, ∈kerf , tức là f u( )= 0, ( )f v = 0, do f là tuyến tắnh nên f u( +v)= f u( )+f v( )= 0, từ ựó suy ra u+ ∈v kerf .
Vắ dụ: Xét không gian V các véc tơ hình học. Cho trước một véc tơ
u ∈V , với mỗi một véc tơ v ∈V ta xét ánh xạ f V: →R xác ựịnh bởi
( ) .
f v =u v (tắch vô hướng của hai véc tơ u và v). Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tắnh và tìm kerf .
Theo tắnh chất của tắch vô hướng ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) f v v u v v uv uv f v f v f αv u vα αuv αf v + = + = + = + = = ( ) =
Vậy f là ánh xạ tuyến tắnh. Bây giờ ta ựi tìm nhân của ánh xạ f .
( ) 0 0
f v = ⇔uv = ⇔các véc tơ phải vuông góc với véc tơ u ựã cho. Vậy kerf là tập hợp mọi véc tơ vuông góc với véc tơ u ựã cho.
định lý 1. Ánh xạ tuyến tắnh f là ựơn ánh khi và chỉ khi nhân của f chỉ chứa phần tử không. f ệển ịnh⇔kerf ={ }0
Ta nhắc lại ánh xạ f là ựơn ánh nếu x ≠y thừ f x( )≠ f y( ).
Do ựó với v ≠ 0 ta có f v( )≠ f(0), nh−ng f(0)= 0 tức là với mọi phần tử
0
đảo lại, giả sử kerf ={ }0 . Gọi u và v là các phần tử của E sao cho ta có
( ) ( )
f u = f v . Ta phải chứng minh f là ựơn ánh tức là phải chứng minh u =v.
Thật vậy, do ánh xạ f là tuyến tắnh nên: f u( −v)= f u( )−f v( )= 0.
Ta suy ra u− ∈v kerf . Nhưng vì kerf ={ }0 nên u− =v 0 tức là
u =v.
Vậy f là ựơn ánh.
định lý 2. Giả sử f là một ánh xạ tuyến tắnh từ E vào F, nhân của f chỉ chứa phần tử không. Khi ựó, nếu v v1, ,...,2 vn là các véc tơ ựộc lập tuyến tắnh của E thì f v( ), ( ),..., ( )1 f v2 f vn cũng ựộc lập tuyến tắnh trong F. Ngược lại, tạo ảnh của một hệ ựộc lập luôn ựộc lập.
Chứng minh: Giả sử α α1, 2,...,αn là các số sao cho: 1 2 2
( ) ( ) ... n ( )n 0
f v f v f v
α1 +α + +α = . Ta phải chứng minh
... n 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
α1 =α2 = =α = (xem ựịnh nghĩa hệ véc tơ ựộc lập tuyến tắnh ở chương 2).
Theo tắnh tuyến tắnh của f ta có: f(α1v1 + +... αn nv )= 0
Từ ựịnh nghĩa của nhân f ta suy ra: α1v1+ +... αn nv ∈kerf
Theo giả thiết kerf ={ }0 nên α1 1v + +... αn nv =0
Vì v v1, ,...,2 vn ựộc lập tuyến tắnh nên từ hệ thức trên ta suy ra
... n 0
α1 =α2 = =α = .
Vậy f v( ), ( ),..., ( )1 f v2 f vn ựộc lập tuyến tắnh trong F.
Ngược lại: Giả sử f v( ), ( ),..., ( )1 f v2 f vn ựộc lập tuyến tắnh trong F. Xét tổ hợp 1 1v 2 2v ... n nv 0 α +α + +α = . Qua ánh xạ tuyến tắnh f ta có: ( 1 1 2 2 ... n n) 0 1 ( )1 2 ( )2 ... n ( )n 0 f αv +αv + +α v = ⇒αf v +αf v + +α f v = . Do hệ 1 2 ( ), ( ),..., ( )n
f v f v f v ựộc lập tuyến tắnh trong F nên ta có α1=α2= =... αn =0
hay hệ v v1, ,...,2 vn ựộc lập tuyến tắnh.
định nghĩa 2. Ảnh của một ánh xạ tuyến tắnh f là tập hợp các véc tơ w ∈F sao cho tồn tại phần tử v ∈E ựể f v( )=w. Ta ký hiệu ảnh của f là
---
Ta có tập Imf là một không gian con của F.
Thật vậy, tập Imf không rỗng, nó chứa phần tử không (f(0)= 0).
Nếu w w1, 2 ∈ Imf thì tồn tại v v1, 2 ∈kerf sao cho f v( )1 =w f v1, ( )2 =w2. Từ ựó: f v( 1 +v2)= f v( )1 +f v( )2 =w1+w2, tức là: w1+w2 ∈Imf Nếu: w ∈Imf thì có v ∈E f v, ( )=w. Từ ựó: f(αv)=αf v( )=αw. Vậy Im w f α ∈ định lý 3 (ựịnh lý nhân - ảnh).
Giả sử f là ánh xạ tuyến tắnh từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F. Nếu số chiều của E là n, số chiều của nhân f là q và số chiều của ảnh f là s
thì ta có: n = +q s.
Nói cách khác: dimE = dim kerf +dim Imf .
Chứng minh: Giả sử w w1, 2,....,ws là một cơ sở của Imf . Khi ựó có các véc tơ v v1, ,...,2 vs ∈E sao cho f v( )i =w ii, =1,2,...,s. Gọi u u1, ,...,2 uq là một cơ sở của kerf . Ta sẽ chứng tỏ hệ véc tơ: v v1, ,..., , , ,...,2 v u us 1 2 uq lập thành một cơ sở của E.
Với v ∈E thì f v( )∈ Imf , ta biểu diễn f v( ) theo cơ sở w w1, 2,....,ws của
Imf : 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( ... ). s s s s s s f v x w x w x w x f v x f v x f v f x v x v x v = + + + = = + + + = + + + Từ: f v( −x v1 1−x v2 2 − −... x vs s)= 0, ta suy ra: 1 1 2 2 ... s s ker v−x v −x v − −x v ∈ f .
Ta biểu diễn phần tử ựó của kerf theo cơ sở u u1, ,...,2 uq của kerf :
hay: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... s s q q s s q q v x v x v x v y u y u y u v x v x v x v y u y u y u − − − − = + + + = + + + + + + +
Hệ các véc tơ v v1, ,..., , , ,...,2 v u us 1 2 uq là một hệ các phần tử sinh của E.
để chứng minh chúng lập thành một cơ sở của E ta chỉ còn phải chứng minh chúng ựộc lập tuyến tắnh.