2.1. đỊNH NGHĨA DÃY SỐ
Một hàm f :N → R xác ựịnh trong tập hợp các số tự nhiên N ựược gọi là một dãy số.
Ta ựặt u1 = f(1),u2 = f(2),...,un = f n( ),... sè un ựược gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Ta ký hiệu dãy số là { }un . Có thể xác ựịnh dãy số bằng cách:
a) Cho công thức tổng quát: un = f n( )
Vắ dụ: Cho dãy số . n 1
n
u =a q − , với a và q là các hằng số. đó chắnh là một dãy số nhân a aq aq, , 2,...,aqn,...
b) Cho công thức truy chứng, chẳng hạn: u1 =a u, n = f u( n−1)
Vắ dụ 1: Cho dãy số u1 = 2, un = 2+un−1. đó là dãy 2, 2+ 2, 2+ 2+ 2,...
Vắ dụ 2: Cho dãy số Fibonasi u1 =u2 =1,un =un−1+un−2. đó là dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,Ầ
2.2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Vắ dụ mở ựầu: Xét số thực a =1/ 3. Ta có thể biểu diễn gần ựúng thiếu số a
bằng dãy số: u1 = 0, 3; u2 = 0, 33;...; un = 0, 3...3 (n số 3), hoặc biểu diễn gần ựúng thừa bằng dãy số v1 = 0, 4;v2 = 0, 34;....; vn = 0, 3...34 (n−1 số 3).
Ta nhận xét rằng hiệu un −a hoẳc vn−a về trị tuyệt ựối không vượt quá
10−n
. Bằng cách tăng n ta có thể làm cho hiệu ựó nhỏ ựi bao nhiêu cũng ựược. điều ựó có nghĩa là nếu ε là một số dương cho trước, bé tùy ý, thì ta có thể tìm ựược số nguyên N sao cho với mọi n >N ta luôn có |un − <a | ε. Khi ựó số a
ựược gọi là giới hạn của dãy số { }un .
định nghĩa: dãy số { }un ựược gọi là có giới hạn là a nếu với mọi ε >0 cho trước, ta có thể tìm ựược một số N > 0 sao cho với mọi n >N ta luôn có:
|un− <a | ε
Ta ký hiệu: lim n n
n u a u a n
→+∞ = hay → khi → +∞
Nếu dãy { }un có giới hạn là a thì ta cũng nói dãy { }un hội tụ tới a.
Vắ dụ: xét dãy số cho bởi un n 1 n+ =
Ta thấy rằng dãy số ựó hội tụ tới 1 vì |un 1 | n 1 1 1
n+ n
− = − = .
Với mọi ε> 0 cho trước, muốn có |un − <1 | ε thì chỉ việc lấy n > 1ε là ựược. Như vậy ta chọn N là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 1ε. Chẳng hạn nếu cho ε= 0, 003 thừ 1ε = 333, 3. Ta chỉ việc lấy N =333 thì với mọi
333
n> (tức là kể từ số hạng thứ 334 trở ựi) ta có |un− <1 | 0, 003.
2.3. CÁC PHÉP TÍNH VỀ DÃY HỘI TỤ
định lý: nếu dãy { }un hội tụ tới a, dãy { }vn hội tụ tới b thì 1) Dãy tổng {un +vn} hội tụ tới a+b
2) Dãy tắch { . }u vn n hội tụ tới a b.
3) Dãy nghịch ựảo {1/ }vn hội tụ tới 1/b với ựiều kiện b ≠ 0
4) Dãy thương {un/ }vn hội tụ tới a b/ với ựiều kiện b ≠0
Ta sẽ chứng minh cho tắnh chất (1), các tắnh chất còn lại ựược chứng minh tương tự.
Vì un →a nên theo ựịnh nghĩa của giới hạn, cho trước số ε/ 2 ta tìm ựược số N1 sao cho với mọi n>N1 ta có |un− <a | ε/ 2. Vừ vn →b nên với số
---
Gọi N =max( ,N N1 2) thì với mọi n>N ta có:
|un − <a | ε/ 2 và |vn− <a | ε/ 2
Khi ựó với mọi số ε >0 cho trước ta ựã tìm ựược số N sao cho với mọi
n>N ta có:
| (un +vn)− +(a b) | | (= un − +a) (vn −b) | |≤ un−a |+|vn−b) |≤ ε/ 2+ε/ 2 = ε
điều ựó chứng tỏ (un +vn)→(a +b).
2.4. HAI TIÊU CHUẢN đỦ đỂ DÃY HỘI TỤ
Không phải dãy số nào cũng hội tụ, chẳng hạn dãy ( 1)n n
u = − mà các giá trị của nó lần lượt là -1 và 1 không tiến tới một giới hạn nào cả.
Dưới ựây ta sẽ phát biểu hai tiêu chuẩn mà nhờ ựó ta có thể biết ựược một dãy ựã cho là hội tụ.
Tiêu chuẩn 1: Cho ba dãy { },{ }un vn vộ { }wn sao cho
n n n
v ≤u ≤w (1)
Khi ựó nếu các dãy { }vn vộ { }wn cùng hội tụ tới a thì dãy { }un cũng hội tụ tới a.
Chứng minh:
Do vn →a nên với ε > 0 ta tìm ựược N1 ựể ∀ >n N1 ta cã |vn − <a | ε
(2)
Do wn →a nên với ε >0 ta tìm ựược N2 ựể ∀ >n N2 ta cã |wn − <a | ε (3) Gọi N = max( ,N N1 2) thì khi n>N các bất ựẳng thức (2) và (3) cùng xảy ra. Kết hợp với (1) ta có: − <ε vn− ≤a un− ≤a wn − <a ε
Như vậy, với ε > 0 cho trước ta tìm ựược số N sao cho với mọi n>N ta có:
|un − <a | ε
điều ựó chứng tỏ dãy { }un hội tụ tới a. ■ Trước khi phát biểu tiêu chuẩn thứ hai, ta xét thêm một vài khái niệm:
Dãy { }un ựược gọi là ựơn ựiệu tăng nếu ∀n m, vộ n >m ta luền cã un >um. Dãy { }un ựược gọi là ựơn ựiệu giảm nếu ∀n m, vộ n >m ta luền cã un <um.
Vắ dụ: dãy cho bởi un n 1 n
= + là dãy tăng, dãy cho bởi vn = n1 là dãy giảm.
Dãy { }un ựược gọi là bị chặn trên nếu mọi số hạng trong dãy, kể từ một số hạng nào ựó trở ựi, không vượt quá một hằng số A nào ựó.
Dãy { }un ựược gọi là bị chặn dưới nếu mọi số hạng trong dãy, kể từ một số hạng nào ựó trở ựi, không nhỏ hơn một hằng số B nào ựó.
Tiêu chuẩn 2: mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Ta không chứng minh tiêu chuẩn này. Vắ dụ: xét dãy số cho bởi (1 1)n
n
u = +n
Ta sẽ chứng minh rằng dãy { }un tăng và bị chặn trên. thật vậy, ta khai triển un theo nhị thức Newton:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 ( 1) ( 1)( 2) ( 1)...1 1 1 1 1 1 1 1 . . . ... . 1! 2 ! 3 ! ! 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 1 1 ... 1 2 ! 3 ! ! n n n n n n n n n n n u n n n n n n n n n n n n n n − − − − = + = + + + + + − = + − + − − + + − − − Thay n bởi n+1 thì: ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 2 ! ( 1)! n n u n n n n n = + − + + + + − + − + − + Do: 1 1 1 1 1 k k
− < − + với mọi k =1, 2,... ta suy ra un <un+1, tức là dãy { }un
tăng. Mặt khác: 1 1 1, 2 1 1 ... 1 2 ! 3 ! ! n k u k n − < ∀ nến < + + + + Hơn nữa: 1 1 1 1 ,1 2, 3,... 2.2...2 2.3... ! 2k k k k = < = − ∀ = Do ựó: 2 1 12 ... 11 2 1 12 ... 11 ... 2 2 2 2 2 2 n n n u < + + + + − < + + + + − + Tổng 2 1 1/ 2 1 1 1 2 ... ... 1 2 2 2n− 1 1/ 2 + + + + + = − = vì là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Vậy un <3.
---
định nghĩa: Giới hạn của dãy (1 1)n n
u = +n ựược gọi là số e.
( 1)
lim 1 n
n→+∞ +n =e
Người ta chứng minh ựược rằng số e là số vô tỷ. Giá trị gần ựúng của nó với 5 chữ số thập phân là 2,71828. Số e ựược dùng làm cơ số cho một hệ logarit (logarit nêpe). Rất nhiều công thức toán học cũng như kỹ thuật ựược biểu diễn nhờ số e.
2.5. GIỚI HẠN VÔ CÙNG CỦA DÃY
Khi xét dãy { }un hội tụ tới a a, là hữu hạn (−∞ < < +∞a ). Có những
dãy mà kể từ một số hạng nào ựó trở ựi, mọi số hạng trong dãy ựều lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số bất kỳ cho trước có trị tuyệt ựối lớn tùy ý. Khi ựó ta nói là dãy có giới hạn vô cùng.
định nghĩa:
Dãy { }un có giới hạn +∞ nếu với mọi số M>0 cho trước, ta có thể tìm ựược số N>0 sao cho với mọi n>N ta có un >M. Ta viạt un → +∞.
Dãy { }un có giới hạn −∞ nếu với mọi số M>0 cho trước, ta có thể tìm ựược số N>0 sao cho với mọi n>N ta có un < −M. Ta viạt un → −∞.
Vắ dụ: dãy số cho bởi 2
n u =n có giới hạn là +∞. Ta chứng minh ựược rằng: Nếu un → +∞,vn → +∞ thừ un +vn → +∞; u vn. n → +∞ Nếu un → −∞,vn → −∞ thừ un +vn → −∞; u vn. n → +∞ Nếu un → +∞,vn → −∞ thừ u vn. n → −∞ Nếu un → >a 0,vn → +∞ thừ u vn. n → +∞ Chú ý: Nếu , ), n n n n n n u
u → +∞v → +∞ thừ hiỷu (u −v th−ểng v ựược gọi là các dạng vô ựịnh. Nếu un → 0,vn → ∞ thừ u vn. n cũng là dạng vô ựịnh.
Trong việc tắnh giới hạn, khi gặp các dạng vô ựịnh ta phải tìm cách khử chúng ựi (xem ậ3).