III bài tập áp dụng
Thầy giáo giỏ
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch đều AB, AC do đú O thuộc tia phõn giỏc của gúc A. Lại cú ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A đồng thời là trung tuyến mà OBC nờn O là trung điểm cạnh BC.
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được
P C N A M B O 69
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch đều AB, AC do đú O thuộc tia phõn giỏc của gúc A. Lại cú ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A đồng thời là trung tuyến mà OBC nờn O là trung điểm cạnh BC.
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được
HD Giải:
1) Kẻ OH vuụng gúc với BC. do tam giỏc ABC cõn ở B nờn OH = OK do đú H nằm trờn (O), lại cú OH ⊥BC tại H nờn BC là tiếp tuyến của (O).
2) a) Ta cú 0
70ˆ ˆ
ˆ=C=
A , tương tự bài toỏn trờn ta suy ra gúc AEF = 2(1100-α ),
gúc CFE = 2α .
b) ∆AEO đồng dạng với ∆COF (c.g.c) c) Tương tự lời giải bài ý 1.1 ta suy ra E, F
N Vớ i cỏ ch ch ứn g mi nh ho àn toà n tư ơn g tự, ta ch ứn g mi nh đư ợc gú cB = gú c M O N.
Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS
Bài toỏn 1.5: Cho đường trũn (I) tiếp xỳc với hai cạnh của gúc xOy tại A và B. Từ
C trờn cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường trũn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Xỏc định vị trớ của C trờn cung nhỏ AB để MN cú độ dài nhỏ nhất.
Ta cú MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP.
Do đú MN nhỏ nhất ⇔ MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toỏn 1.1) ta cú được C là điểm chớnh giữa cung nhỏ AB.
Nếu vẫn tiếp tục khai thỏc bài toỏn ban đầu ta cú thể đưa ra một số bài toỏn cho học sinh tự làm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết.
Bài toỏn 1.6: Cho ∆ABC cõn ở A. Lấy M, N trờn cạnh AB, AC sao cho
4. .
2
BCCN CN
BM = . Tỡm vị trớ của M, N sao cho ∆AMN cú diện tớch lớn nhất. Q
A B
Ta hóy đưa bài toỏn về bài toỏn quen thuộc bằng cỏch qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P và Q. Ta cú AOB cõn nờn POQ cõn ở O, IPQ mà MN là tiếp tuyến của (I). Áp dụng bài toỏn trờn . Lại do cõn chung đỉnh O AP = BQ (khụng đổi)
C N
O M
P I
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch đều AB, AC do đú O thuộc tia phõn giỏc của gúc A. Lại cú ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A đồng thời là trung tuyến mà OBC nờn O là trung điểm cạnh BC.
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch đều AB, AC do đú O thuộc tia phõn giỏc của gúc A. Lại cú ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A đồng thời là trung tuyến mà OBC nờn O là trung điểm cạnh BC.
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được
P C F B E A O
Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS
Bài toỏn 1.7: Cho M, M' trờn tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia
đối của tia CA. Chứng minh rằng: 1) Nếu MB.NC = M'B.N'C =
4
2
BC
thỡ tứ giỏc MM'N'N ngoại tiếp được một đường trũn;
2)Phõn giỏc tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định.
Bài toỏn 1.8:
1) Cho ∆ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trờn AB và AC sao cho AP = AQ và BP.CQ =
4
2
PQ
;
2) Cho hỡnh vuụng ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF (với E là trung điểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng.
Bài toỏn 1.9: Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Đường trũn cú tõm O là trung điểm của
BC tiếp xỳc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC sao cho PQ là tiếp tuyến của (O). Tỡm quĩ tớch tõm O' của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OPQ.
Với cỏch làm tương tự trờn, bằng phương phỏp đặc biệt hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự và thao tỏc tư duy thuận đảo ta cũng hỡnh thành cho học sinh tư duy lụgớc, tư duy sỏng tạo, tớnh độc đỏo trong toỏn học. Chẳng hạn ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với
đường trũn. Từ một điểm E nằm trờn đường trũn, kẻ tiếp tuyến với đường trũn đú cắt Cx tại A và Dy tại B. Chứng minh gúc AOB = 900.
Phõn tớch bài toỏn: J K O D C E B A y x
Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS
Để chứng minh gúc AOB = 900, ta cú thể làm bằng nhiều cỏch khỏc nhau. Chẳng hạn:
- Ta chứng minh OA, OB là hai tia phõn giỏc của cặp gúc kề bự; - Ta chứng minh gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 nờn gúcAOB = 900.
Do +) ∆AOB đồng dạng với ∆CED (g.g) nờn gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 vậy gúc AOB = 900.
+) Tứ giỏc OKEJ là hỡnh chữ nhật ( cú ba gúc vuụng) nờn gúc AOB = 900.
Tiếp tục tư duy chỳng ta cũn tỡm được thờm một vài cỏch giải khỏc nữa. Sau đõy ta xột một trong cỏc cỏch giải đú:
Ta cú gúc ACO = gúcAEO = 900 (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra gúcACO + gúc AEO = 1800 suy ra tứ giỏc ACOE nội tiếp Do đú ta cú gúcEAO = gúcECO (hai gúc cựng chắn một cung OE)
Tương tự ta cũng cú gúcEBO = gúcEDO, mà gúcECO + gúcEDO = 900 (vỡ gúcCEO = 900-gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn). Nờn gúcEAO + gúcEBO = 900. Từ đú suy ra gúcAOB = 900. (Đpcm).
Khai thỏc bài toỏn:
- Nếu ta thay đổi một vài điều kiện của bài toỏn, chẳng hạn vị trớ của điểm O thay bằng điểm M bất kỡ trờn CD. Khi đú đường thẳng vuụng gúc với ME tại E khụng cũn là tiếp tuyến nữa mà trở thành cỏt tuyến với (O). Thế thỡ yờu cầu của bài toỏn chứng minh gúcAMB = 900 cũn đỳng nữa hay khụng?. Điều này vẫn cũn đỳng, từ đú ta cú bài toỏn khỏc như sau:
Bài toỏn 2.1: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx,
Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trờn đường trũn, điểm M bất kỳ nằm trờn CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
-)Tại sao ta lại đặt vấn đề M khỏc C, D, O.
- Vỡ nếu M ≡ O thỡ trở lại bài toỏn trờn.
Thầy giáo giỏi 72
x
y E