- Chứng Minh điểm M cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi. - Chứng minh M nhìn một đoạn thẳng cố định dới một gĩc vuơng.
B - Bài tập:Bài 1: Bài 1:
Cho ∆ ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng trịn (O) và M là điểm di động trên đờng trịn đĩ. Gọi D là hình chiếu của B trên AB và P là giao điểm của BD và CM.
a) Chứng minh rằng ∆ BPM cân.
b) Tìm quỹ tích của D khi M di động trên (O). Giải: a) ∆ BPM cân:
+ Nếu D nằm ngồi đoạn AM ta cĩ:
DMB = ACB (cùng bù gĩc AMB); DMP = AMC = ABC (cùng chắn cung AC). => DMB = DMP.
- ∆ BMP cĩ MD vừa là đờng cao vừa là đờng phân giác => ∆ BMP cân tại M. + Nếu D nằm giữa A và M ta cĩ:
DMB = BMA = BCA (cùng chắn cung AB); DMP = AMC = ABC (cùng chắn cung AC) =>DMP = DMB = ∆ BMP cân.
b) Quỹ tích D:
1. Phần thuận: Do AB cố định và ADB = 900 nên D chạy trên đ/trịn đờng kính AB. - Giới hạn: KHi M trùng với A thì D khơng xác định. Do đĩ D ≠ A.
2. Phần đảo:
- Lấy D là điểm bất kỳ trên đờng trịn đờng kính AB và D ≠ A. Ta phải chứng minh cĩ một điểm M trên đờng trịn (O) sao cho BD ⊥ AM. Muốn vậy ta nối AD cắt (O) tại M vì BdA = 900
nên ⊥ AM.
Kết luận: Quỹ tích những điểm D là đờng trịn đờng kính AB (khơng kể điểm A).
Bài 2:
Đờng trịn (O, R) cắt một đờng thẳng d tại 2 điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngồi đờng trịn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ.
a) Chứng minh rằng QMO = QPO và đờng trịn ngoại tiếp ∆ MPQ đi qua 2 điểm cố định khi M di động trên d.
b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuơng.
c) Tìm quỹ tích tâm các đờng trịn nội tiếp ∆ MPQ khi M di động trên d. Hớng dẫn:
) Kẻ OK ⊥ AB thì các điểm O, K, M; P : Q cùng nằm trên đờng trịn. => Đờng trịn ngoại tiếp ∆ MPQ đi qua 2 điểm cố định O và K. b) MQOP là hình vuơng <=> OM = OP = R 2.
c) Quỹ tích tâm I các đờng trịn nội tiếp ∆ MPQ là các cung AA’ và BB’ của đờng trịn (O).
Bài 3:
Cho hình thoi cĩ gĩc nhọn 600. Quá đỉnh C của đờng chéo lớn kẻ đờng thẳng di động d cắt AB và AD lần lợt tại E và F, BF cắt DE ở M.
a) Chứng minh ∆ BDF và ∆ EBD đồng dạng. b) Khi d di động điểm M chạy trên đờng nào?
c) Chứng minh khi d di động các tâm O, O của các đờng trịn ngoại tiếp ∆ MBE và ∆ DMF theo thứ tự chạy trên đờng vuơng gĩc với BD tại B và D.
Tiết 28 Tốn quỹ tích. A - Kiến thức cơ bản: I. Bài tốn: Tìm tập hợp điểmM cĩ tính chất 2. - Phơng pháp: 1. Phần thuận:
Chứng minh rằng những điểm M cĩ tính chất 2 thuộc hình 4. 2. Phần đảo:
Chứng minh mỗi điểm thuộc hình H đều cĩ tính chất 2. Kết luận: Tập hợp những điểm M cĩ tính chất 2 là hình H. * Chú ý:
- Đơi khi trong phần thuận ta tìm đợc hình H’ chứa hình H. Khi đĩ ta cần dựa vào giả thiết để giới hạn hình H thành hình H rồi mới tiến hành phần đảo.
II. Để chứng minh quỹ tích điểm M là đờng trịn ta thờng dùng hai cách: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Chứng Minh điểm M cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi. - Chứng minh M nhìn một đoạn thẳng cố định dới một gĩc vuơng.
B - Bài tập:
Bài 4:Cho hai điểm A, B. Tìm tập hợp các điểm C sao cho đờng cao xuất phát từ B của ∆ ABC cĩ độ dài bằng AC.
Giải: Phần thuận:
+ Gọi D là giao điểm của đờng thẳng vuơng gĩc với AB kẻ từ A và đờng thẳng vuơng gĩc với AC kẻ từ C
Khi đĩ ∆ ADC = ∆ AB (vì AC=B, C=H=900, DAC = ABH: hai gĩc cĩ cạnh tơng ứng vuơng gĩc) => AD = AB khơng đổi.
=> C chạy trên đờng trịn đờng kính AD.
+ Nếu D là điểm đối ứng D qua AB thì C chạy trên đờng trịn đờng kính AD’. + Giới hạn: C ≠ A.
Phần đảo:
- Trên đờng trịn đờng kính AD (hoặc đờng trịn đờng kính AD’) lấy điểm C tuỳ ý (C ≠ A), kẻ BH ⊥ AC.
Ta cĩ ∆ ACD = ∆ BHA (vì AD = AB, BCA = AHB = 900; ADC = BAH). => HB = AC.
Kết luận: Tập hợp các điểm C là 2 đờng trịn đờng kính bằng AB tiếp xúc AB tại A (khơng kể điểm A).
Bài 5: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. a) Chứng minh khi cát tuyến MN di động thì trung điểm I của MN luơn nằm trên 1 đờng trịn cố định.
b) Từ A kẻ Ax vuơng gĩc với MN, tia BI cắt Ax tại C chứng minh BN = CM. c) Tìm quỹ tích C khi MN quay quanh H.
Bài 6:
Hai đờng trịn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng d đi qua A cắt các đờng trịn (O) và (I) lần lợt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đờng thẳng PO và QI.
a) Chứng Minh rằng các đtứ giác BCQP, OBCI nội tiếp.
b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đờng nào?
c) Tìm vị trí của d để ∆ PQB co chu vi lớn nhất.
Tiết 29
Kiểm tra giữa kì