I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Đ4 KHỐI CẦU
3. CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Đ4 KHỐI CẦU
+ Mặt cầu S(O;R) là tập hợp . Khối cầu S(O;R) là tập hợp .
+ Mặt cầu là hỡnh trũn xoay sinh bởi một đường trũn khi quay xung quanh đường kớnh của nú.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cỏch từ tõm O đến mp(P).
• Nếu d > R mp(P) khụng cắt mặt cầu.
• Nếu d = R mp(P) tiếp xỳc với mặt cầu.
• Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường trũn cú bỏn kớnh
.
+ Cụng thức diện tớch và thể tớch
+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện. + Tõm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu cú
1./ Là điểm mà cỏch đều cỏc đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà cỏc đỉnh nhỡn đoạn thẳng đú dưới một gúc vuụng.
3./ Là giao điểm của cỏc trục đường trũn ngoại tiếp cỏc mặt của khối đa diện. 4./ Là giao điểm của cỏc mặt phẳng trung trực của cỏc cạnh của khối đa diện.
+Hỡnh chúp đều luụn nội tiếp trong một mặt cầu cú tõm nằm trờn đường cao của hỡnh chúp.
+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đỏy lăng trụ nội tiếp đường trũn.
Đ5 KHỐI TRỤ -KHỐI NểN
Hỡnh Hóc LTẹH2009 -38- GV Nguyeĩn Vaờn Nhửụng
Mặt trụ là hỡnh trũn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ song song với l.
Hỡnh trụ là hỡnh trũn xoay sinh bởi bốn cạnh của hỡnh chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bỡnh của hỡnh chữ nhật đú.
Mặt nún là hỡnh trũn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt l
Hỡnh Nún – Trụ
Hỡnh chúp đều cú đỏy là lục giỏc đều cạnh a cạnh bờn hỡnh chúp cú độ dài 2a. a) Vẽ hỡnh chúp và tớnh diện tớch xung quanh và thể tớch của nú.
b) Tớnh diện tớch tồn phần của hỡnh nún ngoại tiếp hỡnh chúp. Một hỡnh trụ cú hai đỏy là hai hỡnh trũn (O;R)và (O’;R),
Một hỡnh nún đỉnh O’ đỏy là hỡnh trũn (O;R)
a) Tớnh tỉ số diện tớch xung quanh của hỡnh trụ và hỡnh nún.
b) Mặt xung quanh của hỡnh nún chia khối trụ thành hai phần tớnh tỉ số thể tich của hai phần đú.
Cắt hỡnh nún đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nú ta được một tam giỏc vuụng cõn cú cạnh huyền bằng
a) Tớnh diện tớch xung quanh diện tớch tồn phần và thể tớch của hỡnh nún. b) Cho một dõy cung của đường trũn đỏy của hỡnh nún sao cho mp(SBC) tạo với
đỏy hỡnh nún một gúc 60o . Tớnh diện tich tam giỏc SBC. c) Tớnh diện tớch và thể tớch hỡnh cầu nội tiếp hỡnh nún.
Mặt cầu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥ (ABCD) , ABCD là hỡnh chữ nhật và AB = a , SA = BC = 2a. Chứng minh rằng 5 điểm S,A,B,C,D cựng nằm trờn 1 mặt cầu.Tỡm tõm ,bỏn kớnh của mặt cầu đú
Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA ⊥ (ABC) . BE , BF là đường cao của tam giỏc ABC và SBC . Gọi H và H’ lần lượt là trực tõm của cỏc tam giỏc ABC và SBC
a)Chứng minh rằng SH’ , AH và BC đồng qui tại một điểm I b)Chứng minh rằng 5 điểm E,F,I,S,B ở trờn một mặt cầu
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥(ABCD) và ABCD là hỡnh vuụng cạnh a .Dựng mặt phẳng β đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng SC,β lần lượt cắt SB ,SC ,SD tại
a)Chứng minh rằng cỏc điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ cựng nằm trờn một mặt cầu cố định b) Tớnh diện tớch mặt cầu ấy
Trong mặt phẳng α cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn đường kớnh AD.Trờn đường thẳng ⊥α tại A ta lấy điểm S .Gọi H,K là hỡnh chiếu của A trờn SB và SC a)Chứng minh rằng cỏc tam giỏc AHD,AKD vuụng
b)Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K nằm trờn 1 mặt cầu
Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cạnh đỏy = a,cạnh bờn = 2a.Tỡm tõm,bỏn kớnh mặt cầu đi qua 4 điểm S,A,B,C
Trong mặt phẳng α cho đường trũn đường kớnh AB = 2R .Trờn đường trũn ta lấy 1 điểm C.Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB).Gọi I là trung điểm CH .Trờn tia Ix⊥α ta lấy điểm S sao cho SHˆI= 60o . Chứng minh rằng ∆SAB = ∆CAB.từ đú suy ra tõm ,bỏn kớnh của mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C
Cho tứ diện SABC cú SA ⊥ (ABC) ,và cỏc cạnh SA = a AB = b, AC= c.Xỏc định tõm,bỏn kớnh mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C trong cỏc trường hợp sau: a)
CAˆ Aˆ
B = 90o b)BAˆC =60o và b = c c)BAˆC = 120o và b = c Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥ (ABCD) và SA = a. ABCD là là hỡnh thang vuụng tại A và B cú AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm cạnh AD. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.CDE
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a
a)Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) b)Tớnh gúc giữa cạnh bờn và đỏy
c)Tớnh gúc giữa mặt bờn và đỏy
d)Tỡm tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a. Cạnh bờn hợp với đỏy 1 gúc φ = 60o
a)Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp b)Tớnh gúc giữa mặt bờn và đỏy
.Cho tứ diện SABC cú SA ⊥ (ABC) và đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Mặt bờn (SBC) hợp với đỏy 1 gúc φ = 30o
a)Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b)Tớnh gúc giữa SC và mặt phẳng (ABC)
Vị trớ tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ,đường thẳng
Cho mặt cầu tõm O đường kớnh AB = 2R.Điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = 3 4 R. Mặt phẳng α⊥ AB tại H, cắt mặt cầu theo đường trũn (L).Tớnh diện tớch (L) .Cho mặt cầu S(O,R) ; A là 1 điểm nằm trờn mặt cầu . Mặt phẳng α qua A sao cho
gúc giữa OA và α bằng 30o
a)Tớnh diện tớch đường trũn thiết diện giữa α và mặt cầu b)Đường thẳng qua A và ⊥α cắt (S) tại B.Tớnh độ dài AB
.Cho mặt cầu S(O;R) tiếp xỳc 3 cạnh tam giỏc ABC
a)Chứng minh rằng hỡnh chiếu H của O trờn mặt phẳng (ABC) là tõm đường trũn nội tiếp ∆ABC
b)Biết độ dài 3 cạnh của ∆ABC là 6,8,10 và R = 3.Tớnh khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng (ABC)
Trong mặt phẳng α cho đường trũn đường kớnh AB tõm O.Gọi M là điểm nằm trờn đường trũn .Trờn đường thẳng ⊥α tại A ta lấy điểm C.Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn mặt cầu
a)Chứng minh rằng H nằm trờn mặt cầu (O)
b)Tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KA = KM = KH.Từ đú suy ra KH là tiếp tuyến của mặt cầu (O) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho mặt cầu (O;R) và một điểm A biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và một cỏt tuyến cắt mặt cầu tại C và D sao cho CD = R
a)Tớnh độ dài đoạn AB
b)Tớnh khoảng cỏch từ O đến đường thẳng CD
Cho mặt cầu (O;R) tiếp xỳc mặt phẳng (P) tại I.Gọi M là một điểm nằm trờn mặt cầu nhưng khụng phải là điểm đối xứng với I qua tõm O.Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu vuụng gúc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B. Chứng minh rằng AB2 = AI2 + IB2
Chứng minh rằng nếu một mặt cầu tiếp xỳc với 6 cạnh của một tứ diện thỡ tứ diện đú cú tổng cỏc cặp cạnh đối diện bằng nhau
Đề thi Hỡnh Học Khụng Gian (2007_2008)
(A_2008) Cõu1Trong khụng gian Oxyz choA(2 ; 5 ; 3) và (d) : x 1 y z 2
2 1 2
− = = −
1. Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn đường thẳng (d)
2. Viết phương trỡnh mặt phằng (α) chứa (d) sao cho khoảng cỏch từ A đến (α) lớn nhất
Cõu 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a , đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A ; AB = a ; AC = a 3và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỡnh A’ trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thằng AA’ và B’C’ .
(B_2008) Cõu 1 : (2đ) Trong khụng gian Oxyz cho ba điểm A(0 ; 1 ; 2) ; B(2 ; –2 ; 1) ; C( –2 ; 0 ; 1)
1. Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C
2. Tỡm tọa độ của điểm M thuộc mphẳng 2x+2y+z –3= 0 sao cho MA = MB = MC Cõu 2Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , SA = a ; SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng đỏy . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của cỏc cạnh AB ,BC . Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S.BMDN và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM ,DN .
(D_2008)Cõu 1 : (2đ) Trong khụng gian Oxyz cho bốn điểm A(3 ; 3 ; 0) ; B(3 ; 0 ; 3) ; C( 0 ; 3 ; 3) ; D( 3 ; 3 ; 3)
1. Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D 2. Tỡm tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC
Cõu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng AB = BC = a , cạnh bờn AA’ = a 2. Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM,B’C
• Khoỏi A_2007 : Cho 2 ủ thaỳng :
= − + − + = = = + − = 1 2 1 2 1 2 : vaứ d : 1 2 1 1 3 x t x y z d y t z
1. Chửựng minh raống d1 vaứ d2 cheựo nhau
2. Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng d vuõng goực vụựi maởt phaỳng (P) : 7x+y– 4z =0 vaứ caột hai ủửụứng thaỳng d1 vaứ d2
Cõu 2 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , mặt bờn SAD là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , BC , CD . Chứng minh rằng AM vuụng gúc với BP và tớnh thể tớch của khối tứ diện CMNP
• Khoỏi B_2007 : Trong khõng gian Oxyz, cho maởt cầu (S) : x2+ y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaứ mp (P) : 2x– y +2z – 14 = 0
1. Vieỏt phửụng trỡnh mp (Q) chửựa trúc Ox vaứ caột (S) theo moọt ủửụứng troứn coự baựn kớnh baống 3
2. Tỡm tóa ủoọ ủieồm M thuoọc maởt cầu (S) sao cho khoỷang caựch tửứ ủieồm M ủeỏn mp (P) lụựn nhaỏt
Cõu 2 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . CMR: MN vuụng gúc với BD và tớnh (theo a ) khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC
• Khoỏi D 2007 : Trong khõng gian Oxyz, cho hai ủieồm A(1;4;2), B(– 1;2;4) vaứ ủửụứng thaỳng ∆ − = + = − 1 2 : 1 1 2 x y z
1. Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng d ủi qua tróng tãm G cuỷa tam giaực OAB vaứ vuõng goực vụựi mp(OAB) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cõu 2 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang ABˆC = BAˆD = 90o , BA = BC = a ; AD = 2a . Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA = a 2. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB . CMR: tam giỏc SCD vuụng và tớnh theo a khoảng cỏch từ H đến mp(SCD)