Ta thường cần giới hạn tín hiệu trong nhiều trường hợp khác nhau, từ việc tính toán số học hay thiết kế mạch lọc. Thí dụ, khi cần tính toán số của biến đổi Fourier của một số tín hiệu, thí dụ
) (t u
e-t trên máy tính, ta sẽ phân tín hiệu e-tu(t) với giá trị đủ lớn của t (thường là năm lần hằng số thời gian). Lý do là khi tính toán số, ta cần xử lý dữ liệu có chiều dài hữu hạn. Tương tự, đáp ứng xung h(t) của bộ lọc lý tưởng là không nhân quả, và tiệm cận về zêrô khi t ®¥. Để thiết kế thực tế, ta cần giới hạn h(t) trong tầm giá trị đủ lớn của t để làm cho h(t) thành nhân quả. Khi lấy mẩu tín hiệu, để tránh trùm phổ (aliasing) ta cần giới hạn phổ tín hiệu trong nửa tần số lấy mẩu
2 /
s
w , dùng bộ lọc chống trùm phổ. Một lần nũa, khi ta muốn tổng hợp tín hiệu tuần hoàn bằng cách cộng nsóng hài đầu tiên và giới hạn các sóng hài bậc cao hơn, Các thí dụ này cho thấy việc giới hạm dữ liệu có thể xuất hiện trong cả miền thời gian và miền tần số. Trên mắt phẳng thì việc giới hạn có vẽ như là bài toán đơn giản bằng cách cắt bớt dữ liệu tại điểm được cho là đủ nhỏ. Điều không may là thực tế không phải như vậy, phương pháp giới hạn đơn giản có thể tạo ra thêm rắc rối.
Hàm cửa sổ
Tác động giới hạn có thể được xem là việc nhân tín hiệu có độ rộng lớn với hàm cửa sổ có chiều rộng bé hơn. Giới hạn đơn giản thường dùng hàm cửa số vuông wR(t) (hình 4.48a) trong đó, ta đặt trọng số là đơn vị cho mọi dữ liệu trong cửa số có chiều rộng (t <T/2), và cho trọng số là zêrô các dữ liệu nằm ngoải cửa số (t >T/2). Ngoải ra còn có thể dùng cửa số theo đó dữ liệu bên trong cửa sổ có thể không là hằng số. Thí dụ, trong cửa số tam giác wT(t), theo đó, trọng số giảm tuyến tính theo chiều rộng cửa số (hình 4.48b).
Xét tín hiệu f(t) và hàm cửa số w(t). Nếu f(t)Û F(w), và w(t)ÛW(w), và nếu hàm qua cửa sổ (bị giới hạn) fw(t)ÛFw(w) thì
fw(t)= f(t)w(t) và ( ) ( ) 2 1 ) ( w w p w F W Fw = *
Dùng đặc tính về độ rộng của phép tích phân chập, ta thấy độ rộng của Fw(w) bằng tổng của độ rộng của F(w) và W(w). Do đó, giới hạn tín hiệu làm tăng băng thông một lượng là băng thông của w(t). Rõ ràng giới hạn tín hiệu làm làm phổ trải ra một lượng bằng băng thông của w(t). Nhắc lại là băng thông tín hiệu là tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Do đó, cửa sổ càng rộng thì băng thông càng hẹp, và trải phổ càng hẹp. Kết quả này là dự báo được do cửa sổ càng rộng tức là ta chấp nhận them dữ liệu (xấp xỉ càng đúng), càng làm giảm méo (độ trải phổ càng bé đi)/ CỬa sổ càng hẹp (xấp xỉ xấu hơn) làm độ trải phổ càng tăng (méo tăng lên). Ngoài ra còn có thêm tác động do W(w) thực ra không phải là băng thông được giới hạn nghiêm ngặt, và phổ chỉ ®0 một cách tiệm cận. Điều này cũng làm cho phổ Fw(w)®0 một cách tiệm cận với cùng tốc độ của
) (w
W , ngay cả khi F(w) có phổ được giới hạn nghiêm ngặt. Như thế, tạo cửa sổ làm cho phổ của )
(w
F bị rò ở dải tần được gia sử là zêrô. Hiện tượng này được gọi là rò phổ. Hai ảnh hưởng này, trải phổ và rò phổ, sẽ được thí dụ sau làm rõ.
Thí dụ, xét f(t)=cosw0tvà hàm cửa sổ vuông ÷ ø ö ç è æ = T t rect t wR( ) , trong hình 4.46b. Lý do chọn f(t) là sin do có phổ gồm nhiều đường phổ có độ rộng là zêrô (hình 4.46a). Chọn lựa này cho phép thấy được ảnh hưởng của phổ rải và yếu tố rò phổ. Phổ của tín hiệu giới hạn fw(t) là tích phân chập của hai xung của F(w) với phổ sinc của hàm cửa sổ. Do phép tích phân chập của hàm bất kỳ với xung là chính hàm này (dời đến vị trí của xung), phổ có được từ tín hiệu bị giới hạn là hai xung sinc (nhân với 1/2p) tại ±w0, vẽ trong hình 4.46c. So sánh phổ của F(w) và Fw(w) cho thấy ảnh hưởng của giới hạn. Đó là:
1. Các đường phổ của F(w) có độ rộng zêrô. Nhưng tín hiệu được giới có phổ trải ra 4p/T quanh mỗi đường phổ. Lượng rải bằng với độ rộng của búp chính (mainlobe) của phổ cửa sổ. Một ảnh hưởng là yếu tố rải phổ, tức là nếu f(t) có hai thành phần phổ tần số cách nhau ít hơn 4p/Trad/s (2/T Hz), nên không thể phân biệt được chúng khi tín hiệu có giới hạn. Kết quả là độ phân giải phổ bị mất đi. Ta cần có rải phổ (độ rộng của búp chính) càng bé càng tốt.
2. Bên cạnh vấn đề rải của búp chính, tín hiệu có giới hạn còn có các búp biên (sidelobes), suy giảm chậm theo thời gian. Phổ của f(t) là zêrô tại mọi nơi khác ±w0. Mặt khác, phổ
của tín hiệu có giới hạn Fw(w)là không còn là zêrô do có búp biên. Các búp biên nay giảm theo 1/w. Do đó, giới hạn tạo rò phổ trong dải tần mà phổ của f(t) là zêrô. Đỉnh của búp biên là 0,217 lần biên độ búp chính (13,3 dB dưới biên độ đỉnh búp chính. Đồng thời, búp biên giảm theo 1/w, tức là – 6dB/octave (hay – 20 dB/decade). Đây là tốc độ rolloff của búp biên. Ta cần có búp biên nhỏ hơn và tốc độ giảm nhanh hơn (tốc độ rolloff lớn hơn). Hình 4.46d vẽ WR(w) (tính theo dB) là hàm theo w. Hình này cho thấy rõ tính năng của búp chính và búp biên, với biên độ cũa búp biên là – 13,3 dB dưới biên độ búp chính, và tốc độ giảm của búp biên là – 6 dB/octave (hay – 20 dB/decade).
Ta chỉ mới thảo luận về tín hiệu có giới hạn (giới hạn trong miền thời gian) của phổ tín hiệu. Nhờ tính đối ngẫu thời gian –tần số, ảnh hưởng của giới hạn phổ (giới hạn trong miền tần số) của hình dạng tín hiệu cũng tương tự.
Khắc phục ảnh hương phụ của giới hạn
Để có kết quả tốt hơn, ta phải tìm cách giảm thiểu hai ảnh hưởng của tác dụng phụ là rải phổ (của búp chính) và rò phổ (búp biên). Hảy xét từng yếu điểm này.
1. Rải phổ (độ rộng búp chính) của tín hiệu giới hạn là bằng với băng thông của hàm cửa số )
(t
w . Ta biết là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng của tín hiệu (thời gian tồn tại). Do đó, để giảm rải phổ (độ rộng búp chính), ta cần tăng độ rộng cứa số.
2. Để cải thiện yếu tố rò phổ, ta phải tìm kiếm nguyên nhân làm búp biên giảm chậm. Trong chương 3, ta đã biết là phổ Fourier giảm theo 1/w cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, và giảm theo 2
/
1 w với tín hiệu có đạo hàm bậc nhất gián đoạn, v.v..,. Độ mịn (smoothness) của tín hiệu được đo từ số đạo hàm liên tục của tín hiệu. Tín hiệu càng mịn, thì phổ giảm càng nhanh. Do đó, ta có thể giảm tác động rò phổ bằng cách chọn hàm cửa sổ có độ mịn thích hợp.
3. Với cùng độ rộng cửa sổ, các cách khác phục của hai ảnh hưởng lại không tương thích nhau. Khi ta có cải thiện yếu tố này, thì lại làm xấu đi yếu tố khác. Thí dụ, trong các độ rộng cửa sổ, thì cửa sổ vuông có rải phổ bé nhất (độ rộng búp chính), nhưng lại có búp biên độ có biên độ cao nhất và giảm chậm nhất. Loại cửa số hình nón (mịn) có cùng độ rộng nhưng lại có búp biên bé va giảm nhanh nhất, nhưng búp chính lại rộng hơn. Nhưng ta có thể tăng độ rộng cửa sổ để giảm biên độ búp chính. Vậy ta có thể khắc phục cả hai yếu điểm của giới hạn bằng cách chọn cửa sổ đủ mịn và độ rộng đủ lớn.
Có nhiều dạng hàm cửa sổ hình hình nón nổi tiếng như cửa sổ Bartlett (tam giác). Hanning (von Hann), Hamming, Bleckman và Kaiser, có cách giới hạn dần dần dữ liệu. Các cửa sổ cho nhiều chọn lựa giữa rải phổ (độ rộng búp chính) biên độ đỉnh búp biên, và tốc độ giảm rò phổ như trong bảng 4.3. Quan sát thấy mọi cửa số là đối xứng quanh gốc (hàm chẵn theo t). Từ đặc tính này, W(w) là hàm thực theo w; và ÐW(w) là 0 hay p. Do đó, hàm pha của tín hiệu có giới hạn đã giảm thiểu được méo dạng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
HÌnh 4.47 vẽ hai dạng hàm cửa sổ nổi tiếng, là hàm cửa sổ von Hann (hay Hanning) )
(x
wHAN và hàm cửa sổ Hamming wHAM(x). Ta chủ định chọn biến x do giới hạn cửa sổ có thể thực hiện trong miền thời gian cũng như trong miền tần số; nên x có thể là t hay w, tùy theo ứng dụng.
Có hàng trăm loại cửa sổ với các đặc tính khác nhau. Việc chọn lựa tùy theo từng ứng dụng đặc thù. Cửa sổ vuông có búp chính hẹp nhất. Cửa sổ Bartlett (tam giác; còn gọi là cửa sổ Fejer hay Cesaro) có yếu điểm so với cửa sổ Hanning, nên ít dùng trong thực tế. Cửa số Hanning tốt hơn Hamming khi phân tích phổ do có búp biên giảm nhanh hơn. Nhưng khi ứng dụng làm mạch lọc, thì cửa sổ Hamming lại được chọn do có biên độ búp biên bé nhất với dùng độ rộng búp chính. Cửa sổ Hamming được dùng nhiều nhất, trong những ứng dụng thông thường. Cửa sổ Kaiser, dùng I0(a), của hàm Bessel bậc 0, nên có tính đa năng hơn và chỉnh định được. Việc chọn giá trị a đúng (0£a £10) cho phép người thiết kế chọn được cửa sổ thích hợp với các ứng dụng điều
khiển cân bằng giữa búp chính và các búp biên. Khi a =0, cửa sổ Kaiser là cửa sổ vuông. Khi 4414
, 5 =
a thì đó là cửa sổ Hamming, và khi a =8,885, thì đó là cửa sổ Blackman. Khi a tăng, độ rộng búp chính tăng và biên độ búp biên giảm.
Ta sẽ thiết kế mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông W rad/s. Mạch lọc này có đáp ứng xung là h(t) W sinc(Wt)
p
= (hình 4.48c) là không nhân quả, nên không thực hiện được. Giới hạn hàm h(t) dùng cửa sổ thích hợp (hình 4.48a) cho phép thực hiện mạch lọc này, dù mạch lọc có được là dạng xấp xỉ của mạch lọc lý tưởng cần có. Ta có thể dùng của sổ vuông wR(t) và cửa sổ tam giác wT(t) để giới hạn h(t). Đáp ứng giới hạn là hR(t)và ht(t) của hai trường hợp được vẽ ở hình 4.48d.
hR(t)=h(t)wR(t) và hT(t)=h(t)wT(t)
Do đó, hàm truyền các mạch lọc có giới hạn là tích phân chập của H(w) với biến đổi Fourier của cửa sổ, vẽ trong hình 4.48e và f. Ta có các quan sát sau:
1. Phổ của mạch lọc có giới hạn cho thấy tính rải phổ tại rìa, và thay vì có thay đổi đột ngột ta có chuyển tiếp từ từ từ dải dẫn sang dải ngưng của mạch lọc. Dải chuyển tiếp nhỏ (2p/T
rad/s) cho trường hợp cửa sổ vuông so với trường hợp tam giác (4p/T rad/s).
2. Dù H(w) đã có giới hạn, nhưng bộ lọc qua cửa sổ thì không. Nhưng hoạt động của dải ngưng (stopband) trong trường hợp cửa sổ tam giác tốy hơn nhiều so với trường hợp cửa sổ vuông. Trong cửa sổ vuông, rò phổ tại dải ngưng giảm chậm (1/w) so với trường hợp cửa sổ tam giác là ( 2
/
1 w ). Hơn nữa, trường hợp cửa sổ vuông còn có biên độ đỉnh búp biên cao hơn so với trường hợp cửa số tam giác.
Bảng 4.3
4.10 Tóm tắt
Trong chương 3 ta đã giới thiệu tín hiệu tuần hoàn là tổng của các sóng (không dừng) sin hay hàm mủ (chuỗi Fourier). Chương này mở rộng kết quả cho tín hiệu không tuần hoàn, dùng tích phân Fourier (thay cho chuỗi Fourier). Một tín hiệu không tuần hoàn f(t) có thể xem là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T0 ®¥, sao cho tích phân Fourier về cơ bản là chuỗi Fourier với tần số cơ bản tiến về zêrô. Do đó, đối với tín hiệu không tuần hoàn, phổ Fourier là liên tục. Tính liên tục này cho phép biểu diễn tín hiệu thành tổng của sóng sin (hay hàm mủ) của mọi tần số trong khoảng tần số liên tục. Biến đổi Fourier F(w) là mật độ phổ (trên đơn vị băng thông là Hz).
Một dáng vẽ khác của biến đổi Fourier là tính đối ngẫu giữa thời gian và tần số, tạo điều kiên đối ngẫu cho tín hiệu f(t) và biến đổi F(w). Tính đối ngẫu này xuất hiện do phương trình gần-đối xứng của biến đổi Fourier trực tiếp và gián tiếp. Nguyên lý đối ngẫu rất hữu ích khi phân tích tín hiệu.
Tính tỉ lệ cho kết luận là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Tính dời theo thời gian không làm thay đổi biên độ phổ, nhưng làm phổ pha tăng tuyến tính. Nhân tín hiệu với hàm mủ j t
ew0 làm dời phổ đi w0. Trong thực tế, dời phổ được thực hiện bằng cách nhân tín hiệu với sóng sin như cosw0t(thay vì hàm mủ j t
e w0 ). Quá trình này gọi là điều chế biên độ. Nhân hai tín hiệu tạo tích phân chập cho phổ, và tích phân chập hai tích hiệu tạo phép nhân phổ. Khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(w), các phổ ngõ vào và ngõ ra lần lượt là F(w) và
) (w
Y quan hệ với nhau theo phương trình Y(w)=F(w)H(w). Điều này chỉ đúng với hệ ổn định tiệm cận. Để truyền không méo tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB, đáp ứng biên độ H(w)của hệ thống phải là hằng số, và đáp ứng pha ÐH(w) phải là hàm theo w trong dải tần công tác. Lọc lý tưởng, cho phép truyền không méo trong một dải tần nào đó và triệt mọi thành phổ tần số còn lại, thường không thực hiện được trong thực tế (do hệ không nhân quả). Trong thực tế, không thể thực hiện được hệ vật lý mà có độ lợi zêrô [H(w)=0] trong một dải tần hữu hạn. Các hệ thống này (bao gồm cả lọc lý tưởng) chỉ có thể thực hiện với hệ có đáp ứng với thời gian trễ hữu hạn. Năng lượng của tín hiệu f(t) là 1/2p nhân với vùng diện tích của 2
) (w
F (định lý Parseval). Năng lượng do thành phần phổ đóng góp trong dải tần DF (Hz) là F 2DF
)
(w . Do đó, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
) (w
F là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu f(t) là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan )
(t
f
y của tín hiệu f(t). Do đó, hàm tự tương quan có quan hệ trực tiếp với thông tin phổ.
Quá trình điều chế dời phổ tín hiệu đến các tần số khác. Điều chế được dùng với nhiểu lý do: để truyền đồng thời nhiều bản tin trên cùng một kênh truyền, dùng kênh có băng thông rộng, hay để phát xạ với hiệu suất lớn nhất qua đường truyền vô tuyến, để dời phổ tín hiệu lên tần số cao hơn nhằm tránh được các khó khăn của việc xử lý tín hiệu ở tần số thấp, v.v,.. Nói rộng hơn, thì có hai dạng điều chế chính: điều chế biên độ và điều chế góc. Các dạng điều chế này còn được chia thành nhiều dạng nhỏ hơn. Băng thông của điều chế AM thường cố định, còn băng thông trong điều chế góc thì điều khiển được. Sơ đồ có băng thông càng cao, thì tính chống nhiễu càng lớn.
Trong thực tế, ta thường phải giới hạn dữ liệu. Giới hạn dữ liệu được xem như việc quan sát qua cửa sổ, chỉ thấy được những gì cửa sổ cho phép thấy. Cửa sổ vuông cho phép ta giới hạn đột ngột dữ liệu, khi cho trong số đơn vị dữ liệu qua cửa sổ và phần dữ liệu còn lại có trọng số là 0. Các cửa sổ hình nón, thì cho phép trọng số giảm từ từ, từ 0 đến 1. Giới hạn dữ liệu có thể tạo thêm rắc rối. Thí dụ, khi tính biến đổi Fourier, thì cửa sổ giới hạn có thể làm rải phổ, tùy theo hàm cửa
sổ nào được dùng, Cửa sổ vuông ít tạo rải phổ nhất, nhưng lại có rò phổ ở búp biên và giảm chậm theo 1/w. Cửa sổ dạng nón thường có rải phổ lớn hơn, nhưng rò phổ nhỏ hơn và giảm nhanh hơn với tần số. Điều may mắn là có thể giảm rải phổ bằng cách tăng chiều rộng cửa sổ. Do đó, ta có thể giải quyết kết hợp yếu tố rải phổ và rỏ phổ bằng cách chọn thích hợp hàm cửa sổ với độ rộng T đủ lớn.
Tham khảo
1. Churchill, R.V., and J.W. Brown, Fourier Series and Boundery Value Problems, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1978.
2. Bracewell, R.N., Fourier Transform and Its Applications, revised 2nd Ed., McGraw-Hill, New York, 1986.
3. Guillemain. E.A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963.
4. Lathi, B.P., odern Digital and Analog Communication Systems, 3rd Ed., Oxford University Press, New York, 1998.
5. J. Carson, “Notes on Theory of Modulation” Proc. IRE, vol 10. Febuary 1922, pp. 57-64. 6. J. Carson, “The Reduction of Asmospheric Disturbances” Proc. IRE, vol 16. July 1928, pp.